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Les Nombres Complexes

Module, argument, impédance, régimes AC

🔬 Application physique-chimie : Impédance Z‾\underline{Z}, régimes sinusoïdaux, déphasage
En régime sinusoïdal, chaque composant introduit un DÉPHASAGE entre courant et tension : la résistance ne déphase pas (ϕ=0\phi=0), la bobine avance le courant de −90°-90° (Z‾L=jLω\underline{Z}_L = jL\omega), le condensateur le retarde de +90°+90° (Z‾C=−j/(Cω)\underline{Z}_C = -j/(C\omega)).

Représenter ces effets comme des nombres complexes permet de les combiner algébriquement — le module de l'impédance donne l'amplitude, l'argument donne le déphasage.

La partie réelle de Z‾\underline{Z} est résistive (énergie dissipée en chaleur) ; la partie imaginaire est réactive (énergie stockée et restituée).

En notation BTS, on écrit j=−1j = \sqrt{-1} (et non ii) pour éviter la confusion avec l'intensité i(t)i(t).

La résonance (ω0=1/LC\omega_0 = 1/\sqrt{LC}) annule la partie imaginaire : le circuit se comporte alors comme une résistance pure.

📖 Vocabulaire clé

Module ∣Z‾∣|\underline{Z}| : Longueur du vecteur dans le plan complexe : ∣Z‾∣=a2+b2|\underline{Z}| = \sqrt{a^2 + b^2}. En électricité, il représente l'amplitude du rapport tension/courant (en Ω).
Argument arg⁡(Z‾)\arg(\underline{Z}) : Angle du vecteur avec l'axe réel : ϕ=arctan⁡(b/a)\phi = \arctan(b/a). Il donne le déphasage entre tension et courant.
Impédance complexe Z‾\underline{Z} : Grandeur complexe qui généralise la résistance en régime sinusoïdal. Elle combine la partie résistive (réelle) et la partie réactive (imaginaire) : Z‾=R+jX\underline{Z} = R + jX.
Résonance : Pulsation ω0=1/LC\omega_0 = 1/\sqrt{LC} à laquelle la partie imaginaire de Z‾\underline{Z} s'annule. Le circuit se comporte comme une résistance pure (Z‾=R\underline{Z} = R), le courant est maximal.

📋 Opérations sur les complexes

  1. 1 Forme algébrique : Z‾=a+jb\underline{Z} = a + jb (avec j2=−1j^2 = -1). Module : ∣Z‾∣=a2+b2|\underline{Z}| = \sqrt{a^2 + b^2}. Argument : ϕ=arctan⁡(b/a)\phi = \arctan(b/a).

    Exemple : Z‾=6+8j\underline{Z} = 6 + 8j → ∣Z‾∣=36+64=100=10|\underline{Z}| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 Ω et ϕ=arctan⁡(8/6)≈53,1°\phi = \arctan(8/6) \approx 53{,}1°.
  2. 2 Forme exponentielle (polaire) : Z‾=∣Z‾∣ejϕ\underline{Z} = |\underline{Z}| e^{j\phi}. Utile pour multiplier/diviser des impédances.

    Exemple : Z‾1=5ej30°\underline{Z}_1 = 5e^{j30°} et Z‾2=2ej15°\underline{Z}_2 = 2e^{j15°} → Z‾1⋅Z‾2=10ej45°\underline{Z}_1 \cdot \underline{Z}_2 = 10e^{j45°} (modules multipliés, arguments additionnés).
  3. 3 Calcul des impédances : résistance Z‾R=R\underline{Z}_R = R ; bobine Z‾L=jLω\underline{Z}_L = jL\omega ; condensateur Z‾C=1jCω=−jCω\underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega} = \dfrac{-j}{C\omega}.

    Exemple : Bobine L=50L = 50 mH à ω=1000\omega = 1000 rad/s → Z‾L=j×0,05×1000=50j\underline{Z}_L = j \times 0{,}05 \times 1000 = 50j Ω (module 5050 Ω, déphasage +90°+90°).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un circuit RL série (R=30R = 30 Ω, L=40L = 40 mH) est alimenté en régime sinusoïdal à ω=1000\omega = 1000 rad/s avec U=10U = 10 V. Calculer l'impédance complexe, son module, le déphasage et l'intensité efficace.
Démarche :
  1. Impédance de la bobine : Z‾L=jLω=j×0,04×1000=40j\underline{Z}_L = jL\omega = j \times 0{,}04 \times 1000 = 40j Ω.
  2. Impédance totale : Z‾=R+Z‾L=30+40j\underline{Z} = R + \underline{Z}_L = 30 + 40j Ω.
  3. Module : ∣Z‾∣=302+402=900+1600=2500=50|\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 Ω.
  4. Déphasage : ϕ=arctan⁡(40/30)=arctan⁡(1,33)≈53,1°\phi = \arctan(40/30) = \arctan(1{,}33) \approx 53{,}1°. Le courant est en retard sur la tension.
  5. Intensité efficace : I=U/∣Z‾∣=10/50=0,2I = U / |\underline{Z}| = 10 / 50 = 0{,}2 A.
Réponse : Z‾=30+40j\underline{Z} = 30 + 40j Ω, ∣Z‾∣=50|\underline{Z}| = 50 Ω, ϕ≈53,1°\phi \approx 53{,}1°, I=0,2I = 0{,}2 A.

