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Géométrie dans l'espace

Vecteurs, droites et plans de l'espace

🔬 Application physique-chimie : Modélisation de trajectoires et de forces dans l'espace, robotique et conception assistée par ordinateur (CAO)
Dans la charpente d'un toit, deux poutres peuvent passer l'une au-dessus de l'autre sans jamais se toucher ni être parallèles : une configuration impossible à représenter sur une feuille en géométrie plane, et qui n'existe qu'en trois dimensions.

En 3D, les droites et plans se comportent de façon plus riche qu'en 2D. Deux droites peuvent être : sécantes (se croisent), parallèles, ou GAUCHES — ni parallèles ni sécantes, passant "l'une au-dessus de l'autre".

Les droites gauches n'existent pas en 2D : c'est le principal piège de la géométrie spatiale. Deux droites croisant le même point n'en définissent pas toujours un plan unique.

Un plan est défini par son vecteur NORMAL n⃗(a;b;c)\vec{n}(a;b;c) (perpendiculaire au plan) et son équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0. Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal.

Cas fondamental : vérifier si deux droites se croisent nécessite de résoudre le système paramétrique et d'examiner la cohérence des solutions.

📖 Vocabulaire clé

Vecteur normal à un plan : Vecteur n⃗(a;b;c)\vec{n}(a;b;c) perpendiculaire au plan d'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0. Il est orthogonal à tout vecteur contenu dans le plan.
Droites gauches : Deux droites de l'espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes. Elles ne se croisent pas et ne sont pas dans le même plan. Ce cas n'existe qu'en dimension ≥3\geq 3.
Représentation paramétrique : Une droite passant par A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) de vecteur directeur u⃗(a;b;c)\vec{u}(a;b;c) s'écrit : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}.
Produit scalaire en 3D : u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v. Il vérifie aussi u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥cos⁡(θ)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cos(\theta) où θ\theta est l'angle entre les vecteurs.

📋 Positions relatives et équations

  1. 1 Positions relatives des droites : sécantes, parallèles, ou gauches (ni l'un ni l'autre).
  2. 2 Équation d'un plan : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, vecteur normal n⃗(a;b;c)\vec{n}(a;b;c).
  3. 3 Parallélisme droite-plan : vecteur directeur orthogonal à n⃗\vec{n}.
  4. 4 Perpendicularité droite-plan : vecteur directeur colinéaire à n⃗\vec{n}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit le plan P\mathcal{P} d'équation 2x−y+3z−6=02x - y + 3z - 6 = 0 et la droite D\mathcal{D} de représentation paramétrique {x=1+2ty=−1−tz=2+3t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases}. Montrer que D\mathcal{D} est perpendiculaire à P\mathcal{P}.
Démarche :
  1. Le vecteur normal au plan est n⃗(2;−1;3)\vec{n}(2;-1;3) (coefficients de xx, yy, zz).
  2. Le vecteur directeur de la droite est u⃗(2;−1;3)\vec{u}(2;-1;3) (coefficients de tt).
  3. On compare : u⃗=n⃗\vec{u} = \vec{n}, ils sont colinéaires (rapport 11).
  4. Puisque le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan, la droite est perpendiculaire au plan P\mathcal{P}.
Réponse : u⃗=n⃗=(2;−1;3)\vec{u} = \vec{n} = (2;-1;3) : la droite D\mathcal{D} est bien perpendiculaire au plan P\mathcal{P}.

📐 Formules clés

Plan : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, n⃗(a;b;c)\vec{n}(a;b;c) normal
u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u}\cdot\vec{v}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v
u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0
∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

🎨 Illustrations

Positions relatives dans l'espace
Sécantes, parallèles ou gauches : trois arêtes d'un même cube

Sur un cube ABCDEFGHABCDEFGH, l'arête (AB)(AB) est comparée successivement à (BC)(BC), à (EF)(EF) puis à (CG)(CG) pour illustrer les trois positions relatives possibles de deux droites dans l'espace.

