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Orthogonalité dans l'espace

Perpendiculaire, distance, produit scalaire 3D

🔬 Application physique-chimie : Calcul de distances en mécanique du solide, positionnement GPS, forces perpendiculaires en architecture
Un drone doit garder une distance de sécurité constante par rapport à la façade d'un immeuble, modélisée par un plan : comment calculer précisément l'écart entre sa position (un point) et cette façade (un plan) ? C'est un problème de distance point-plan, qui se résout grâce à l'orthogonalité.

L'orthogonalité en 3D se teste toujours par le produit scalaire : u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

La distance du point M(x0;y0;z0)M(x_0;y_0;z_0) au plan d'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 se calcule par d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Le numérateur est en valeur absolue car une distance est toujours positive.

Si MM est du « mauvais côté » du plan, le calcul brut ax0+by0+cz0+dax_0+by_0+cz_0+d est négatif : son signe dit de quel côté se trouve MM, mais la distance, elle, reste positive.

Intuition : la formule projette le vecteur HM→\overrightarrow{HM} (où HH est le pied de la perpendiculaire) sur le vecteur normal unitaire.

📖 Vocabulaire clé

Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. En 3D : xuxv+yuyv+zuzv=0x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = 0.
Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal HH de MM sur un plan P\mathcal{P} est le point de P\mathcal{P} le plus proche de MM. Le vecteur HM→\overrightarrow{HM} est colinéaire au vecteur normal du plan.
Distance point-plan : d(M;P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M;\mathcal{P}) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} pour le plan ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 et le point M(x0;y0;z0)M(x_0;y_0;z_0). Toujours positive grâce à la valeur absolue.
Plans perpendiculaires : Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux : n1⃗⋅n2⃗=0\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0.

📋 Calculer la distance d'un point à un plan

  1. 1 Lire les coefficients : dans l'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 du plan, les nombres aa, bb, cc sont les coordonnées du vecteur normal n⃗\vec{n}, et dd est le terme constant, avec son signe.
  2. 2 Calculer le numérateur : remplacer xx, yy, zz par les coordonnées de M(x0;y0;z0)M(x_0;y_0;z_0), puis prendre la valeur absolue du résultat : ∣ax0+by0+cz0+d∣|ax_0+by_0+cz_0+d|.
  3. 3 Calculer le dénominateur : la norme du vecteur normal, a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2} — la somme des carrés, puis la racine.
  4. 4 Conclure : d(M;P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M;\mathcal{P})=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, puis arrondir si l'énoncé le demande.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer la distance du point A(3;1;−2)A(3;1;-2) au plan P\mathcal{P} d'équation x−2y+2z+1=0x - 2y + 2z + 1 = 0.
Démarche :
  1. On identifie les coefficients du plan : a=1a=1, b=−2b=-2, c=2c=2, d=1d=1.
  2. On applique la formule : d=∣1×3+(−2)×1+2×(−2)+1∣12+(−2)2+22d = \dfrac{|1 \times 3 + (-2) \times 1 + 2 \times (-2) + 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}.
  3. Numérateur : ∣3−2−4+1∣=∣−2∣=2|3 - 2 - 4 + 1| = |-2| = 2.
  4. Dénominateur : 1+4+4=9=3\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.
  5. d(A;P)=23≈0,67d(A;\mathcal{P}) = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67.
Réponse : La distance de AA au plan P\mathcal{P} est 23\dfrac{2}{3} unité de longueur.

📐 Formules clés

d(M;P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M;\mathcal{P})=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
Plans ⊥\perp : n1⃗⋅n2⃗=0\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0
Droite ⊥\perp plan : u⃗=kn⃗\vec{u}=k\vec{n}

🎨 Illustrations

Distance point-plan
Perpendiculaire abaissée de A sur le plan P

Reprise exacte de l'exemple du cours : le plan P\mathcal{P} d'équation x−2y+2z+1=0x-2y+2z+1=0, le point A(3;1;−2)A(3;1;-2) situé hors du plan, et le pied HH de la perpendiculaire abaissée de AA sur P\mathcal{P}.

