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Suites numériques appliquées

Amortissements, intérêts composés, annuités

🔬 Application physique-chimie : Finance d'entreprise : emprunts, plans d'épargne, calcul d'annuités

Les intérêts composés ( $C_n = C_0(1+t)^n$ ) et les intérêts simples ( $C_n = C_0(1+nt)$ ) semblent proches à court terme, mais divergent considérablement sur longue durée : à $5\%$ sur $30$ ans, les intérêts composés multiplient le capital par $4{,}32$ contre $2{,}5$ pour les simples.

La différence vient de la "capitalisation" : en composés, les intérêts de chaque période produisent eux-mêmes des intérêts.

En finance d'entreprise BTS, les annuités (remboursements constants d'un emprunt) combinent les deux : chaque versement $a$ couvre d'abord les intérêts du solde restant, puis rembourse du capital.

En début d'emprunt, la part d'intérêts est élevée et décroît à chaque annuité — c'est pourquoi les premières mensualités remboursent peu de capital.

La durée de doublement s'approche par la "règle des 72" : $n \approx 72/t\%$ années.

📖 Vocabulaire clé

Intérêts simples : Les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial :

C_n = C_0(1 + nt)

. C'est une suite arithmétique de raison

C_0 \times t

. Utilisés pour les placements courts (< 1 an).

Intérêts composés : Les intérêts sont capitalisés à chaque période :

C_n = C_0(1+t)^n

. C'est une suite géométrique de raison

q = 1+t

. Standard pour les emprunts et placements longs.

Annuité constante $a$ : Versement périodique fixe pour rembourser un emprunt. Formule :

a = C_0 \times \frac{t}{1-(1+t)^{-n}}

. Chaque annuité contient une part d'intérêts (décroissante) et une part de capital (croissante).

Valeur acquise : Capital accumulé après

n

versements réguliers de

a

V_n = a \times \frac{(1+t)^n - 1}{t}

. C'est la somme d'une suite géométrique.

📋 Calculs financiers avec les suites

1 Intérêts composés : $C_n = C_0\times(1+t)^n$ (suite géométrique de raison $q=1+t$ ).

Exemple : $C_0 = 5000$ €, $t = 3\%$ , $n = 4$ ans → $C_4 = 5000 \times 1{,}03^4 = 5000 \times 1{,}1255 \approx 5628$ €.
2 Annuités constantes : pour un emprunt, la somme des valeurs actualisées des annuités égale le capital emprunté.

Exemple : Emprunt $10000$ € à $5\%$ sur $3$ ans → $a = 10000 \times \frac{0{,}05}{1-1{,}05^{-3}} = 10000 \times \frac{0{,}05}{0{,}1362} \approx 3672$ €/an.
3 Amortissement constant : remboursement $=$ capital $/$ durée, intérêts dégressifs.

Exemple : $10000$ € sur $4$ ans → amortissement $= 2500$ €/an. An 1 : intérêts $= 10000 \times 0{,}05 = 500$ €, versement $= 3000$ €.
4 Valeur acquise : par $n$ versements $a$ : $V=a\times\dfrac{(1+t)^n-1}{t}$ .

Exemple : $a = 100$ €/mois ( $1200$ €/an), $t = 4\%$ , $n = 10$ ans → $V = 1200 \times \frac{1{,}04^{10}-1}{0{,}04} \approx 14400$ €.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un salarié épargne

200

€ par mois (soit

2400

€/an) pendant

20

ans sur un plan d'épargne entreprise à

3{,}5\%

annuel. Quel capital aura-t-il accumulé ? Combien aura-t-il versé au total et combien les intérêts composés lui rapportent-ils ?

Démarche :

Annuité : $a = 2400$ €/an, taux $t = 0{,}035$ , durée $n = 20$ ans.
Valeur acquise : $V = a \times \frac{(1+t)^n - 1}{t} = 2400 \times \frac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035}$ .
$1{,}035^{20} \approx 1{,}9898$ . Donc $V = 2400 \times \frac{0{,}9898}{0{,}035} = 2400 \times 28{,}28 \approx 67\,872$ €.
Total versé : $2400 \times 20 = 48\,000$ €.
Gain dû aux intérêts composés : $67\,872 - 48\,000 = 19\,872$ €, soit $41\%$ de gain supplémentaire.

Réponse : Capital accumulé :

\approx 67\,872

€. Versé :

48\,000

€. Les intérêts composés rapportent

\approx 19\,872

€ de plus, soit

+41\%

grâce à la capitalisation.

📐 Formules clés

C_n = C_0(1+t)^n

V_n = a\cdot\dfrac{(1+t)^n-1}{t}

(valeur acquise d'annuités)

C_0 = a\cdot\dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t}

(capital = valeur actuelle d'annuités)

Durée :

n = \dfrac{\ln(C_n/C_0)}{\ln(1+t)}

🎨 Illustration

Capitalisation dans le temps

Intérêts simples contre intérêts composés : un écart qui explose

Les deux placements partent du même capital de 10 000 € à 5 % par an.

La capitalisation des intérêts composés (chaque intérêt produit lui-même des intérêts) creuse un écart de plus en plus grand avec le temps.

1 À $5\%$ par an, un capital de $10\,000$ € placé en intérêts simples (droite) atteint $25\,000$ € après $30$ ans : chaque année rapporte toujours le même montant d'intérêts.
2 Le même capital en intérêts composés (courbe) atteint $43\,219$ € après $30$ ans : chaque année, les intérêts déjà accumulés produisent eux-mêmes des intérêts.
3 L'écart entre les deux ( $18\,219$ € après $30$ ans) grandit chaque année — c'est la capitalisation qui fait toute la différence sur longue durée.

Ce qu'il faut lire : Les deux courbes partent du même point à gauche (le capital initial).

Plus on avance vers la droite (plus le temps passe), plus la courbe des intérêts composés s'éloigne vers le haut de la droite des intérêts simples.

Évolution comparée de 10 000 € placés à 5 % par an, en intérêts simples et en intérêts composés, sur 30 ans (valeurs vérifiées :

10\,000\times1{,}05^{10}\approx16\,289

€,

10\,000\times1{,}05^{30}\approx43\,219

€).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre intérêts simples ( $C_0(1+nt)$ ) et intérêts composés ( $C_0(1+t)^n$ ).

✅ La suggestion

Sur longue période, la différence est considérable.

💡 À retenir

Intérêts simples = suite arithmétique ( $C_0(1+nt)$ ). Intérêts composés = suite géométrique ( $C_0(1+t)^n$ ).
La règle des 72 : le capital double en $\approx 72/t\%$ années (ex. : $72/6 = 12$ ans à $6\%$ ).
Annuité constante : chaque versement contient une part d'intérêts (décroissante) et une part de capital (croissante).
Sur longue durée, la capitalisation fait une énorme différence : à $5\%$ sur $30$ ans, composés donnent $4{,}32 \times C_0$ contre $2{,}5 \times C_0$ en simples.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Finance d'entreprise : emprunts, plans d'épargne, calcul d'annuités

Mots-clés associés : AmortissementIntérêts composésAnnuitésCapitalEmprunt

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