Trois positions relatives de droites dans l'espace, sur un cube Trois cubes identiques en perspective cavaliere ABCDEFGH. Panneau 1 : les aretes (AB) et (BC) sont secantes, elles se croisent au sommet B. Panneau 2 : les aretes (AB) et (EF) sont paralleles, meme direction horizontale a des hauteurs differentes, elles ne se rencontrent jamais. Panneau 3 : les aretes (AB) et (CG) sont gauches, ni paralleles ni secantes, non coplanaires. 1. Sécantes A B C (AB) et (BC) 2. Parallèles A B E F (AB) et (EF) 3. Gauches (non coplanaires) A B C G (AB) et (CG) trait fin = arête visible du cube · pointillé = arête cachée · trait épais = paire de droites étudiée
  • 1 Sur le cube ABCDEFGHABCDEFGH, les arêtes (AB)(AB) et (BC)(BC) sont sécantes : elles partagent le sommet BB, leur unique point commun.
  • 2 Les arêtes (AB)(AB) et (EF)(EF) sont parallèles : même direction (arêtes horizontales du cube), mais situées à des hauteurs différentes — elles ne se rencontrent donc jamais.
  • 3 Les arêtes (AB)(AB) et (CG)(CG) sont gauches (non coplanaires) : (AB)(AB) est horizontale et (CG)(CG) est verticale — deux directions non colinéaires — et pourtant ces deux droites ne se croisent à aucun endroit.
  • 4 Piège classique : (AB)(AB) et (CG)(CG) ne sont pas parallèles, mais l'absence de parallélisme ne suffit pas à conclure qu'elles sont sécantes — c'est exactement la définition de deux droites gauches, un cas qui n'existe qu'à partir de la dimension 33.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'arête commune (AB)(AB), présente dans les trois panneaux : elle sert de référence pour comparer sa position par rapport à (BC)(BC), puis (EF)(EF), puis (CG)(CG).
Trois positions relatives de deux droites dans l'espace, illustrées sur un même cube ABCDEFGHABCDEFGH : (AB)(AB)/(BC)(BC) sécantes en BB, (AB)(AB)/(EF)(EF) parallèles, (AB)(AB)/(CG)(CG) gauches (non coplanaires).
Le seul objet nouveau du chapitre
Deux droites qui ne se coupent pas, et qui ne sont pas parallèles

Dans le plan, deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles — il n'y a pas d'autre cas. Dans l'espace, il y en a un troisième : les droites gauches. Ici (AB)(AB) et (DH)(DH) ne se rencontrent jamais, et pourtant leurs directions n'ont rien de commun.

Deux aretes gauches sur un cube en perspective cavaliere Un cube est dessine en perspective cavaliere. Ses aretes cachees sont en pointilles. Deux aretes sont mises en valeur : celle qui va du sommet A au sommet B, sur le bord avant du bas, et celle qui va du sommet D au sommet H, sur le bord arriere gauche et verticale. Ces deux aretes ne se rencontrent en aucun point et leurs directions sont differentes : l'une est horizontale vers la droite, l'autre est verticale. Ce sont donc deux droites gauches, une situation qui ne peut pas se produire dans un plan. A B D H C E F G deux droites gauches
  • 1 La droite (AB)(AB) est dirigée par u⃗ (3 ; 0 ; 0)\vec{u}\,(3\,;\,0\,;\,0) et la droite (DH)(DH) par v⃗ (0 ; 0 ; 3)\vec{v}\,(0\,;\,0\,;\,3) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.
  • 2 Elles ne se coupent pas non plus : tous les points de (AB)(AB) ont pour ordonnée y=0y = 0, tous ceux de (DH)(DH) ont y=3y = 3. Aucun point ne peut vérifier les deux à la fois.
  • 3 Ni parallèles, ni sécantes : elles sont gauches. Dans un plan, cette situation est impossible — c'est précisément ce que la troisième dimension ajoute.
Ce qu'il faut lire : Suis l'arête ABAB du doigt, puis l'arête DHDH : à aucun moment ton doigt ne passe deux fois au même endroit de l'espace. Pour te convaincre qu'elles ne sont pas parallèles non plus, compare leurs directions — l'une longe le sol, l'autre monte. Retiens le test, il servira toute l'année : deux droites sont gauches quand leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et que le système formé par leurs représentations paramétriques n'a aucune solution.
Les arêtes (AB)(AB) et (DH)(DH) d'un cube : deux droites gauches en perspective cavalière.
Ce que le dessin ne peut pas dire
Le vecteur normal sort du plan

Un plan a une infinité de vecteurs qui lui appartiennent, mais une seule direction perpendiculaire. C'est cette direction — le vecteur normal — qui donne au plan son équation ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0 : les trois nombres aa, bb, cc ne sont rien d'autre que les coordonnées de n⃗\vec{n}.