Perpendiculaire abaissee de A sur le plan P Un plan P represente en perspective par un parallelogramme, d'equation x moins 2y plus 2z plus 1 egale 0. Le point A(3;1;-2) est place au-dessus du plan, hors de celui-ci. Un segment en pointilles relie A au point H, pied de la perpendiculaire dans le plan, avec un petit carre indiquant l'angle droit en H entre le segment AH et le plan. La longueur AH vaut deux tiers, soit environ 0,67. Plan P : x - 2y + 2z + 1 = 0 A(3 ; 1 ; -2) H H ≈ (3,22 ; 0,56 ; -1,56) AH = 2/3 ≈ 0,67 vecteur normal n(1;-2;2)
  • 1 Le plan P\mathcal{P} a pour vecteur normal n⃗(1;−2;2)\vec{n}(1;-2;2), lu directement sur les coefficients de l'équation x−2y+2z+1=0x-2y+2z+1=0.
  • 2 Le point HH, pied de la perpendiculaire, vérifie HA→=−29 n⃗\overrightarrow{HA} = -\dfrac{2}{9}\,\vec{n} : il est bien colinéaire au vecteur normal, ce qui confirme que (AH)(AH) est perpendiculaire au plan P\mathcal{P}.
  • 3 Calcul : H(299;59;−149)≈(3,22 ; 0,56 ; −1,56)H\left(\dfrac{29}{9};\dfrac{5}{9};-\dfrac{14}{9}\right) \approx (3{,}22\,;\,0{,}56\,;\,-1{,}56), obtenu en résolvant A+t n⃗∈PA + t\,\vec{n} \in \mathcal{P} (on trouve t=29t = \dfrac{2}{9}).
  • 4 La longueur AH=23≈0,67AH = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67 correspond exactement à la distance d(A;P)d(A;\mathcal{P}) calculée dans l'exemple du cours.
Ce qu'il faut lire : Le petit carré tracé au point HH signale l'angle droit entre le segment [AH][AH] et le plan P\mathcal{P} : c'est la définition même de la perpendiculaire abaissée d'un point sur un plan.
Perpendiculaire [AH][AH] abaissée du point A(3;1;−2)A(3;1;-2) sur le plan P:x−2y+2z+1=0\mathcal{P} : x-2y+2z+1=0 — reprise exacte de l'exemple du cours, avec vérification HA→=−29n⃗\overrightarrow{HA} = -\frac{2}{9}\vec{n} et AH=23≈0,67AH = \frac{2}{3} \approx 0{,}67.
Pourquoi ce chemin-là
La distance se mesure une seule fois

Entre un point et un plan, on peut tracer une infinité de segments. Un seul mérite le nom de distance : celui qui arrive perpendiculairement au plan. Tous les autres sont plus longs, et la figure le montre sans qu'aucun calcul soit nécessaire.

Distance d un point a un plan, comparee a un autre chemin Un plan est represente par un parallelogramme en perspective cavaliere. Un point M est place au-dessus. Deux segments partent de M vers le plan : le premier tombe perpendiculairement au plan en un point H, le second rejoint un autre point Q du plan en biais. Un petit carre en H code l'angle droit. Le segment vertical mesure deux virgule deux unites, le segment oblique environ deux virgule quatre-vingt-sept : le chemin perpendiculaire est bien le plus court des deux. M H Q 2,2 2,87 le plan
  • 1 Le segment [MH][MH] arrive perpendiculairement au plan : le point HH est le projeté orthogonal de MM, et MH=2,2MH = 2{,}2.
  • 2 Le segment [MQ][MQ] rejoint un autre point du plan, en biais : il mesure environ 2,872{,}87, donc il est plus long.
  • 3 Ce n'est pas un hasard, c'est Pythagore. Le triangle MHQMHQ est rectangle en HH, donc MQ2=MH2+HQ2MQ^2 = MH^2 + HQ^2. Comme HQ2HQ^2 ne peut pas être négatif, MQMQ est toujours au moins égal à MHMH — quel que soit le point QQ choisi dans le plan.
Ce qu'il faut lire : Déplace mentalement le point QQ n'importe où dans le plan : le segment [MQ][MQ] s'allonge dès que tu t'éloignes de HH, et il ne peut jamais devenir plus court.

