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Fonctions d'une variable réelle

Révisions et compléments (limites, continuité, dérivée)

🔬 Application physique-chimie : Modélisation de grandeurs physiques : rendement d'un convertisseur, réponse en fréquence, lois de saturation

En BTS, l'étude complète d'une fonction est un outil de modélisation : une fonction de coût, une loi de transfert, une réponse impulsionnelle — chacune nécessite domaine, limites, variations et asymptotes.

Le domaine de définition est contraint par les dénominateurs ( $\neq 0$ ), les racines carrées ( $\geq 0$ ) et les logarithmes ( $> 0$ ).

Les asymptotes décrivent le comportement aux extrêmes : asymptote verticale là où la fonction "explose", horizontale si elle se stabilise.

Attention : un point exclu du domaine ne génère pas toujours une asymptote verticale — si le numérateur s'annule aussi, on obtient un "trou" (discontinuité effaçable) et non une asymptote.

La règle de L'Hôpital lève les formes indéterminées $0/0$ ou $\infty/\infty$ en dérivant numérateur et dénominateur séparément — elle est correcte mais souvent inutile si on sait factoriser.

📖 Vocabulaire clé

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des valeurs de

x

pour lesquelles

f(x)

existe. Exclu : les valeurs qui annulent un dénominateur, qui rendent un radicande négatif, ou un argument de logarithme

\leq 0

Asymptote horizontale : Droite

y = L

telle que

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L

. La courbe s'en rapproche indéfiniment sans la toucher (en général).

Asymptote verticale : Droite

x = a

telle que

\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

. La courbe "explose" au voisinage de

a

Discontinuité effaçable (trou) : Point

x = a

exclu du domaine mais où la limite de

f

est finie. En prolongeant

f

par cette limite, on obtient une fonction continue. Ce n'est PAS une asymptote verticale.

📋 Étude complète d'une fonction

1 Domaine de définition : annuler les dénominateurs, poser les conditions de la racine ou du logarithme.

Exemple : $f(x) = \ln(3x - 6)$ → condition $3x - 6 > 0$ , soit $x > 2$ → $D_f = ]2 ; +\infty[$ .
2 Étude des limites : limites aux bornes du domaine (et en $\pm\infty$ ).

Exemple : $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ → $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ (AH) et $\lim_{x \to 3} f(x) = \pm\infty$ (AV en $x=3$ ).
3 Tableau de variations : le signe de la dérivée $f'$ donne directement les intervalles de croissance et de décroissance.

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x$ → $f'(x) = 2x - 4 = 0$ en $x = 2$ . $f'(x) < 0$ pour $x < 2$ (décroissante), $f'(x) > 0$ pour $x > 2$ (croissante). Minimum en $x = 2$ : $f(2) = -4$ .
4 Asymptotes : horizontale si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ ; verticale si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ .

Exemple : $f(x) = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$ → pas d'AH, mais asymptote oblique $y = x$ (car $f(x) - x = 1/x \to 0$ ).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un convertisseur électronique a un rendement modélisé par

\eta(x) = \dfrac{100x}{x + 5}

(en %,

x > 0

étant la charge en ampères). Étudier cette fonction : domaine, limite, asymptote et sens de variation.

Démarche :

Domaine : $x + 5 \neq 0$ et $x > 0$ (charge positive), donc $D_f = ]0 ; +\infty[$ .
Limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{100x}{x+5} = \lim \frac{100}{1+5/x} = 100$ . Asymptote horizontale $y = 100$ : le rendement ne dépasse jamais $100\%$ .
Dérivée : $\eta'(x) = \frac{100(x+5) - 100x}{(x+5)^2} = \frac{500}{(x+5)^2} > 0$ pour tout $x > 0$ .
La fonction est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ : le rendement augmente avec la charge mais sature vers $100\%$ .

Réponse : Le rendement

\eta

est croissant de

0

vers

100\%

(asymptote horizontale). Il n'atteint jamais

100\%

mais s'en rapproche indéfiniment.

📐 Formules clés

Asymptote oblique

y=ax+b

a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}

b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)

(e^x)' = e^x

(\ln x)'=\frac{1}{x}

(x^n)'=nx^{n-1}

Règle de L'Hôpital :

\lim\frac{f}{g}\xrightarrow[0/0 \text{ ou } \infty/\infty]{}\lim\frac{f'}{g'}

🎨 Illustration

Exemple du cours — asymptote horizontale

Courbe du rendement

\eta(x) = \dfrac{100x}{x+5}

Sur le domaine $]0\,;\,+\infty[$ , la courbe croît rapidement puis se rapproche de l'asymptote horizontale $y=100$ sans jamais l'atteindre.

1 Le domaine est $]0\,;\,+\infty[$ : la courbe part d'un point ouvert en $x=0$ (cercle non rempli), valeur exclue du domaine.
2 La dérivée $\eta'(x) = \dfrac{500}{(x+5)^2} > 0$ pour tout $x>0$ : la fonction est strictement croissante sur tout le domaine.
3 L'asymptote horizontale $y=100$ (pointillés) montre que le rendement se rapproche de $100\,\%$ sans jamais l'atteindre : par exemple $\eta(20)=80\,\%$ , encore loin de la saturation.

Ce qu'il faut lire : La courbe illustre une saturation typique en électronique : le rendement croît vite au début, puis de plus en plus lentement, en restant toujours en dessous de l'asymptote horizontale

y=100

Rendement

\eta(x)=\dfrac{100x}{x+5}

d'un convertisseur : croissance sur

]0\,;\,+\infty[

vers l'asymptote horizontale

y=100

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Une asymptote verticale en $x=a$ implique que $a$ est exclu du domaine, mais un point exclu du domaine ne donne pas forcément une asymptote verticale (peut être un trou).

💡 À retenir

Le domaine est contraint par 3 interdits : dénominateur $= 0$ , radicande $< 0$ , argument du $\ln \leq 0$ .
Bien distinguer asymptote verticale ( $\lim = \pm\infty$ ) et trou (discontinuité effaçable, $\lim$ finie).
Le signe de $f'$ donne directement les intervalles de croissance/décroissance.
En ingénierie, les asymptotes horizontales modélisent souvent une saturation (rendement, température d'équilibre, vitesse limite).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Modélisation de grandeurs physiques : rendement d'un convertisseur, réponse en fréquence, lois de saturation

Mots-clés associés : FonctionLimiteContinuitéDérivéeTableau de variations

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