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Primitives et calcul intégral appliqué

Intégrales définies, aires, valeur moyenne

🔬 Application physique-chimie : Grandeurs qui s'accumulent : distance, charge électrique, énergie, valeur efficace d'un signal

L'intégrale définie est l'outil de l'accumulation : distance = $\int v\,dt$ , charge électrique = $\int i\,dt$ , énergie = $\int p\,dt$ , revenu cumulé = $\int r(t)\,dt$ .

Elle calcule une AIRE ALGÉBRIQUE : négative si $f < 0$ . Pour l'aire géométrique réelle (toujours positive), il faut découper l'intervalle là où $f$ change de signe et prendre la valeur absolue de chaque morceau.

La valeur moyenne $\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ est fondamentale en électronique AC : la valeur efficace (RMS) d'un signal est $U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,dt}$ .

L'intégration par parties $\int u\,v'\,dx = [uv] - \int u'v\,dx$ permet de traiter les produits $x e^x$ , $x \cos x$ , etc.

📖 Vocabulaire clé

Primitive $F$ de $f$ : Fonction telle que

F'(x) = f(x)

sur un intervalle. Elle est unique à une constante près : si

F

est une primitive, toute primitive s'écrit

F + C

Intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ : Aire algébrique entre la courbe

y = f(x)

, l'axe

x

et les droites

x = a

x = b

. Positive si

f \geq 0

, négative si

f \leq 0

Valeur moyenne $\bar{f}$ : Hauteur constante qui produirait la même aire :

\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

. En électronique, la valeur moyenne d'un signal AC symétrique est nulle.

Intégration par parties (IPP) : Technique pour intégrer un produit :

\int u \cdot v'\,dx = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\,dx

. On choisit

u

v'

de sorte que

\int u'v

soit plus simple que l'intégrale de départ.

📋 Calculer une intégrale définie

1 Recherche de la primitive : trouver une fonction $F$ telle que $F'=f$ (antidérivée).

Exemple : $f(x) = 3x^2$ → $F(x) = x^3$ (car $(x^3)' = 3x^2$ ).
2 Calcul de l'intégrale définie : appliquer la formule $\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$ .

Exemple : $\int_1^3 3x^2\,dx = [x^3]_1^3 = 27 - 1 = 26$ .
3 Moyenne d'une fonction : $\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .

Exemple : $\bar{f} = \frac{26}{3-1} = 13$ .
4 Intégration par parties : $\int u\,v'\,dx = [uv]-\int u'\,v\,dx$ .

Exemple : $\int_0^1 x e^x\,dx$ : $u = x$ , $v' = e^x$ → $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Le courant dans un circuit varie selon

i(t) = 2\sin(100\pi t)

A pendant une demi-période (

t \in [0 ; 0{,}01]

s, soit

T/2 = 0{,}01

s pour

f = 50

Hz). Calculer la charge électrique

Q = \int_0^{0{,}01} i(t)\,dt

transférée pendant cette demi-période.

Démarche :

Primitive de $2\sin(100\pi t)$ : $F(t) = -\frac{2}{100\pi}\cos(100\pi t) = -\frac{1}{50\pi}\cos(100\pi t)$ .
$Q = \left[-\frac{1}{50\pi}\cos(100\pi t)\right]_0^{0{,}01}$ .
$Q = -\frac{1}{50\pi}\cos(\pi) - \left(-\frac{1}{50\pi}\cos(0)\right)$ .
$Q = -\frac{1}{50\pi}(-1) + \frac{1}{50\pi}(1) = \frac{1}{50\pi} + \frac{1}{50\pi} = \frac{2}{50\pi} = \frac{1}{25\pi}$ .
$Q \approx 0{,}0127$ C soit $12{,}7$ mC.

Réponse :

Q = \frac{1}{25\pi} \approx 12{,}7

mC transférés pendant une demi-période.

📐 Formules clés

\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

(

n\ne-1

)

\int e^x\,dx = e^x+C

\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C

\bar{f}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

🎨 Illustration

Aire algébrique — application électronique

Charge

Q=\int i(t)\,dt

: aires positive et négative sur une période complète

Reprise du courant $i(t) = 2\sin(100\pi t)$ A du cours ( $f=50$ Hz, période $T=0{,}02$ s), observé ici sur la période complète $t\in[0\,;\,0{,}02]$ s plutôt que sur la demi-période de l'exemple.

Sur $[0\,;\,10]$ ms, $i(t)\geq0$ : l'aire est positive (hachures vertes), $Q_+\approx12{,}7$ mC — c'est exactement la valeur calculée dans l'exemple du cours.

Sur $[10\,;\,20]$ ms, $i(t)\leq0$ : l'aire est négative (hachures rouges), $Q_-\approx-12{,}7$ mC.

La charge algébrique totale sur la période complète est $Q=Q_++Q_-=0$ C, cohérente avec la valeur moyenne nulle d'un signal AC symétrique.

1 Sur $[0\,;\,10]$ ms, $i(t)=2\sin(100\pi t)\geq0$ : la contribution à l'intégrale est positive, $Q_+=\int_0^{0{,}01}i(t)\,dt\approx12{,}7$ mC (hachures vertes) — c'est la valeur calculée dans l'exemple du cours.
2 Sur $[10\,;\,20]$ ms, $i(t)\leq0$ : la contribution est négative, $Q_-=\int_{0{,}01}^{0{,}02}i(t)\,dt\approx-12{,}7$ mC (hachures rouges).
3 La charge totale sur une période complète $Q=Q_++Q_-=0$ C confirme que la valeur moyenne d'un courant sinusoïdal pur sur une période entière est nulle — seule la valeur efficace (RMS) rend compte de l'énergie réellement transportée.

Ce qu'il faut lire : Le vert et le rouge distinguent les deux demi-périodes où le courant change de sens. L'intégrale les additionne avec leur signe (ici elles s'annulent) ; l'aire géométrique réelle (charge totale déplacée, sans compensation de signe) serait

|Q_+|+|Q_-|\approx25{,}5

mC.

Courant

i(t)=2\sin(100\pi t)

A sur une période

T=0{,}02

s :

Q_+\approx12{,}7

mC (vert) et

Q_-\approx-12{,}7

mC (rouge), soit une charge algébrique nette nulle sur la période.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$\int_a^b f(x)\,dx$ peut être négative si $f<0$ sur $[a;b]$ .

✅ La suggestion

Pour l'aire géométrique (positive), prendre la valeur absolue ou découper l'intervalle.

💡 À retenir

L'intégrale définie calcule une aire ALGÉBRIQUE (peut être négative). Pour l'aire géométrique, prendre $\int |f(x)|\,dx$ .
La formule fondamentale $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$ nécessite de connaître une primitive $F$ .
La valeur moyenne $\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ est la hauteur du rectangle de même aire sur le même intervalle.
En physique : $\int v\,dt$ = distance, $\int i\,dt$ = charge, $\int p\,dt$ = énergie. L'intégrale traduit toujours une accumulation.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Grandeurs qui s'accumulent : distance, charge électrique, énergie, valeur efficace d'un signal

Mots-clés associés : PrimitiveIntégraleAireValeur moyenneIntégration par parties

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