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📊

Automatique

Laplace, 1er et 2nd ordre, stabilité, marges

🏭 Application industrielle : L'automatique est au cœur de la commande industrielle : régulation de température, pilotage de vitesse, asservissement de position, contrôle de niveau, autopilote.
L'automatique des systèmes linéaires continus utilise la transformée de Laplace pour convertir les équations différentielles en équations algébriques dans le domaine de ss.

Transformées essentielles : échelon →1/s\to 1/s, rampe →1/s2\to 1/s^2, exponentielle e−at→1/(s+a)e^{-at} \to 1/(s+a), dérivée →s⋅F(s)\to s\cdot F(s), intégrale →F(s)/s\to F(s)/s.

La fonction de transfert H(s)=S(s)/E(s)H(s) = S(s)/E(s) caractérise le comportement entrée-sortie. Le 1er ordre H(s)=K/(1+τs)H(s) = K/(1+\tau s) est défini par le gain statique KK et la constante de temps τ\tau. La réponse indicielle est une exponentielle : 63%63\% à t=τt = \tau, 95%95\% à t=3τt = 3\tau, 99%99\% à t=5τt = 5\tau.

Le 2nd ordre H(s)=Kωn2/(s2+2ξωns+ωn2)H(s) = K\omega_n^2/(s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2) dépend de ωn\omega_n (pulsation naturelle) et ξ\xi (amortissement). Si ξ<1\xi < 1 : oscillations amorties avec un premier dépassement D%=e−πξ/1−ξ2×100D\% = e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}} \times 100. Si ξ=1\xi = 1 : régime critique (le plus rapide sans dépassement). Si ξ>1\xi > 1 : apériodique.

La stabilité en boucle fermée est vérifiée par les marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode. On vise Mϕ≥45°M_\phi \geq 45° et MG≥6M_G \geq 6 dB.

📖 Vocabulaire clé

Transformée de Laplace : F(s)=∫0+∞f(t)e−st dtF(s) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t. Transforme les dérivées en multiplications par ss et les intégrales en divisions par ss. Outil fondamental de l'automatique.
Fonction de transfert H(s)H(s) : H(s)=S(s)/E(s)H(s) = S(s)/E(s). Rapport sortie/entrée dans le domaine de Laplace. Caractérise complètement le comportement dynamique d'un système linéaire invariant.
Système du 1er ordre : H(s)=K/(1+τs)H(s) = K/(1+\tau s). Gain statique K=H(0)K = H(0), constante de temps τ\tau. Réponse indicielle sans dépassement. Temps de réponse à 5% : tr=3τt_r = 3\tau.
Système du 2nd ordre : H(s)=Kωn2/(s2+2ξωns+ωn2)H(s) = K\omega_n^2/(s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2). ωn\omega_n : pulsation naturelle, ξ\xi : amortissement. Pseudo-pulsation : ωp=ωn1−ξ2\omega_p = \omega_n\sqrt{1-\xi^2}.
Marge de phase MϕM_\phi : Complément de la phase de H(jω)H(j\omega) par rapport à −180°-180° à la pulsation de coupure (∣H∣=0|H| = 0 dB). Mϕ>0M_\phi > 0 : stable. On vise Mϕ≥45°M_\phi \geq 45°.

📋 Identifier les paramètres d'une fonction de transfert

  1. 1 1er ordre H(s)=K/(1+τs)H(s) = K/(1+\tau s) : le gain K=H(0)K = H(0), la constante de temps τ\tau se lit à 63%63\% de la valeur finale sur la réponse indicielle.
    Exemple : H(s)=5/(1+0,2s)H(s) = 5/(1+0{,}2s) → K=5K = 5, τ=0,2\tau = 0{,}2 s, t95%=3×0,2=0,6t_{95\%} = 3 \times 0{,}2 = 0{,}6 s.
  2. 2 2nd ordre : identifier ωn\omega_n et ξ\xi depuis le dénominateur. Le dépassement donne ξ\xi : D%=e−πξ/1−ξ2×100D\% = e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}} \times 100.
    Exemple : H(s)=300/(s2+8s+100)H(s) = 300/(s^2+8s+100) → ωn2=100\omega_n^2 = 100 → ωn=10\omega_n = 10 rad/s, 2ξωn=82\xi\omega_n = 8 → ξ=0,4\xi = 0{,}4. D%=e−π×0,4/1−0,16×100=e−1,37×100≈25,4%D\% = e^{-\pi \times 0{,}4/\sqrt{1-0{,}16}} \times 100 = e^{-1{,}37} \times 100 \approx 25{,}4\%.
  3. 3 Stabilité : un système bouclé est stable si tous les pôles de la FTBF ont une partie réelle négative. En pratique, on utilise les marges de Bode : Mϕ≥45°M_\phi \geq 45°, MG≥6M_G \geq 6 dB.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un système du 2nd ordre a pour réponse indicielle un premier dépassement de 16,3%16{,}3\%. Déterminer ξ\xi, puis calculer ωn\omega_n sachant que la pseudo-période est Tp=0,5T_p = 0{,}5 s.
Démarche :
  1. D%=16,3%D\% = 16{,}3\% → D1=0,163D_1 = 0{,}163. ln⁡(D1)=−πξ/1−ξ2\ln(D_1) = -\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}. ln⁡(0,163)=−1,815\ln(0{,}163) = -1{,}815.
  2. 1,815=πξ/1−ξ21{,}815 = \pi\xi/\sqrt{1-\xi^2} → 1,8152(1−ξ2)=π2ξ21{,}815^2(1-\xi^2) = \pi^2\xi^2 → 3,294−3,294ξ2=9,87ξ23{,}294 - 3{,}294\xi^2 = 9{,}87\xi^2.
  3. 3,294=13,16ξ23{,}294 = 13{,}16\xi^2 → ξ2=0,25\xi^2 = 0{,}25 → ξ=0,5\xi = 0{,}5.
  4. ωp=2π/Tp=2π/0,5=12,57\omega_p = 2\pi/T_p = 2\pi/0{,}5 = 12{,}57 rad/s. ωn=ωp/1−ξ2=12,57/0,75=14,5\omega_n = \omega_p/\sqrt{1-\xi^2} = 12{,}57/\sqrt{0{,}75} = 14{,}5 rad/s.
Réponse : ξ=0,5\xi = 0{,}5, ωn=14,5\omega_n = 14{,}5 rad/s.