C'est pourquoi la formule d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} donne un nombre et non un intervalle.

Il n'y a qu'un seul chemin le plus court, et c'est celui qui suit la normale.
Distance du point MM au plan : MH=2,2MH = 2{,}2 le long de la perpendiculaire, contre MQ≈2,87MQ \approx 2{,}87 en biais.
Le contre-intuitif du chapitre
Deux plans perpendiculaires par leurs normales

Pour savoir si deux plans sont perpendiculaires, on ne regarde ni l'un ni l'autre : on regarde leurs deux vecteurs normaux, c'est-à-dire deux directions qui ne sont dans aucun des deux plans. S'ils sont orthogonaux, les plans le sont.

Deux plans perpendiculaires et leurs vecteurs normaux Deux parallelogrammes representent deux plans qui se coupent le long d'une droite commune. Le premier est horizontal, le second vertical. D'un point de leur droite d'intersection partent deux fleches : l'une monte verticalement, c'est le vecteur normal du plan horizontal ; l'autre part en biais vers l'arriere, c'est le vecteur normal du plan vertical. Un petit carre entre les deux fleches code l'angle droit. Le produit scalaire de ces deux vecteurs normaux vaut zero. normale du plan horizontal normale du plan vertical plan horizontal plan vertical
  • 1 Le plan horizontal a pour vecteur normal n1⃗ (0 ; 0 ; 1)\vec{n_1}\,(0\,;\,0\,;\,1) : il pointe droit vers le haut, donc hors de ce plan.
  • 2 Le plan vertical a pour vecteur normal n2⃗ (0 ; 1 ; 0)\vec{n_2}\,(0\,;\,1\,;\,0) : il pointe vers l'arrière, donc hors de ce plan-là.
  • 3 Leur produit scalaire vaut 0×0+0×1+1×0=00 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 0 = 0 : les deux normales sont orthogonales, donc les deux plans sont perpendiculaires.
Ce qu'il faut lire : Le renversement est déroutant la première fois : on juge deux plans en regardant deux flèches qui n'appartiennent ni à l'un ni à l'autre.

Mais c'est aussi ce qui rend le critère utilisable — une équation de plan te donne directement sa normale, sans aucun travail.

Lis 2x−y+2z−3=02x - y + 2z - 3 = 0 : tu as déjà n⃗ (2 ; −1 ; 2)\vec{n}\,(2\,;\,-1\,;\,2), et il ne te reste qu'un produit scalaire à poser.
Deux plans perpendiculaires et leurs normales n1⃗ (0 ; 0 ; 1)\vec{n_1}\,(0\,;\,0\,;\,1) et n2⃗ (0 ; 1 ; 0)\vec{n_2}\,(0\,;\,1\,;\,0), de produit scalaire nul.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Deux critères se ressemblent et s'échangent sans cesse.

Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul.

✅ La suggestion

Mais une droite est perpendiculaire à un plan quand son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal — pas orthogonal !

Et dans la formule de distance, deux oublis classiques : la valeur absolue au numérateur (une distance est toujours positive) et la racine au dénominateur (a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}, jamais a+b+ca+b+c).

💡 À retenir

  • Test d'orthogonalité : u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. En 3D, on calcule la somme des produits coordonnée par coordonnée.
  • La distance point-plan utilise la formule d=∣ax0+by0+cz0+d∣/a2+b2+c2d = |ax_0+by_0+cz_0+d| / \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Ne jamais oublier la valeur absolue au numérateur.
  • Deux plans sont perpendiculaires si n1⃗⋅n2⃗=0\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0. Deux plans sont parallèles si n1⃗\vec{n_1} et n2⃗\vec{n_2} sont colinéaires.
  • Le projeté orthogonal HH de MM sur P\mathcal{P} est le point de P\mathcal{P} tel que HM→\overrightarrow{HM} est colinéaire à n⃗\vec{n}. La distance MHMH est minimale parmi tous les points du plan.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de distances en mécanique du solide, positionnement GPS, forces perpendiculaires en architecture

Mots-clés associés : OrthogonalitéProduit scalaireDistancePerpendiculaireProjection
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