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Dérivation appliquée

Coûts marginaux, optimisation économique

🔬 Application physique-chimie : Gestion de production industrielle : quantité optimale, seuil de rentabilité, coût marginal

En économie et gestion, chaque dérivée porte un nom métier : $C'(x)$ est le coût marginal (coût supplémentaire de la $x$ -ième unité), $R'(x)$ est la recette marginale.

Le profit $\Pi = R - C$ est maximisé quand $R'(x) = C'(x)$ — c'est-à-dire quand il n'est plus rentable de produire une unité supplémentaire.

ATTENTION : $R(x) = C(x)$ est le SEUIL DE RENTABILITÉ (profit nul), pas la condition de maximum — confondre les deux est une erreur classique en gestion.

La dérivée seconde $\Pi''(x_0) < 0$ confirme que l'extremum est bien un maximum (et non un minimum).

En pratique, la quantité optimale doit toujours être entière et positive : si $x^* = 4{,}7$ , on compare $\Pi(4)$ et $\Pi(5)$ .

📖 Vocabulaire clé

Coût marginal $C_m(x) = C'(x)$ : Coût supplémentaire engendré par la production d'une unité de plus. C'est la dérivée de la fonction de coût total.

Recette marginale $R_m(x) = R'(x)$ : Recette supplémentaire apportée par la vente d'une unité de plus. C'est la dérivée de la fonction de recette totale.

Seuil de rentabilité : Quantité

x

telle que

R(x) = C(x)

, soit

\Pi(x) = 0

. En dessous : perte ; au-dessus : bénéfice. Ne pas confondre avec le maximum de profit.

Profit maximal : Atteint quand

\Pi'(x) = R'(x) - C'(x) = 0

, c'est-à-dire quand la recette marginale égale le coût marginal. Vérifier

\Pi''(x) < 0

pour confirmer le maximum.

📋 Optimiser une fonction économique

1 Optimisation économique : définir la fonction à optimiser (profit, coût, recette) sur son domaine.

Exemple : $R(x) = 20x$ (prix unitaire $20$ €), $C(x) = x^2 + 4x + 30$ . Profit : $\Pi(x) = -x^2 + 16x - 30$ .
2 Dérivée et points critiques : calculer la dérivée et résoudre $f'(x)=0$ .

Exemple : $\Pi'(x) = -2x + 16 = 0 \Rightarrow x^* = 8$ unités.
3 Vérification du maximum : vérifier le signe de $f'$ ou $f''$ de part et d'autre du point critique.

Exemple : $\Pi''(x) = -2 < 0$ : c'est bien un maximum.
4 Interprétation économique : traduire le résultat en unités concrètes (quantité, profit).

Exemple : $\Pi(8) = -64 + 128 - 30 = 34$ €. Produire $8$ unités maximise le profit à $34$ €.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une PME fabrique des capteurs. Le coût total est

C(x) = 0{,}5x^2 + 3x + 100

€ et le prix de vente unitaire est

p = 25

€ (

x

= nombre de capteurs). Déterminer la quantité optimale et le profit maximal.

Démarche :

Recette : $R(x) = 25x$ .
Profit : $\Pi(x) = R(x) - C(x) = 25x - 0{,}5x^2 - 3x - 100 = -0{,}5x^2 + 22x - 100$ .
Dérivée : $\Pi'(x) = -x + 22 = 0 \Rightarrow x^* = 22$ capteurs.
Vérification : $\Pi''(x) = -1 < 0$ → maximum confirmé.
Profit maximal : $\Pi(22) = -0{,}5 \times 484 + 22 \times 22 - 100 = -242 + 484 - 100 = 142$ €.

Réponse : Produire

22

capteurs pour un profit maximal de

142

€. Le coût marginal au point optimal vaut

C'(22) = 22 + 3 = 25

€/unité, qui est bien égal au prix de vente.

📐 Formules clés

Coût marginal :

C_m(x)=C'(x)

Recette marginale :

R_m(x)=R'(x)

Profit maximal :

R'(x)=C'(x)

Profit :

\Pi(x)=R(x)-C(x)

🎨 Illustration

Parabole de profit

Profit

\Pi(x) = -0{,}5x^2+22x-100

: sommet et seuils de rentabilité

Reprise de l'exemple chiffré du cours : une PME vend des capteurs à $25$ € l'unité, pour un coût total $C(x)=0{,}5x^2+3x+100$ .

Le profit $\Pi(x) = -0{,}5x^2+22x-100$ trace une parabole tournée vers le bas.

Le marqueur plein repère le sommet ( $\Pi'(x)=0$ ) : maximum de profit en $x^{*}=22$ , avec $\Pi(22)=142$ €.

Les marqueurs creux repèrent les seuils de rentabilité ( $\Pi(x)=0$ ), recalculés à partir de l'équation $x^2-44x+200=0$ : $x_1\approx5{,}15$ et $x_2\approx38{,}85$ unités.

1 Le marqueur plein est le sommet de la parabole, où $\Pi'(x)=-x+22=0$ , soit $x^{*}=22$ . C'est le maximum de profit ( $\Pi''(x)=-1<0$ confirme un maximum) : $\Pi(22)=142$ €.
2 Les deux marqueurs creux sur l'axe horizontal sont les seuils de rentabilité ( $\Pi(x)=0$ ) : en résolvant $x^2-44x+200=0$ , on trouve $x_1\approx5{,}15$ et $x_2\approx38{,}85$ . Entre ces deux valeurs, l'entreprise est bénéficiaire ; en dehors, elle est en perte.
3 Ne jamais confondre les deux notions : le sommet donne le meilleur profit possible ; les racines donnent seulement un profit nul (ni gain, ni perte).

Ce qu'il faut lire : Un marqueur plein signale un extremum (ici un maximum) ; des marqueurs creux signalent des zéros de la fonction. Sur une courbe de profit, ne jamais confondre les deux : le sommet est le meilleur résultat, les racines ne sont que le seuil de rentabilité (profit nul).

Profit

\Pi(x)=-0{,}5x^2+22x-100

: maximum en

(22\,;\,142)

, seuils de rentabilité en

x\approx5{,}15

x\approx38{,}85

(exemple chiffré du cours).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Vérifier toujours le domaine de validité : une quantité ne peut pas être négative.

✅ La suggestion

Un extremum hors du domaine physique est sans intérêt économique.

💡 À retenir

Le profit est maximal quand $R'(x) = C'(x)$ (recette marginale = coût marginal), pas quand $R(x) = C(x)$ (seuil de rentabilité).
Toujours vérifier la nature de l'extremum : $\Pi''(x^*) < 0$ confirme un maximum, $> 0$ un minimum.
Au point optimal, le coût marginal est exactement égal au prix de vente (si prix constant).
La quantité optimale doit être un entier positif : si $x^* = 4{,}7$ , comparer $\Pi(4)$ et $\Pi(5)$ .

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Gestion de production industrielle : quantité optimale, seuil de rentabilité, coût marginal

Mots-clés associés : Coût marginalOptimisationDérivéeMaximum de profitÉlasticité

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