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Proportionnalité & Pourcentages

Règle de trois, ratio, rendement, variation en pourcentage

🔬 Application physique-chimie : Rendement moteur, perte en ligne, taux de dilution, pente
La proportionnalité est partout en BTS : un rendement est un rapport entre une grandeur utile et une grandeur totale, une perte en ligne est exprimée en pourcentage de la puissance totale, une concentration est un ratio masse/volume.

Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant : y/x=ky/x = k (coefficient de proportionnalité). Cette propriété permet d'utiliser la règle de trois pour calculer une valeur inconnue à partir de trois valeurs connues.

Le pourcentage est une façon d'exprimer un rapport en base 100 : t%=t/100t\% = t/100. Une variation de t%t\% multiplie par (1+t/100)(1 + t/100) (augmentation) ou (1−t/100)(1 - t/100) (diminution).

📖 Vocabulaire clé

Proportionnalité : Deux grandeurs xx et yy sont proportionnelles si y=k⋅xy = k \cdot x avec kk constant. Graphiquement, c'est une droite passant par l'origine. Exemple : la puissance électrique P=U⋅IP = U \cdot I est proportionnelle à II si UU est fixé.
Règle de trois (produit en croix) : Si x1x_1 correspond à y1y_1 et x2x_2 correspond à y2y_2 (proportionnalité), alors x1⋅y2=x2⋅y1x_1 \cdot y_2 = x_2 \cdot y_1. Exemple : si 5 m de câble pèse 1,2 kg, 12 m pèse 12×1,2/5=2,8812 \times 1{,}2 / 5 = 2{,}88 kg.
Rendement η\eta : Rapport de la grandeur utile sur la grandeur totale fournie : η=Putile/Pfournie\eta = P_{utile}/P_{fournie}. Toujours compris entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %). Un rendement de 0,85 signifie que 85 % de l'énergie fournie est effectivement utile, 15 % est perdu (chaleur, frottements…).
Variation en pourcentage : Si une grandeur passe de V0V_0 à V1V_1, la variation en pourcentage est V1−V0V0×100\dfrac{V_1 - V_0}{V_0} \times 100. Positive si augmentation, négative si diminution. Exemple : une puissance qui passe de 10 kW à 12 kW augmente de 20 %.

📋 Appliquer la règle de trois

  1. 1 Identifier les deux grandeurs proportionnelles et leur correspondance connue.
    Exemple : débit V˙\dot{V} (L/min) et temps de remplissage tt (min) d'une cuve. Si V˙1=30\dot{V}_1 = 30 L/min remplit en t1=20t_1 = 20 min, quelle durée t2t_2 pour V˙2=45\dot{V}_2 = 45 L/min ?
  2. 2 Attention au sens de proportionnalité : ici, plus le débit est grand, plus le temps est petit — c'est une proportionnalité inverse. On écrit V˙1×t1=V˙2×t2\dot{V}_1 \times t_1 = \dot{V}_2 \times t_2 → t2=V˙1×t1/V˙2=30×20/45≈13,3t_2 = \dot{V}_1 \times t_1 / \dot{V}_2 = 30 \times 20 / 45 \approx 13{,}3 min.
  3. 3 Vérifier le résultat par cohérence physique : un débit plus grand → un temps plus court ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un moteur électrique absorbe une puissance Pabs=4,5P_{abs} = 4{,}5 kW et développe une puissance mécanique utile Pmec=3,6P_{mec} = 3{,}6 kW. Calculer le rendement η\eta et les pertes en pourcentage.
Démarche :
  1. η=Pmec/Pabs=3,6/4,5=0,80\eta = P_{mec} / P_{abs} = 3{,}6 / 4{,}5 = 0{,}80.
  2. En pourcentage : η=80%\eta = 80\%.
  3. Pertes : Ppertes=Pabs−Pmec=4,5−3,6=0,9P_{pertes} = P_{abs} - P_{mec} = 4{,}5 - 3{,}6 = 0{,}9 kW, soit 0,9/4,5×100=20%0{,}9/4{,}5 \times 100 = 20\% de pertes.
Réponse : η=80%\eta = 80\%, pertes = 20 % (principalement pertes Joule dans les enroulements et pertes mécaniques dans les roulements).

