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Équations & Systèmes

Résoudre des équations du 1er et 2nd degré, et des systèmes 2×2

🔬 Application physique-chimie : Point de fonctionnement, équilibre thermique, réseau de distribution
Une équation, c'est une contrainte : elle dit qu'une certaine combinaison de grandeurs doit valoir un certain résultat. Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs qui satisfont cette contrainte.

En BTS, on résout des équations pour trouver le point de fonctionnement d'une installation (intersection courbe pompe / réseau), pour calculer un débit nominal, une résistance d'équilibrage, ou les racines d'un polynôme caractéristique en automatique.

Il existe trois types principaux : les équations du 1er degré (une solution en général), du 2nd degré (0, 1 ou 2 solutions selon le discriminant), et les systèmes d'équations (plusieurs équations et plusieurs inconnues).

📖 Vocabulaire clé

Équation du 1er degré : Équation de la forme ax+b=0ax + b = 0 avec a≠0a \neq 0. Elle admet une unique solution : x=−b/ax = -b/a. En BTS : calcul d'un courant, d'une température d'équilibre, d'une vitesse.
Équation du 2nd degré : Équation de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 avec a≠0a \neq 0. Son discriminant est Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Si Δ>0\Delta > 0 : deux solutions x=(−b±Δ)/(2a)x = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a). Si Δ=0\Delta = 0 : une solution double x=−b/(2a)x = -b/(2a). Si Δ<0\Delta < 0 : aucune solution réelle.
Système d'équations 2×2 : Deux équations à deux inconnues (x,y)(x, y). Méthode par substitution : exprimer xx en fonction de yy depuis l'équation (1), substituer dans l'équation (2), résoudre, revenir trouver xx. Méthode par combinaison : multiplier les équations par des coefficients et les additionner pour éliminer une inconnue.
Discriminant Δ\Delta : Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. C'est le critère qui décide du nombre de solutions réelles d'une équation du 2nd degré. Son signe suffit : Δ>0\Delta > 0 (2 solutions), Δ=0\Delta = 0 (1 solution double), Δ<0\Delta < 0 (pas de solution réelle).

📋 Résolution d'un système 2×2 par combinaison

  1. 1 Écrire le système clairement avec les deux équations numérotées (1) et (2).
    Exemple (point de fonctionnement hydraulique) : {2x+3y=14x−y=1\begin{cases} 2x + 3y = 14 \\ x - y = 1 \end{cases}
  2. 2 Choisir l'inconnue à éliminer. Ici, éliminer xx : multiplier (2) par −2-2 → −2x+2y=−2-2x + 2y = -2. Additionner avec (1) : 5y=125y = 12 → y=2,4y = 2{,}4.
  3. 3 Substituer y=2,4y = 2{,}4 dans (2) : x=1+y=3,4x = 1 + y = 3{,}4. Vérifier dans (1) : 2×3,4+3×2,4=6,8+7,2=142 \times 3{,}4 + 3 \times 2{,}4 = 6{,}8 + 7{,}2 = 14 ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Le couple résistant d'une machine en fonction de la vitesse suit Cr=0,5ω+10C_r = 0{,}5 \omega + 10. Le couple moteur est Cm=−0,2ω2+5ωC_m = -0{,}2 \omega^2 + 5\omega. Trouver la vitesse ω\omega au point de fonctionnement (en rad/s).
Démarche :
  1. Au point de fonctionnement : Cm=CrC_m = C_r → −0,2ω2+5ω=0,5ω+10-0{,}2\omega^2 + 5\omega = 0{,}5\omega + 10.
  2. On regroupe : −0,2ω2+4,5ω−10=0-0{,}2\omega^2 + 4{,}5\omega - 10 = 0, soit 0,2ω2−4,5ω+10=00{,}2\omega^2 - 4{,}5\omega + 10 = 0.
  3. Discriminant : Δ=4,52−4×0,2×10=20,25−8=12,25\Delta = 4{,}5^2 - 4 \times 0{,}2 \times 10 = 20{,}25 - 8 = 12{,}25. Δ=3,5\sqrt{\Delta} = 3{,}5.
  4. ω=(4,5±3,5)/(2×0,2)\omega = (4{,}5 \pm 3{,}5)/(2 \times 0{,}2). Solutions : ω1=8/0,4=20\omega_1 = 8/0{,}4 = 20 rad/s et ω2=1/0,4=2,5\omega_2 = 1/0{,}4 = 2{,}5 rad/s. On retient le point stable : ω=20\omega = 20 rad/s.
Réponse : ω=20\omega = 20 rad/s (point de fonctionnement stable). Le second point (2,52{,}5 rad/s) est instable en pratique.

