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Loi normale

Distribution de Gauss, intervalles de confiance, z-score

🔬 Application physique-chimie : Analyse des erreurs de mesure, contrôle qualité, distribution des résultats expérimentaux

La loi normale est omniprésente car le théorème central limite garantit que la MOYENNE d'un grand nombre de variables indépendantes converge vers une loi normale — quelle que soit la distribution d'origine.

En contrôle qualité, les cotes d'usinage, les résistances de composants, les erreurs de pesée suivent toutes une loi normale. La règle des $68$ - $95$ - $99{,}7\%$ (une, deux, trois fois $\sigma$ ) est à connaître par cœur.

La centration-réduction $Z = (X-\mu)/\sigma$ ramène toute loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ à la loi standard $\mathcal{N}(0,1)$ , dont on lit les probabilités dans une table unique.

Pour les petits échantillons ( $n < 30$ ), la loi de Student remplace la loi normale : ses queues sont plus épaisses, ce qui élargit les intervalles de confiance.

📖 Vocabulaire clé

Espérance $\mu$ : Centre de la distribution normale. C'est la valeur la plus probable (mode = médiane = moyenne). La courbe de Gauss est symétrique autour de

\mu

Écart-type $\sigma$ : Largeur de la cloche de Gauss.

68\%

des valeurs tombent dans

[\mu - \sigma ; \mu + \sigma]

. Plus

\sigma

est petit, plus la distribution est concentrée.

Centration-réduction (z-score) : Transformation

Z = (X - \mu)/\sigma

qui ramène toute loi

\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

à la loi standard

\mathcal{N}(0, 1)

, permettant d'utiliser une table unique.

Intervalle de confiance : Intervalle

[\bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n} ;\ \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}]

qui contient la vraie moyenne

\mu

avec une probabilité donnée (95% pour

z = 1{,}96

📋 Méthode

1 Centrage-réduction : $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ .

Exemple : Si $X \sim \mathcal{N}(80, 10^2)$ et $x = 95$ → $Z = (95 - 80)/10 = 1{,}5$ .
2 Lecture de la table : $P(Z \leq z) = \Phi(z)$ . La table donne les probabilités pour des valeurs positives.

Exemple : $P(Z \leq 1{,}5) = \Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ , donc $P(X \leq 95) \approx 93{,}3\%$ .
3 Intervalle de confiance : à 95 % : $\left[\bar{x} - 1{,}96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ;\ \bar{x} + 1{,}96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ (ou $\pm 2\sigma$ en approximation).

Exemple : $\bar{x} = 80$ , $\sigma = 10$ , $n = 25$ → IC = $[80 - 1{,}96 \times 2 ;\ 80 + 1{,}96 \times 2] = [76{,}08 ;\ 83{,}92]$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Des résistances de

470

Ω sont fabriquées avec une tolérance annoncée à

5\%

. Un contrôle sur un échantillon de

n = 36

pièces donne

\bar{x} = 468

Ω et

\sigma = 12

Ω. Calculer l'intervalle de confiance à

95\%

pour la vraie moyenne

\mu

. Les résistances sont-elles conformes ?

Démarche :

La tolérance $5\%$ de $470$ Ω donne l'intervalle nominal $[446{,}5 ;\ 493{,}5]$ Ω.
Demi-largeur de l'IC : $1{,}96 \times \sigma/\sqrt{n} = 1{,}96 \times 12/\sqrt{36} = 1{,}96 \times 2 = 3{,}92$ Ω.
IC à $95\%$ : $[468 - 3{,}92 ;\ 468 + 3{,}92] = [464{,}08 ;\ 471{,}92]$ Ω.
L'IC est entièrement inclus dans l'intervalle de tolérance $[446{,}5 ;\ 493{,}5]$ : la production est conforme à $95\%$ .

Réponse : IC =

[464{,}08 ;\ 471{,}92]

Ω. La production est conforme car l'IC est inclus dans la tolérance

\pm 5\%

📐 Formules clés

Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}

P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\%

P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\%

\text{IC}_{95\%} = \bar{x} \pm 1{,}96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

🎨 Illustration

Courbe de Gauss

Répartition des valeurs pour

\mathcal{N}(100\,;\,15^2)

Courbe de densité $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ calculée point par point pour $\mu = 100$ et $\sigma = 15$ : les trois bandes montrent où se concentrent $68{,}3\%$ , $95{,}4\%$ et $99{,}7\%$ des valeurs autour de la moyenne.

1 Bande la plus foncée : $[85\,;\,115] = [\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma]$ , soit $68{,}3\%$ des valeurs.
2 Bande intermédiaire : $[70\,;\,130] = [\mu-2\sigma\,;\,\mu+2\sigma]$ , soit $95{,}4\%$ des valeurs — c'est l'intervalle du quiz ci-dessus.
3 Bande la plus large : $[55\,;\,145] = [\mu-3\sigma\,;\,\mu+3\sigma]$ , soit $99{,}7\%$ des valeurs : au-delà, une valeur est quasiment exclue.

Ce qu'il faut lire : La hauteur de la courbe en chaque point

x

est calculée avec la vraie formule de densité

f(x)

, pas dessinée à main levée : plus

x

s'éloigne de

\mu=100

, plus

f(x)

chute, ce qui traduit la rareté des valeurs extrêmes.

Courbe de densité de

\mathcal{N}(100\,;\,15^2)

avec la règle

68

95

99{,}7\%

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La loi normale est définie par $\mu$ (espérance = centre) et $\sigma$ (écart-type = largeur).

✅ La suggestion

Ne pas confondre $\sigma$ (paramètre de la population) et $s$ (écart-type de l'échantillon, estimateur de $\sigma$ ).

Pour un petit échantillon ( $n < 30$ ), on utilise la loi de Student au lieu de la loi normale.

💡 À retenir

La règle $68$ - $95$ - $99{,}7$ : $\pm 1\sigma$ contient $68\%$ , $\pm 2\sigma$ contient $95\%$ , $\pm 3\sigma$ contient $99{,}7\%$ des valeurs.
La centration-réduction $Z = (X-\mu)/\sigma$ ramène toute loi normale à $\mathcal{N}(0,1)$ pour utiliser une table unique.
L'intervalle de confiance se rétrécit quand $n$ augmente (en $1/\sqrt{n}$ ) ou quand $\sigma$ diminue.
Pour $n < 30$ , utiliser la loi de Student (queues plus épaisses que la loi normale).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Analyse des erreurs de mesure, contrôle qualité, distribution des résultats expérimentaux

Mots-clés associés : Loi normaleGaussEspéranceÉcart-typez-scoreIntervalle de confiance

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