Matières › 📐 Mathématiques › BTS › Équations Différentielles du 2nd Ordre
🎚️

Équations Différentielles du 2nd Ordre

Discriminant, 3 régimes d'amortissement

🔬 Application physique-chimie : Oscillateurs RLC, résonance, amortissement
Tout oscillateur physique — circuit RLC, suspension de voiture, bâtiment face au vent — est décrit par la même équation du 2nd ordre.

Le facteur de qualité QQ et le coefficient d'amortissement α\alpha définissent le comportement : sous-amorti (Q>0,5Q > 0{,}5, oscillations qui s'éteignent progressivement), critique (Q=0,5Q = 0{,}5, retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation), sur-amorti (Q<0,5Q < 0{,}5, retour lent).

La suspension critique est le compromis recherché en automatique pour un temps de réponse optimal.

En ingénierie, le régime pseudo-périodique est parfois souhaitable (résonance acoustique, filtres sélectifs) ou au contraire à éviter (amortissement des vibrations).

La pseudo-pulsation ωp=ω02−α2\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} est TOUJOURS inférieure à ω0\omega_0 : l'amortissement ralentit les oscillations.

📖 Vocabulaire clé

Pulsation propre ω0\omega_0 : Pulsation des oscillations libres du système non amorti (R=0R = 0 pour un RLC). Pour un circuit RLC série : ω0=1/LC\omega_0 = 1/\sqrt{LC}.
Coefficient d'amortissement α\alpha : Paramètre qui traduit la dissipation d'énergie. Pour un circuit RLC série : α=R/(2L)\alpha = R/(2L). Plus α\alpha est grand, plus les oscillations s'éteignent vite.
Facteur de qualité QQ : Rapport sans dimension Q=ω0/(2α)Q = \omega_0/(2\alpha). Il quantifie la sélectivité de la résonance : un QQ élevé donne des oscillations persistantes, un QQ faible donne un amortissement rapide.
Pseudo-pulsation ωp\omega_p : Pulsation réelle des oscillations amorties : ωp=ω02−α2\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}. Elle n'existe que si α<ω0\alpha < \omega_0 (régime pseudo-périodique).

📋 Les 3 régimes

  1. 1 Équation caractéristique : en remplaçant d2ydt2\frac{d^2y}{dt^2} par r2r^2 et dydt\frac{dy}{dt} par rr : r2+2αr+ω02=0r^2 + 2\alpha r + \omega_0^2 = 0.

    Exemple : Pour α=3\alpha = 3 et ω0=5\omega_0 = 5 : r2+6r+25=0r^2 + 6r + 25 = 0.
  2. 2 Discriminant et régime : Δ=4α2−4ω02=4(α2−ω02)\Delta = 4\alpha^2 - 4\omega_0^2 = 4(\alpha^2 - \omega_0^2). Si Δ<0\Delta < 0 → pseudo-périodique (oscillant amorti). Si Δ=0\Delta = 0 → critique (le plus rapide sans oscillation). Si Δ>0\Delta > 0 → apériodique (lent, pas d'oscillation).

    Exemple : Δ=4(9−25)=−64<0\Delta = 4(9 - 25) = -64 < 0 → régime pseudo-périodique.
  3. 3 Facteur de qualité : Q=ω0/(2α)Q = \omega_0 / (2\alpha). Si Q>0,5Q > 0{,}5 : pseudo-périodique. Q=0,5Q = 0{,}5 : critique. Q<0,5Q < 0{,}5 : apériodique.

    Exemple : Q=5/(2×3)=0,83>0,5Q = 5/(2 \times 3) = 0{,}83 > 0{,}5 → confirme le régime pseudo-périodique.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un circuit RLC série a R=40R = 40 Ω, L=0,1L = 0{,}1 H, C=100C = 100 μF. Déterminer le régime transitoire (pseudo-périodique, critique ou apériodique) et calculer la pseudo-pulsation si elle existe.
Démarche :
  1. Pulsation propre : ω0=1/LC=1/0,1×10−4=1/10−5≈316\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-4}} = 1/\sqrt{10^{-5}} \approx 316 rad/s.
  2. Coefficient d'amortissement : α=R/(2L)=40/(2×0,1)=200\alpha = R/(2L) = 40/(2 \times 0{,}1) = 200 rad/s.
  3. Discriminant : Δ=4(α2−ω02)=4(40000−99856)=4×(−59856)≈−2,39×105<0\Delta = 4(\alpha^2 - \omega_0^2) = 4(40000 - 99856) = 4 \times (-59856) \approx -2{,}39 \times 10^5 < 0 → régime pseudo-périodique.
  4. Facteur de qualité : Q=316/(2×200)=0,79>0,5Q = 316/(2 \times 200) = 0{,}79 > 0{,}5 → confirme.
  5. Pseudo-pulsation : ωp=ω02−α2=99856−40000=59856≈245\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{99856 - 40000} = \sqrt{59856} \approx 245 rad/s.
Réponse : Régime pseudo-périodique (Q≈0,79Q \approx 0{,}79), pseudo-pulsation ωp≈245\omega_p \approx 245 rad/s. Le condensateur oscillera à cette pulsation en s'amortissant.

