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Séries de Fourier

Décomposition en harmoniques, spectre fréquentiel

🔬 Application physique-chimie : Analyse spectrale de signaux : harmoniques de courant, acoustique, traitement du signal

Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme infinie de sinusoïdes de fréquences multiples de la fréquence fondamentale : c'est le théorème de Fourier.

L'intuition : n'importe quelle forme d'onde — créneau, dent de scie, impulsion — est une superposition de "sons purs" (harmoniques), ce que l'oreille et les filtres électroniques perçoivent séparément.

En BTS, cette décomposition est centrale en électronique de puissance (harmoniques de courant des variateurs de vitesse), en acoustique (timbre d'un instrument) et en traitement numérique du signal.

L'amplitude de la $n$ -ième harmonique est $c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ : le tracé de $c_n$ en fonction de $n$ s'appelle le spectre du signal.

Piège fréquent : en un point de discontinuité (signal carré, créneau), la série de Fourier ne converge pas vers la valeur du signal mais vers la moyenne des limites à gauche et à droite — phénomène de Gibbs.

📖 Vocabulaire clé

Harmonique de rang $n$ : Composante sinusoïdale de fréquence

nf_0

(

n

fois la fréquence fondamentale). Le fondamental (

n=1

) a la fréquence

f_0 = 1/T

. L'harmonique 3 a la fréquence

3f_0

, etc.

Spectre fréquentiel : Graphe de l'amplitude

c_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}

en fonction du rang

n

(ou de la fréquence

nf_0

). Il montre la "recette" du signal en termes de sinusoïdes.

Valeur moyenne $a_0$ : Composante continue du signal :

a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt

. Un signal alternatif symétrique a

a_0 = 0

Phénomène de Gibbs : Au voisinage d'une discontinuité, la série de Fourier tronquée présente un dépassement d'environ

9\%

qui ne disparaît jamais, même en ajoutant des harmoniques.

📋 Calculer les coefficients de Fourier

1 Signal périodique : de période $T$ (ou pulsation $\omega_0=2\pi/T$ ).

Exemple : Signal de fréquence $f_0 = 50$ Hz → $T = 1/50 = 0{,}02$ s, $\omega_0 = 2\pi \times 50 = 100\pi$ rad/s.
2 Composante continue : $a_0=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt$ (valeur moyenne).

Exemple : Signal créneau $\pm A$ symétrique → $a_0 = 0$ (aires positives et négatives s'annulent).
3 Coefficients de Fourier : $a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt$ et $b_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt$ .

Exemple : Signal créneau impair d'amplitude $A$ → $a_n = 0$ (impair, pas de cosinus) et $b_n = 4A/(n\pi)$ pour $n$ impair, $0$ pour $n$ pair.
4 Décomposition complète : $f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t))$ .

Exemple : Créneau $\pm 5$ V → $f(t) \approx \frac{20}{\pi}\sin(\omega_0 t) + \frac{20}{3\pi}\sin(3\omega_0 t) + \frac{20}{5\pi}\sin(5\omega_0 t) + \ldots$

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un variateur de vitesse produit un signal de courant créneau de fréquence

f_0 = 50

Hz et d'amplitude

\pm 10

A (signal impair). Calculer l'amplitude du fondamental, de la

3^e

et de la

5^e

harmonique. Quel pourcentage de la puissance totale est contenu dans le fondamental seul ?

Démarche :

Signal créneau impair : $a_0 = 0$ , $a_n = 0$ (pas de cosinus), $b_n = \frac{4A}{n\pi}$ pour $n$ impair.
Fondamental ( $n=1$ ) : $b_1 = \frac{4 \times 10}{\pi} = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73$ A.
$3^e$ harmonique ( $n=3$ ) : $b_3 = \frac{40}{3\pi} \approx 4{,}24$ A (fréquence $150$ Hz).
$5^e$ harmonique ( $n=5$ ) : $b_5 = \frac{40}{5\pi} \approx 2{,}55$ A (fréquence $250$ Hz).
Puissance relative du fondamental (Parseval) : $b_1^2/(b_1^2+b_3^2+b_5^2+\ldots) = (4/\pi)^2 \times \frac{1}{\sum 1/n^2} \approx 81\%$ . Le fondamental porte $\sim 81\%$ de la puissance.

Réponse : Fondamental :

12{,}73

A. Harmonique 3 :

4{,}24

A. Harmonique 5 :

2{,}55

A. Le fondamental porte environ

81\%

de la puissance totale.

📐 Formules clés

a_0=\dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt

a_n=\dfrac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt

b_n=\dfrac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt

Théorème de Parseval :

\frac{1}{T}\int_0^T[f(t)]^2dt=a_0^2+\frac{1}{2}\sum(a_n^2+b_n^2)

🎨 Illustration

Spectre fréquentiel

Passer d'un signal créneau à ses harmoniques dominantes

Le signal temporel garde une forme brutale, mais son spectre isole des barres d'amplitude aux fréquences multiples de la fondamentale.

1 Le signal créneau est brutal dans le temps, mais il peut être décomposé en une somme d'ondes sinusoïdales.
2 Pour un créneau symétrique impair, seules les harmoniques impaires apparaissent : 1, 3, 5, etc.
3 Les barres du spectre décroissent : le fondamental domine, puis les harmoniques corrigent la forme du signal.

Ce qu'il faut lire : Le haut montre à quoi ressemble le signal. Le bas montre quelles fréquences il contient vraiment et avec quelle importance.

Représentation conjointe d'un créneau et de son spectre en harmoniques impaires.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Si $f$ est paire ( $f(-t)=f(t)$ ), tous les $b_n=0$ (sinus nuls).

✅ La suggestion

Si $f$ est impaire, tous les $a_n=0$ . Exploiter la symétrie simplifie considérablement les calculs.

💡 À retenir

Tout signal périodique = composante continue ( $a_0$ ) + somme infinie d'harmoniques ( $a_n\cos + b_n\sin$ ).
Signal pair → seulement des cosinus ( $b_n = 0$ ). Signal impair → seulement des sinus ( $a_n = 0$ ).
Le spectre du créneau décroît en $1/n$ (harmoniques impaires seulement). Celui du triangle en $1/n^2$ (convergence plus rapide).
Aux points de discontinuité, la série converge vers la moyenne des limites à gauche et à droite.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Analyse spectrale de signaux : harmoniques de courant, acoustique, traitement du signal

Mots-clés associés : FourierHarmoniqueFréquenceSignal périodiqueCoefficients

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