📐 Formules clés

Proportionnalité directe : y=k⋅xy = k \cdot x → y2=y1×x2/x1y_2 = y_1 \times x_2/x_1
Proportionnalité inverse : x×y=kx \times y = k → y2=y1×x1/x2y_2 = y_1 \times x_1/x_2
Rendement : η=Putile/Ptotale\eta = P_{utile}/P_{totale} (entre 0 et 1)
Variation en % : t=(V1−V0)/V0×100t = (V_1 - V_0)/V_0 \times 100
Appliquer une augmentation de p%p\% : multiplier par (1+p/100)(1 + p/100)
Appliquer une réduction de p%p\% : multiplier par (1−p/100)(1 - p/100)

🎨 Illustration

Bilan de puissance (diagramme de Sankey simplifié)
Où passe la puissance qu'un moteur électrique absorbe ?

La largeur de chaque bande est proportionnelle à la puissance qu'elle transporte : plus la bande est large, plus la puissance est grande.

La puissance absorbée entre à gauche, traverse le moteur, puis se sépare en une bande utile (puissance mécanique récupérée) et une bande de pertes (chaleur due à l'effet Joule et aux frottements) — reprend exactement l'exemple chiffré du cours : Pabs=4,5P_{abs} = 4{,}5 kW, η=80%\eta = 80\%.

Bilan de puissance d'un moteur électrique, diagramme de Sankey simplifié Une bande d'entree large de 60 pixels representant 4,5 kilowatts absorbes traverse un bloc moteur electrique puis se separe en une bande de sortie utile large de 48 pixels representant 3,6 kilowatts mecaniques et une bande de pertes large de 12 pixels representant 0,9 kilowatt dissipe en chaleur ; les deux largeurs de sortie additionnees redonnent exactement la largeur d'entree. P absorbée = 4,5 kW Moteur électrique rendement = 80 % P utile = 3,6 kW puissance mécanique P pertes = 0,9 kW chaleur, frottements Vérification : 4,5 kW = 3,6 kW + 0,9 kW
  • 1 La largeur de chaque bande est proportionnelle à la puissance : 4,54{,}5 kW se séparent en 3,63{,}6 kW utiles et 0,90{,}9 kW de pertes, exactement l'exemple chiffré du cours.
  • 2 On vérifie la conservation de l'énergie : 4,5=3,6+0,94{,}5 = 3{,}6 + 0{,}9, donc Pabs=Pmec+PpertesP_{abs} = P_{mec} + P_{pertes}.
  • 3 Le rendement η=3,6/4,5=0,80=80%\eta = 3{,}6/4{,}5 = 0{,}80 = 80\% se lit directement comme la part de la bande d'entrée qui ressort en sortie utile.
Ce qu'il faut lire : Suis la bande d'entrée de gauche à droite : elle traverse le moteur puis se scinde en deux bandes dont les largeurs cumulées redonnent exactement la largeur d'entrée.
Diagramme de Sankey simplifié du bilan de puissance d'un moteur électrique : Pabs=4,5P_{abs} = 4{,}5 kW se répartit en Pmec=3,6P_{mec} = 3{,}6 kW (rendement 80%80\%) et Ppertes=0,9P_{pertes} = 0{,}9 kW dissipés sous forme de chaleur.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention aux pourcentages successifs : une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 20 % ne ramène pas au point de départ !

✅ La suggestion

(1−0,2)×(1+0,2)=0,96≠1(1 - 0{,}2) \times (1 + 0{,}2) = 0{,}96 \neq 1. On perd 4 % au total.

💡 À retenir

  • Proportionnalité directe : y/x=ky/x = k (si xx double, yy double). Proportionnalité inverse : x⋅y=kx \cdot y = k (si xx double, yy est divisé par 2).
  • Le rendement est toujours entre 0 et 1. Un rendement énergétique classique supérieur à 1 est physiquement impossible (sauf erreur de calcul).

    Attention cependant au COP (pompe à chaleur, groupe frigorifique) : ce n'est pas un rendement au sens strict, car il compare une énergie utile à un travail électrique, et non deux énergies de même forme. Il peut donc légitimement dépasser 1, parfois même atteindre 3 à 5.
  • Un pourcentage est un rapport : 1 % = 0,01. Ne pas confondre "augmenter de 20 %" (× 1,2) avec "augmenter à 20 %" (= 20 %).
  • Toujours préciser la grandeur de référence d'un pourcentage : "10 % de la puissance nominale" n'est pas la même chose que "10 % de la puissance absorbée".

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Rendement moteur, perte en ligne, taux de dilution, pente

Mots-clés associés : ProportionnalitéPourcentageRègle de troisRendementRatioBTSPrérequis
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