📏 Relations fondamentales

H(s)=K1+τsH(s) = \dfrac{K}{1 + \tau s} (1er ordre)
H(s)=Kωn2s2+2ξωns+ωn2H(s) = \dfrac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2} (2nd ordre)
t63%=τt_{63\%} = \tau, t95%=3τt_{95\%} = 3\tau, t99%=5τt_{99\%} = 5\tau
D%=e−πξ/1−ξ2×100D\% = e^{-\pi\xi / \sqrt{1-\xi^2}} \times 100 (ξ<1\xi < 1)
ωp=ωn1−ξ2\omega_p = \omega_n\sqrt{1-\xi^2} (pseudo-pulsation)

🎨 Illustration

Schéma-bloc et réponse indicielle
Boucle fermée du 2nd ordre : ξ = 0,5, ωn = 14,5 rad/s

En haut, la structure générale d'un asservissement (comparateur, correcteur, système, retour). En bas, la réponse à un échelon du système du 2nd ordre étudié dans l'exemple du cours.

Schema-bloc d'un asservissement et reponse indicielle du 2nd ordre En haut, chaine consigne, comparateur, correcteur C(p), systeme G(p), sortie S(p), avec un retour H(p). En bas, la reponse a un echelon d'un systeme du 2nd ordre avec un premier depassement de 16,3 pourcent a t=0,25 seconde avant stabilisation a la valeur 1. + − C(p) Correcteur G(p) Système E(p) S(p) H(p) Capteur (retour) D ≈ 16,3 % valeur finale s∞ = 1 0 0,25 0,5 0,75 1 t (s) 0 1 s(t)
  • 1 Le comparateur calcule l'écart ε(p) = E(p) − retour, jamais directement E(p) − S(p) si le capteur H(p) n'est pas unitaire.
  • 2 Avec ξ = 0,5 < 1, la réponse oscille avant de se stabiliser : premier dépassement D ≈ 16,3 % à t ≈ 0,25 s — exactement la valeur calculée dans l'exemple du cours.
  • 3 La pseudo-période mesurée sur la courbe (0,5 s entre deux pics) permet de retrouver ωn à partir de ωp = ωn·√(1−ξ²).
Ce qu'il faut lire : Suis d'abord le trajet du signal dans le schéma-bloc, de la consigne à la sortie, puis repère sur la courbe le premier pic (dépassement) et son instant avant de lire la valeur finale en régime permanent.
Schéma-bloc générique d'un asservissement et réponse indicielle du système du 2nd ordre de l'exemple (ξ = 0,5, ωn = 14,5 rad/s, dépassement 16,3 %).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre ωn\omega_n et ωp=ωn1−ξ2\omega_p = \omega_n\sqrt{1-\xi^2}.

✅ La suggestion

Les oscillations observées ont pour pulsation ωp\omega_p, pas ωn\omega_n. La période mesurée sur la réponse temporelle est Tp=2π/ωpT_p = 2\pi/\omega_p, et il faut corriger pour retrouver ωn\omega_n.

💡 À retenir

  • La transformée de Laplace convertit les équations différentielles en équations algébriques.
  • 1er ordre : KK (valeur finale) et τ\tau (vitesse de réponse). À 5τ5\tau, régime permanent atteint.
  • 2nd ordre : ξ<1\xi < 1 → oscillations, ξ=1\xi = 1 → critique, ξ>1\xi > 1 → apériodique.
  • Le dépassement D%D\% ne dépend que de ξ\xi : D%=e−πξ/1−ξ2×100D\% = e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}} \times 100.
  • Stabilité en boucle fermée : Mϕ≥45°M_\phi \geq 45° et MG≥6M_G \geq 6 dB sur le Bode de la FTBO.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
L'automatique est au cœur de la commande industrielle : régulation de température, pilotage de vitesse, asservissement de position, contrôle de niveau, autopilote.

Mots-clés associés : LaplaceFonction de transfertStabilitéBode1er ordre2nd ordre
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