📐 Formules clés

Équation canonique : d2ydt2+2αdydt+ω02y=ω02y∞\dfrac{d^2y}{dt^2} + 2\alpha\dfrac{dy}{dt} + \omega_0^2 y = \omega_0^2 y_{\infty}
Δ=4α2−4ω02\Delta = 4\alpha^2 - 4\omega_0^2
Q=ω02αQ = \dfrac{\omega_0}{2\alpha} (facteur de qualité)
Circuit RLC série : ω0=1LC\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}, α=R2L\alpha = \dfrac{R}{2L}

🎨 Illustration

Les 3 régimes superposés
Réponse à un échelon du 2nd ordre : pseudo-périodique, critique, apériodique

Les trois régimes possibles d'un système du 2nd ordre soumis à un échelon, pour une même pulsation propre ω0 = 5 rad/s et trois coefficients d'amortissement α différents (dont α = 3 rad/s, repris de l'exemple du cours).

Seul le signe du discriminant Δ = 4(α² − ω0²) change d'une courbe à l'autre : c'est lui qui décide si le système oscille ou non.

Reponse indicielle des trois regimes du 2nd ordre Trois courbes superposees pour omega0 = 5 rad/s : pseudo-periodique (alpha = 3, trait plein) qui oscille avec un premier depassement d'environ 9,4 pourcent avant de se stabiliser a 1 ; critique (alpha = 5, tirets longs) qui rejoint 1 le plus vite sans oscillation ; aperiodique (alpha = 8, pointilles) qui rejoint 1 sans oscillation mais plus lentement que le regime critique. y∞ = 1 (régime permanent) Pseudo-périodique (α=3) D ≈ 9,4 % à t ≈ 0,8 s Critique (α=ω0=5) Apériodique (α=8) 0 0,5 1 1,5 2 t (s) 0 1 y(t)/y∞
  • 1 Pseudo-périodique (α = 3 rad/s < ω0, repris de l'exemple du cours) : Δ < 0, le système oscille en s'amortissant autour de la valeur finale. Pseudo-pulsation ωp = √(ω0² − α²) = √(25−9) = 4 rad/s, premier maximum lu sur la courbe ≈ 9,4 % au-dessus de la valeur finale, vers t ≈ 0,8 s.
  • 2 Critique (α = ω0 = 5 rad/s) : Δ = 0, retour à l'équilibre le plus rapide possible sans aucune oscillation (courbe à tirets longs).
  • 3 Apériodique (α = 8 rad/s > ω0) : Δ > 0, retour à l'équilibre sans oscillation mais plus lentement que le régime critique (courbe pointillée) — c'est le prix d'un amortissement excessif.
Ce qu'il faut lire : Compare les trois courbes à un même instant : la courbe pleine oscille autour de la valeur finale avant de s'y stabiliser, la courbe à tirets longs s'en approche le plus vite sans jamais la dépasser, la courbe pointillée s'en approche aussi sans la dépasser mais plus lentement.
Réponse à un échelon d'un système du 2nd ordre pour ω0 = 5 rad/s fixé, avec α = 3 rad/s (pseudo-périodique, valeurs de l'exemple du cours), α = 5 rad/s (critique) et α = 8 rad/s (apériodique) — points recalculés indépendamment à partir de l'équation canonique du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre la pulsation propre ω0\omega_0 (caractéristique du système non amorti) et la pseudo-pulsation ωp=ω02−α2\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} (fréquence réelle des oscillations amorties, toujours plus faible que ω0\omega_0).

💡 À retenir

  • Le discriminant Δ=4(α2−ω02)\Delta = 4(\alpha^2 - \omega_0^2) détermine le régime : Δ<0\Delta < 0 (pseudo-périodique), Δ=0\Delta = 0 (critique), Δ>0\Delta > 0 (apériodique).
  • Le facteur de qualité Q=ω0/(2α)Q = \omega_0/(2\alpha) résume le même critère : Q>0,5Q > 0{,}5, Q=0,5Q = 0{,}5, Q<0,5Q < 0{,}5.
  • En régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation ωp=ω02−α2\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} est toujours inférieure à ω0\omega_0.
  • Le régime critique (Q=0,5Q = 0{,}5) est le plus rapide sans oscillation — c'est l'objectif des systèmes asservis bien réglés.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Oscillateurs RLC, résonance, amortissement

Mots-clés associés : Équation caractéristiqueDiscriminantRégime pseudo-périodiqueRLC
← Les Nombres Complexes 16 / 27 → Statistiques et Calculs d'Incertitudes