📐 Formules clés

∣a+jb∣=a2+b2|a + jb| = \sqrt{a^2 + b^2}
arg⁡(a+jb)=arctan⁡(ba)\arg(a + jb) = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)
j2=−1j^2 = -1, j=−1j = \sqrt{-1}
Z‾RLC seˊrie=R+j(Lω−1Cω)\underline{Z}_{RLC \text{ série}} = R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)

🎨 Illustration

Représentation de Fresnel
Le courant II est-il en avance ou en retard sur la tension UU ?

On place le courant I‾\underline{I} comme référence (angle nul) et la tension U‾\underline{U} à l'angle ϕ=arg⁡(Z‾)\phi = \arg(\underline{Z}) — exactement les deux exemples chiffrés du cours, l'un inductif (R=30 ΩR=30\,\Omega, Lω=40 ΩL\omega=40\,\Omega), l'autre capacitif (R=50 ΩR=50\,\Omega, Lω−1/(Cω)=−60 ΩL\omega-1/(C\omega)=-60\,\Omega).

Le signe de ϕ\phi indique qui traîne derrière qui.

Diagramme de Fresnel : cas inductif et cas capacitif Deux panneaux. A gauche, circuit RL : le courant I sert de reference horizontale et la tension U est tracee a 53,1 degres au-dessus de l'axe, montrant un courant en retard. A droite, circuit a partie imaginaire negative : la tension U est tracee a 50,2 degres en dessous de l'axe, montrant un courant en avance. Cas inductif — circuit RL Z = 30 + 40j Ω, |Z| = 50 Ω O I U φ ≈ +53,1° Courant en retard : φ > 0 Cas capacitif — Im(Z) < 0 Z = 50 − 60j Ω, |Z| ≈ 78,1 Ω O I U φ ≈ -50,2° Courant en avance : φ < 0
  • 1 Cas inductif (exemple du cours) : R=30 ΩR = 30\,\Omega, Lω=40 ΩL\omega = 40\,\Omega donc Z‾=30+40j Ω\underline{Z} = 30 + 40j\,\Omega, ∣Z‾∣=50 Ω|\underline{Z}| = 50\,\Omega et ϕ=arctan⁡(40/30)≈+53,1°\phi = \arctan(40/30) \approx +53{,}1°.

    Comme ϕ>0\phi > 0, la tension U‾\underline{U} est en avance sur le courant : autrement dit, le courant est en retard sur la tension.
  • 2 Cas capacitif (partie imaginaire négative, R=50 ΩR = 50\,\Omega et Lω−1/(Cω)=−60 ΩL\omega - 1/(C\omega) = -60\,\Omega) : Z‾=50−60j Ω\underline{Z} = 50 - 60j\,\Omega, ∣Z‾∣=502+602≈78,1 Ω|\underline{Z}| = \sqrt{50^2+60^2} \approx 78{,}1\,\Omega et ϕ=arctan⁡(−60/50)≈−50,2°\phi = \arctan(-60/50) \approx -50{,}2°.

    Comme ϕ<0\phi < 0 cette fois, le courant est en avance sur la tension : c'est l'effet inverse de la bobine.
  • 3 Les deux vecteurs sont tracés à la même longueur par souci de lisibilité : UU (en volts) et II (en ampères) n'ont pas la même unité — seul l'angle ϕ\phi entre eux est représenté à l'échelle réelle.
Ce qu'il faut lire : Le courant I‾\underline{I} sert toujours de référence horizontale. Si la flèche U‾\underline{U} pointe au-dessus de l'axe, le circuit est inductif et le courant traîne derrière la tension. Si elle pointe en dessous, le circuit est capacitif et le courant devance la tension.
Diagramme de Fresnel : déphasage ϕ\phi dans un circuit inductif (ϕ>0\phi>0, courant en retard) comparé à un circuit capacitif (ϕ<0\phi<0, courant en avance). Vecteurs non proportionnels en amplitude (unités différentes V/A), seuls les angles sont à l'échelle.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

En électronique, on utilise jj (et non ii) pour l'unité imaginaire, pour éviter la confusion avec l'intensité du courant i(t)i(t).

Les deux notations désignent la même chose mathématiquement.

💡 À retenir

  • Le module de Z‾\underline{Z} donne l'amplitude (rapport U/IU/I), l'argument donne le déphasage tension-courant.
  • En forme exponentielle, les multiplications deviennent simples : modules multipliés, arguments additionnés.
  • À la résonance (ω0=1/LC\omega_0 = 1/\sqrt{LC}), l'impédance est purement réelle (Z‾=R\underline{Z} = R) et le courant est maximal.
  • Toujours utiliser jj (pas ii) en électronique pour éviter la confusion avec l'intensité i(t)i(t).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Impédance Z‾\underline{Z}, régimes sinusoïdaux, déphasage

Mots-clés associés : ModuleArgumentForme algébriqueImpédance
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