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Lois de probabilité discrètes

Loi binomiale et loi de Poisson

🔬 Application physique-chimie : Fiabilité et contrôle qualité : taux de défauts, pannes machines, événements rares

En BTS, les lois discrètes modélisent les défauts de production, les pannes, les demandes clients.

La loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ compte les succès en $n$ essais indépendants avec probabilité $p$ constante — typiquement un contrôle qualité par échantillonnage.

La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ modélise les événements rares dans un intervalle : pannes/heure, arrivées/minute dans un centre d'appels, défauts/m² sur une tôle.

Quand $n$ est grand et $p$ petit, la Poisson approche la binomiale avec $\lambda = np$ : un contrôle sur $500$ pièces avec $2\%$ de défauts ( $\lambda = 10$ ) se calcule bien plus simplement avec Poisson. Le critère pratique d'approximation : $n \geq 30$ et $p \leq 0{,}1$ .

La propriété clé de Poisson : $E(X) = V(X) = \lambda$ — variance égale à la moyenne, ce qui n'est pas le cas en général.

📖 Vocabulaire clé

Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : Loi du nombre de succès en

n

épreuves indépendantes, chacune avec probabilité de succès

p

E(X) = np

V(X) = np(1-p)

Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : Loi du nombre d'événements rares dans un intervalle donné (temps, surface, volume). Paramètre

\lambda

= nombre moyen d'événements. Propriété clé :

E(X) = V(X) = \lambda

Coefficient binomial $\binom{n}{k}$ : Nombre de façons de choisir

k

éléments parmi

n

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

. Exemple :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10

Approximation de Poisson : Quand

n \geq 30

p \leq 0{,}1

, on approche

\mathcal{B}(n,p)

par

\mathcal{P}(\lambda = np)

. Les calculs sont beaucoup plus simples et la précision est excellente.

📋 Choisir entre binomiale et Poisson

1 Loi binomiale : $n$ répétitions indépendantes, probabilité $p$ constante.

Exemple : On tire $n = 10$ pièces d'un lot à $5\%$ de défauts. $X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}05)$ . $P(X = 0) = 0{,}95^{10} \approx 0{,}599$ .
2 Loi de Poisson : événements rares ( $\lambda=np$ fixé, $n$ grand, $p$ petit).

Exemple : Une machine a $2$ pannes/jour en moyenne. $P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}135$ (probabilité d'aucune panne).
3 Formule de Poisson : $P_{\mathcal{P}(\lambda)}(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ .

Exemple : $\lambda = 3$ , $k = 2$ → $P(X=2) = \frac{9}{2} \times e^{-3} \approx 4{,}5 \times 0{,}0498 \approx 0{,}224$ .
4 Moments de Poisson : $E(X)=V(X)=\lambda$ .

Exemple : Si $\lambda = 5$ pannes/jour, l'écart-type est $\sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ pannes/jour.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un fabricant de circuits imprimés sait que

1\%

des composants soudés sont défectueux. Une carte contient

200

soudures. Quelle est la probabilité d'avoir exactement

3

soudures défectueuses sur une carte ?

Démarche :

Modèle : $n = 200$ essais indépendants, $p = 0{,}01$ . C'est une loi $\mathcal{B}(200 ; 0{,}01)$ .
Comme $n \geq 30$ et $p \leq 0{,}1$ , on approche par Poisson avec $\lambda = np = 200 \times 0{,}01 = 2$ .
$P(X = 3) = \frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda} = \frac{2^3}{6} \times e^{-2} = \frac{8}{6} \times 0{,}1353$ .
$P(X = 3) = 1{,}333 \times 0{,}1353 \approx 0{,}180$ .
Il y a environ $18\%$ de chances d'avoir exactement $3$ soudures défectueuses.

Réponse :

P(X = 3) \approx 0{,}180

soit

18\%

. Avec Poisson (

\lambda = 2

), le calcul est immédiat comparé à la formule binomiale avec

\binom{200}{3}

📐 Formules clés

P_{\mathcal{B}(n,p)}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

P_{\mathcal{P}(\lambda)}(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

E_{\mathcal{P}}(X)=V_{\mathcal{P}}(X)=\lambda

🎨 Illustration

Loi de Poisson

Diagramme en bâtons de

\mathcal{P}(\lambda = 5)

En reprenant $\lambda = 5$ appels par minute (exemple du centre d'appels du problème du cours), chaque bâton a une hauteur calculée avec $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ pour $k = 0$ à $10$ : la distribution est asymétrique, avec un pic autour de $\lambda$ .

1 Calcul $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ pour $\lambda = 5$ : $P(X=3) \approx 0{,}140$ (valeur du problème du cours), $P(X=4) \approx 0{,}175$ , $P(X=5) \approx 0{,}175$ — les deux valeurs les plus probables.
2 Bâtons foncés : $k=4$ et $k=5$ , qui se partagent exactement le maximum de probabilité — particularité de la loi de Poisson quand $\lambda$ est un entier (les deux valeurs entières encadrant $\lambda$ sont alors co-modales).
3 La distribution est asymétrique : la probabilité décroît plus lentement à droite ( $P(X=10) \approx 0{,}018$ ) qu'elle ne le ferait par symétrie stricte, contrairement à la loi normale.

Ce qu'il faut lire : Ce qu'il faut lire : la hauteur de chaque bâton est calculée avec la vraie formule

P(X=k)=\lambda^k e^{-\lambda}/k!

, pas dessinée à main levée — la probabilité culmine autour de

k \approx \lambda

puis décroît, plus lentement à droite qu'à gauche.

Diagramme en bâtons de

\mathcal{P}(\lambda=5)

, calculé pour

k=0

10

(exemple du centre d'appels du cours).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La loi de Poisson suppose des événements rares et indépendants.

✅ La suggestion

Si les pannes se "groupent", la loi de Poisson n'est plus adaptée.

💡 À retenir

Binomiale = $n$ essais indépendants avec $p$ constant. Poisson = événements rares dans un intervalle.
Si $n \geq 30$ et $p \leq 0{,}1$ : approcher $\mathcal{B}(n,p)$ par $\mathcal{P}(np)$ pour simplifier les calculs.
Propriété clé de Poisson : $E(X) = V(X) = \lambda$ (moyenne = variance). Si ce n'est pas vérifié sur les données, Poisson n'est pas un bon modèle.
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^{-\lambda}$ : très utilisé pour la probabilité d'au moins un événement.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Fiabilité et contrôle qualité : taux de défauts, pannes machines, événements rares

Mots-clés associés : Loi binomialeLoi de PoissonEspéranceVarianceProcessus aléatoire

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