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Statistiques à deux variables

Nuage de points, corrélation, régression linéaire

🔬 Application physique-chimie : Modélisation et prévision industrielles : rendement d'un capteur, relation charge-consommation

Les statistiques à deux variables permettent de modéliser et prévoir : ventes en fonction de la publicité, résistance d'un matériau en fonction de la température, consommation en fonction de la vitesse.

La droite de régression des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite — c'est la droite qui "passe au mieux" à travers le nuage.

Le coefficient de corrélation $r \in [-1;1]$ mesure la force de la liaison LINÉAIRE uniquement : $r = 0$ ne signifie pas "pas de liaison" mais "pas de liaison linéaire" (il peut y avoir une relation parabolique).

Piège majeur : $r \approx \pm 1$ prouve une forte liaison linéaire, mais JAMAIS une causalité. Deux variables peuvent être fortement corrélées via une troisième variable cachée.

📖 Vocabulaire clé

Covariance $\text{Cov}(x,y)$ : Mesure la tendance de

x

y

à varier ensemble :

\text{Cov}(x,y) = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y}

. Positive si les deux augmentent ensemble, négative si l'une augmente quand l'autre diminue.

Coefficient de corrélation $r$ : Covariance normalisée :

r = \text{Cov}(x,y)/(\sigma_x \cdot \sigma_y) \in [-1;1]

|r| \approx 1

: forte liaison linéaire.

r \approx 0

: pas de liaison linéaire (mais une liaison non linéaire reste possible).

Droite de régression (moindres carrés) : Droite

y = ax + b

qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Elle passe toujours par le point moyen

(\bar{x}, \bar{y})

Corrélation fallacieuse (spurious correlation) : Forte corrélation entre deux variables sans lien causal direct, expliquée par une troisième variable cachée (ex. : ventes de glaces et noyades, toutes deux corrélées à la chaleur).

📋 Calculer la droite de régression

1 Covariance et variances : calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$ , les variances $V_x$ , $V_y$ et la covariance $\text{Cov}(x,y)$ .

Exemple : Points $(1;3)$ , $(2;5)$ , $(3;7)$ → $\bar{x} = 2$ , $\bar{y} = 5$ , $\overline{xy} = (3+10+21)/3 = 34/3 \approx 11{,}33$ , $\text{Cov} = 11{,}33 - 10 = 1{,}33$ .
2 Pente de la droite : coefficient directeur $a=\dfrac{\text{Cov}(x,y)}{V_x}$ .

Exemple : $V_x = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 14/3 - 4 = 2/3$ . $a = 1{,}33/(2/3) = 2$ .
3 Ordonnée à l'origine : $b=\bar{y}-a\bar{x}$ .

Exemple : $b = 5 - 2 \times 2 = 1$ . Droite : $y = 2x + 1$ .
4 Coefficient de corrélation : $r=\dfrac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}\in[-1;1]$ .

Exemple : Ici $r = 1$ (alignement parfait sur la droite).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un fabricant de panneaux solaires relève la puissance produite

y

(en W) en fonction de l'ensoleillement

x

(en kWh/m²/jour) :

(2;80)

(3;115)

(4;140)

(5;170)

(6;200)

. Déterminer la droite de régression et estimer la puissance pour

x = 7

kWh/m²/jour.

Démarche :

Moyennes : $\bar{x} = (2+3+4+5+6)/5 = 4$ ; $\bar{y} = (80+115+140+170+200)/5 = 141$ .
Calculs intermédiaires : $\overline{x^2} = (4+9+16+25+36)/5 = 18$ ; $\overline{xy} = (160+345+560+850+1200)/5 = 623$ .
$V_x = 18 - 16 = 2$ . $\text{Cov}(x,y) = 623 - 4 \times 141 = 623 - 564 = 59$ .
Coefficient directeur : $a = 59/2 = 29{,}5$ . Ordonnée : $b = 141 - 29{,}5 \times 4 = 23$ .
Droite : $y = 29{,}5x + 23$ . Pour $x = 7$ : $y = 29{,}5 \times 7 + 23 = 229{,}5$ W.

Réponse : Droite de régression :

y = 29{,}5x + 23

. Pour un ensoleillement de

7

kWh/m²/jour, la puissance estimée est

229{,}5

📐 Formules clés

\text{Cov}(x,y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}

V_x=\overline{x^2}-\bar{x}^2

a=\dfrac{\text{Cov}(x,y)}{V_x}

b=\bar{y}-a\bar{x}

r=\dfrac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x\cdot\sigma_y}

🎨 Illustration

Nuage de points et régression

Ajuster une droite à un nuage de points, et lire les résidus

Reprise des 5 points de l'exemple des panneaux solaires (puissance selon ensoleillement), avec la droite de régression $y=29{,}5x+23$ ajustée dessus.

Les petits segments verticaux sont les résidus : l'écart entre chaque point réel et la droite.

1 Axe $x$ : ensoleillement (kWh/m²/jour). Axe $y$ : puissance produite (W). Les 5 points sont $(2\,;\,80)$ , $(3\,;\,115)$ , $(4\,;\,140)$ , $(5\,;\,170)$ , $(6\,;\,200)$ .
2 La droite $y=29{,}5x+23$ passe par le point moyen $(\bar{x}\,;\,\bar{y})=(4\,;\,141)$ : on vérifie $29{,}5\times4+23=141$ , exactement $\bar{y}$ .
3 Les résidus sont petits (entre $-2$ et $+3{,}5$ W) : signe d'un excellent ajustement linéaire, confirmé par un coefficient de corrélation recalculé $r\approx0{,}999$ .

Ce qu'il faut lire : Chaque point représente une mesure réelle. Le petit segment vertical entre un point et la droite est son résidu : plus il est court, mieux la droite représente ce point.

Nuage de points, droite de régression (

y=29{,}5x+23

, vérifiée par recalcul :

a=\text{Cov}/V_x=59/2=29{,}5

b=\bar{y}-a\bar{x}=141-118=23

) et résidus pour l'exemple des panneaux solaires.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$|r|\approx1$ indique une forte liaison linéaire, mais pas une causalité !

✅ La suggestion

Deux variables peuvent être corrélées sans lien de cause à effet.

💡 À retenir

La droite de régression $y = ax + b$ passe toujours par le point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$ .
$|r|$ proche de $1$ indique une forte liaison linéaire. $|r| < 0{,}5$ : liaison linéaire faible.
Corrélation $\neq$ causalité : toujours chercher une explication logique avant de conclure.
Ne pas extrapoler loin des données observées : la relation linéaire peut ne plus être valable hors du domaine mesuré.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Modélisation et prévision industrielles : rendement d'un capteur, relation charge-consommation

Mots-clés associés : Régression linéaireCorrélationNuage de pointsDroite des moindres carrés

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