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Statistiques et Calculs d'Incertitudes

Moyenne, écart-type, incertitude type A

🔬 Application physique-chimie : Validation expérimentale, expression du résultat avec incertitude

En métrologie industrielle, un résultat sans incertitude n'a aucune valeur : $R = 100{,}0$ Ω seul est inutile, $R = 100{,}0 \pm 1{,}1$ Ω à 95% est un résultat exploitable.

Le GUM (Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement) distingue deux types : type A (évaluation statistique sur répétitions) et type B (abaques, certificats d'étalonnage, notices).

L'incertitude type A se réduit en $1/\sqrt{n}$ : doubler le nombre de mesures divise l'incertitude par $\sqrt{2}$ , pas par 2.

L'écart-type d'un échantillon se calcule avec $(n-1)$ au dénominateur — et non $n$ — pour obtenir un estimateur non biaisé de la dispersion de la population. Cette correction de Bessel est cruciale pour les petits échantillons ( $n < 10$ ).

L'incertitude élargie $U = k \cdot u_A$ avec $k=2$ correspond à environ $95\%$ des cas (loi normale).

📖 Vocabulaire clé

Moyenne $\bar{x}$ : Valeur centrale d'un ensemble de mesures :

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i

. C'est la meilleure estimation de la grandeur mesurée.

Écart-type expérimental $s$ : Mesure de la dispersion des mesures autour de la moyenne :

s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

. Plus

s

est grand, plus les mesures sont dispersées.

Incertitude type A $u_A$ : Incertitude sur la moyenne estimée par méthode statistique :

u_A = s/\sqrt{n}

. Elle diminue quand le nombre de mesures

n

augmente.

Correction de Bessel : Division par

(n-1)

au lieu de

n

dans le calcul de la variance d'un échantillon. Cela compense le fait que

\bar{x}

est elle-même estimée sur l'échantillon, consommant un degré de liberté.

📋 Méthode d'évaluation de type A

1 Moyenne des mesures : réaliser $n$ mesures $x_1, x_2, \ldots, x_n$ puis calculer $\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ .

Exemple : $n = 4$ mesures de tension : $5{,}1$ ; $4{,}9$ ; $5{,}0$ ; $5{,}2$ V → $\bar{x} = (5{,}1+4{,}9+5{,}0+5{,}2)/4 = 20{,}2/4 = 5{,}05$ V.
2 Écart-type expérimental : $s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$ .

Exemple : Écarts : $(0{,}05)^2 + (-0{,}15)^2 + (-0{,}05)^2 + (0{,}15)^2 = 0{,}05$ → $s = \sqrt{0{,}05/3} \approx 0{,}129$ V.
3 Incertitude type A : $u_A = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ . Le résultat final s'exprime : $\bar{x} \pm k \cdot u_A$ où $k = 2$ (intervalle à 95%) ou $k = 3$ (99%).

Exemple : $u_A = 0{,}129/\sqrt{4} = 0{,}065$ V → résultat : $U = 5{,}05 \pm 0{,}13$ V (à 95%, $k=2$ ).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un technicien mesure 5 fois la longueur d'une pièce usinée (en mm) :

50{,}12

;

49{,}95

;

50{,}08

;

50{,}01

;

49{,}94

. Exprimer le résultat avec son incertitude à 95%.

Démarche :

Moyenne : $\bar{x} = (50{,}12 + 49{,}95 + 50{,}08 + 50{,}01 + 49{,}94)/5 = 250{,}10/5 = 50{,}02$ mm.
Écarts à la moyenne : $0{,}10$ ; $-0{,}07$ ; $0{,}06$ ; $-0{,}01$ ; $-0{,}08$ .
Somme des carrés des écarts : $0{,}01 + 0{,}0049 + 0{,}0036 + 0{,}0001 + 0{,}0064 = 0{,}025$ .
Écart-type : $s = \sqrt{0{,}025/4} = \sqrt{0{,}00625} \approx 0{,}079$ mm.
Incertitude type A : $u_A = 0{,}079/\sqrt{5} \approx 0{,}035$ mm.
Résultat à 95% ( $k=2$ ) : $L = 50{,}02 \pm 0{,}07$ mm.

Réponse :

L = 50{,}02 \pm 0{,}07

mm (à 95% de confiance).

📐 Formules clés

\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i

(moyenne)

s = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

(écart-type)

u_A = \dfrac{s}{\sqrt{n}}

(incertitude type A)

Résultat :

R = \bar{x} \pm k \cdot u_A

🎨 Illustration

Intervalles emboîtés

Intervalles de confiance autour de

\bar{x} = 100{,}0

En reprenant l'exemple du problème du cours ( $n=5$ résistances, $\bar{x} = 100{,}0$ Ω, $s \approx 1{,}19$ Ω, $u_A \approx 0{,}53$ Ω), l'axe gradué place la moyenne au centre et fait apparaître deux intervalles emboîtés : $\bar{x} \pm u_A$ (zone foncée) et $\bar{x} \pm 2u_A$ (zone claire), ce dernier englobant entièrement le premier.

1 Intervalle $\bar{x} \pm u_A$ : $[100{,}0 - 0{,}53\,;\,100{,}0 + 0{,}53] = [99{,}47\,;\,100{,}53]$ Ω (zone foncée, la plus étroite).
2 Intervalle $\bar{x} \pm 2u_A$ : $[100{,}0 - 1{,}06\,;\,100{,}0 + 1{,}06] = [98{,}94\,;\,101{,}06]$ Ω (zone claire, deux fois plus large, qui englobe entièrement la première).
3 Valeurs reprises du problème du cours : $\bar{R} = 100{,}0$ Ω et $s \approx 1{,}19$ Ω pour $n = 5$ mesures, d'où $u_A = s/\sqrt{5} \approx 0{,}53$ Ω.

Ce qu'il faut lire : Ce qu'il faut lire : le second intervalle (

\pm 2u_A

) englobe complètement le premier (

\pm u_A

) — il est deux fois plus large et correspond au niveau de confiance à

95\%

utilisé dans le cours (contre un niveau de confiance plus faible pour

\pm u_A

seul).

Axe gradué de la résistance

R

(Ω) : intervalles de confiance emboîtés

\bar{x} \pm u_A

\bar{x} \pm 2u_A

, recalculés à partir de l'exemple du cours (

\bar{x}=100{,}0

Ω,

u_A \approx 0{,}53

Ω).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

On divise par $(n-1)$ et non par $n$ pour l'écart-type d'un échantillon.

Diviser par $n$ donnerait l'écart-type de la population entière (si on la connaissait).

✅ La suggestion

Avec un échantillon fini, $(n-1)$ donne un estimateur non biaisé.

💡 À retenir

Toujours exprimer un résultat expérimental avec son incertitude : $\bar{x} \pm k \cdot u_A$ .
L'écart-type $s$ (dispersion) se calcule avec $(n-1)$ au dénominateur (correction de Bessel), pas $n$ .
L'incertitude $u_A = s/\sqrt{n}$ diminue en $1/\sqrt{n}$ : pour diviser l'incertitude par 2, il faut 4 fois plus de mesures.
$k = 2$ donne un intervalle de confiance à 95%, $k = 3$ à 99%.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Validation expérimentale, expression du résultat avec incertitude

Mots-clés associés : MoyenneÉcart-typeIncertitudeIntervalle de confiance

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