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Calcul matriciel

Opérations, inverse, systèmes matriciels

🔬 Application physique-chimie : Réseaux et systèmes couplés : circuits électriques à mailles, chaînes de Markov industrielles

Les matrices sont le langage des systèmes linéaires : un réseau de distribution, un circuit électrique avec plusieurs mailles, un bilan d'entrées-sorties industriel — tous se formulent comme $AX = B$ et se résolvent par $X = A^{-1}B$ .

La multiplication matricielle $AB$ n'est pas commutative ( $AB \neq BA$ en général) — c'est la principale différence avec la multiplication scalaire.

Le déterminant $\det(A)$ est le "critère d'inversibilité" : si $\det(A) = 0$ , le système $AX = B$ soit n'a pas de solution, soit en a une infinité.

En BTS, les chaînes de Markov utilisent des matrices de transition dont les colonnes (ou lignes) somment à $1$ : elles modélisent l'évolution probabiliste d'un système (stocks, clients, pannes). L'état stationnaire $\pi$ vérifie $M\pi = \pi$ : c'est un vecteur propre de valeur propre $1$ .

📖 Vocabulaire clé

Matrice $m \times n$ : Tableau rectangulaire de

m

lignes et

n

colonnes. Le terme

a_{ij}

se trouve à la ligne

i

et la colonne

j

. Deux matrices de mêmes dimensions s'additionnent terme à terme.

Déterminant $\det(A)$ : Nombre associé à une matrice carrée. Pour

2 \times 2

\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc

. Si

\det(A) = 0

: matrice singulière (non inversible).

Matrice inverse $A^{-1}$ : Matrice telle que

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I

(matrice identité). Elle existe si et seulement si

\det(A) \neq 0

Matrice de transition (Markov) : Matrice carrée dont les colonnes (ou lignes) somment à

1

. Modélise les transitions probabilistes entre états. L'état stationnaire vérifie

M\pi = \pi

📋 Multiplier et inverser une matrice

1 Produit de matrices : la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ donnent le terme $c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ .

Exemple : $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \times 5 + 2 \times 6\\3 \times 5 + 4 \times 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$ .
2 Compatibilité matricielle : $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ = nombre de lignes de $B$ .

Exemple : $A$ est $2 \times 3$ et $B$ est $3 \times 1$ → $AB$ est $2 \times 1$ (OK). Mais $BA$ n'est pas défini ( $1 \times 1$ fois $2 \times 3$ : non compatible).
3 Calcul de l'inverse : pour $A$ $2\times2$ , $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ avec $\det A=ad-bc$ .

Exemple : $A = \begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ , $\det A = 10$ . $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix}4&-1\\-2&3\end{pmatrix}$ .
4 Résolution de systèmes : $AX=B$ → $X=A^{-1}B$ si $A$ est inversible.

Exemple : $\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}$ → $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix}4&-1\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1{,}4\\2{,}8\end{pmatrix}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un circuit électrique à deux mailles obéit au système :

\begin{cases}3I_1 + I_2 = 12\\I_1 + 2I_2 = 8\end{cases}

. Résoudre par méthode matricielle pour trouver les courants

I_1

I_2

(en A).

Démarche :

Mise en forme matricielle : $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ , $X = \begin{pmatrix}I_1\\I_2\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix}$ .
Déterminant : $\det(A) = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 5 \neq 0$ → $A$ est inversible.
Inverse : $A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&3\end{pmatrix}$ .
$X = A^{-1}B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 \times 12 + (-1) \times 8\\(-1) \times 12 + 3 \times 8\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}16\\12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}2\\2{,}4\end{pmatrix}$ .

Réponse :

I_1 = 3{,}2

A et

I_2 = 2{,}4

A. On vérifie :

3 \times 3{,}2 + 2{,}4 = 12

✓ et

3{,}2 + 2 \times 2{,}4 = 8

✓.

📐 Formules clés

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

🎨 Illustration

Résolution matricielle appliquée à un circuit

Circuit à deux mailles : retrouver I1 et I2 par X = A⁻¹B

Le système de l'exemple du cours (3I1 + I2 = 12 et I1 + 2I2 = 8) correspond à deux mailles qui partagent une résistance commune R3.

Chaque terme diagonal de la matrice A est la résistance totale d'une maille (résistance propre + résistance commune), et le terme croisé (1) est la résistance commune R3 aux deux mailles.

1 Nœud B (haut, au centre) : les courants I1 (venant de E1 à travers R1) et I2 (venant de E2 à travers R2) se rejoignent et traversent ensemble R3 vers le bas.
2 Nœud C (bas, au centre) : le courant commun I1 + I2 se sépare à nouveau — I1 repart vers E1, I2 repart vers E2. C'est la loi des nœuds appliquée à ce circuit.
3 Résolution : X = A⁻¹B donne I1 = 3,2 A et I2 = 2,4 A — retrouvé indépendamment par la méthode de Cramer : I1 = 16/5 = 3,2 A, I2 = 12/5 = 2,4 A.

Ce qu'il faut lire : Suis le trajet du courant : il part de chaque source, traverse sa résistance propre, se combine dans la résistance commune R3, puis se sépare à nouveau pour retourner à chaque source.

Circuit à deux mailles correspondant au système matriciel de l'exemple du cours — R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω et R3 = 1 Ω (commune) déduits des coefficients de la matrice A, avec I1 = 3,2 A et I2 = 2,4 A vérifiés par substitution.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général $AB\ne BA$ .

✅ La suggestion

Toujours vérifier l'ordre des matrices dans un produit.

💡 À retenir

Le produit matriciel n'est PAS commutatif ( $AB \neq BA$ ) : l'ordre compte toujours.
$\det(A) = 0$ ↔ matrice non inversible ↔ système sans solution unique.
Pour inverser $A$ $2 \times 2$ : échanger les termes diagonaux, changer les signes des termes anti-diagonaux, diviser par $\det(A)$ .
Les systèmes linéaires ( $AX = B$ ) se résolvent par $X = A^{-1}B$ : c'est la méthode la plus systématique.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Réseaux et systèmes couplés : circuits électriques à mailles, chaînes de Markov industrielles

Mots-clés associés : MatriceProduit matricielInverseDéterminantSystème linéaire

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