Un vecteur normal perpendiculaire a un plan, et deux vecteurs du plan Un plan est represente par un parallelogramme dessine en perspective cavaliere. Deux vecteurs partant du meme point sont traces a l'interieur de ce parallelogramme : ils appartiennent au plan. Un troisieme vecteur part du meme point mais s'eleve verticalement, hors du parallelogramme : c'est le vecteur normal. Un petit carre place a sa base code l'angle droit entre le vecteur normal et le plan. Le produit scalaire du vecteur normal avec chacun des deux vecteurs du plan vaut zero. vecteur normal vecteurs du plan H le plan
  • 1 Les deux flèches claires appartiennent au plan : on peut les tracer sans jamais le quitter. Il y en a une infinité, dans toutes les directions du plan.
  • 2 La flèche foncée n'appartient pas au plan : elle en sort perpendiculairement. Son produit scalaire avec n'importe quel vecteur du plan vaut 00 — par exemple n⃗ (0 ; 0 ; 1)⋅u⃗ (1 ; 0 ; 0)=0\vec{n}\,(0\,;\,0\,;\,1) \cdot \vec{u}\,(1\,;\,0\,;\,0) = 0.
  • 3 Dans l'équation ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0, le triplet (a ; b ; c)(a\,;\,b\,;\,c) est le vecteur normal. Lire une équation de plan, c'est donc lire d'abord la direction perpendiculaire.
Ce qu'il faut lire : Le petit carré à la base de la flèche foncée code l'angle droit : c'est la notation du collège, et elle vaut encore ici. Retiens surtout le renversement : pour décrire un plan, on ne donne pas ce qu'il contient, on donne la direction qu'il évite. C'est plus économique — une direction au lieu d'une infinité — et c'est ce qui rend l'équation si courte.
Un vecteur normal n⃗\vec{n} et deux vecteurs du plan : le produit scalaire de n⃗\vec{n} avec chacun vaut 00.
Quand le dessin trompe
Un croisement qui n'existe pas

Les deux droites ci-dessous se croisent visiblement sur la feuille, exactement au milieu de chacune. Dans l'espace, elles ne se touchent nulle part : (d1)(d_1) reste à la cote z=0z = 0, (d2)(d_2) à la cote z=2z = 2. Une perspective écrase trois dimensions sur deux, et cet écrasement fabrique des intersections qui n'existent pas.

Deux droites qui semblent se couper sur le dessin sans se rencontrer dans l espace Deux segments traces en perspective cavaliere se croisent au milieu de l'image. Le point ou ils semblent se rencontrer porte un point d'interrogation. Sous le second segment, une ombre en pointilles montre ou il se projetterait sur le sol : elle est nettement plus bas que le premier segment, ce qui rend visible la difference de hauteur. Le premier segment est a la cote zero, le second a la cote deux : ils ne partagent donc aucun point, et le croisement visible n'est qu'un effet de la projection sur la feuille. ? d1 d2 ombre de d2 au sol
  • 1 La droite (d1)(d_1) est posée au sol : tous ses points ont pour cote z=0z = 0.
  • 2 La droite (d2)(d_2) garde la cote z=2z = 2 sur toute sa longueur. Aucun de ses points ne peut donc coïncider avec un point de (d1)(d_1) : les deux droites sont gauches.
  • 3 Les traits en pointillés donnent l'ombre de (d2)(d_2) au sol, à la verticale de chacune de ses extrémités. C'est le seul indice visuel de la hauteur — et il manque sur la plupart des figures de manuel, ce qui rend le croisement apparent très convaincant.
  • 4 Le croisement qu'on voit au milieu est un artefact de la projection : deux points situés à des hauteurs différentes tombent au même endroit sur la feuille. C'est exactement ce qui se passe quand tu regardes deux avions se croiser dans le ciel.
Ce qu'il faut lire : Ne conclus jamais d'un dessin en perspective que deux droites sont sécantes. La seule preuve acceptable est un calcul : écris les deux représentations paramétriques, puis cherche un couple de paramètres qui donne le même point. S'il n'en existe aucun, les droites sont gauches — quoi que montre la figure.
Deux droites gauches, aux cotes z=0z = 0 et z=2z = 2, dont les projections se coupent au milieu de la feuille.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

En 3D, deux droites non parallèles peuvent être gauches (elles ne se croisent pas).

Avant de conclure qu'elles sont sécantes, il faut résoudre le système et vérifier qu'il admet une solution.

💡 À retenir

  • Un plan est défini par son vecteur normal n⃗(a;b;c)\vec{n}(a;b;c) et son équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0.
  • En 3D, deux droites non parallèles peuvent être gauches : ni parallèles, ni sécantes. Toujours vérifier l'existence d'une intersection.
  • Le produit scalaire en 3D : u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  • Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Modélisation de trajectoires et de forces dans l'espace, robotique et conception assistée par ordinateur (CAO)

Mots-clés associés : EspaceVecteurPlanDroiteCoplanairePosition relative
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