📐 Formules clés

Équation du 1er degré : ax+b=0⇒x=−b/aax + b = 0 \Rightarrow x = -b/a
Discriminant : Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Δ>0\Delta > 0 : x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
Δ=0\Delta = 0 : x0=−b/(2a)x_0 = -b/(2a) (solution double)
Δ<0\Delta < 0 : pas de solution réelle
Système par combinaison : multiplier pour faire apparaître des coefficients opposés, additionner les équations

🎨 Illustration

Discriminant Δ — lecture graphique
Trois paraboles, trois discriminants

Trois paraboles superposées sur le même repère illustrent les trois cas possibles du discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac : deux racines distinctes, une racine double, ou aucune racine réelle.

Trois paraboles selon le signe du discriminant Le graphique superpose trois paraboles : l'une coupe l'axe des abscisses en deux points, l'une est tangente a l'axe, et l'une reste entierement au-dessus. x y -1 0 1 2 3 4 -4 0 4 8 1 2 3 min = 4 min ≈ -3,13 tangente
  • 1 Courbe 1 — y=2x2−7x+3y = 2x^2 - 7x + 3 : Δ=(−7)2−4×2×3=49−24=25>0\Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 > 0. Elle coupe l'axe des abscisses en deux points distincts : x=0,5x = 0{,}5 et x=3x = 3.
  • 2 Courbe 2 — y=(x−3)2y = (x-3)^2 : Δ=02−4×1×9=36−36=0\Delta = 0^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0. Elle est tangente à l'axe en un unique point double x=3x = 3 — qui coïncide numériquement avec une racine de la courbe 1 (une coïncidence propre à ces deux exemples, pas une règle générale).
  • 3 Courbe 3 — y=x2+4y = x^2 + 4 : Δ=02−4×1×4=−16<0\Delta = 0^2 - 4 \times 1 \times 4 = -16 < 0. Son minimum vaut 4>04 > 0 : la parabole reste entièrement au-dessus de l'axe, donc aucune racine réelle.
Ce qu'il faut lire : Le signe de Δ\Delta se lit directement sur le nombre d'intersections avec l'axe des abscisses : 2 points (Δ>0\Delta>0), 1 point (Δ=0\Delta=0, tangence), ou 0 point (Δ<0\Delta<0).
Les trois cas du discriminant illustrés avec des exemples chiffrés du cours (2x2−7x+32x^2-7x+3, (x−3)2(x-3)^2, x2+4x^2+4) : racines et sommets recalculés et vérifiés indépendamment.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas oublier de garder les deux solutions d'une équation du 2nd degré et de les interpréter physiquement — souvent une solution est négative ou physiquement impossible (vitesse négative, section négative…) et doit être écartée.

💡 À retenir

  • Une équation du 1er degré a toujours exactement une solution (si a≠0a \neq 0).
  • Le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac décide du nombre de solutions d'une équation du 2nd degré.
  • Pour un système 2×2, la méthode par combinaison évite les fractions et les erreurs de substitution.
  • Toujours vérifier la solution trouvée en la réinjectant dans l'équation ou le système de départ.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Point de fonctionnement, équilibre thermique, réseau de distribution

Mots-clés associés : ÉquationSystèmeDiscriminant1er degré2nd degréBTSPrérequis
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