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Géométrie dans l'espace

Vecteurs, droites et plans de l'espace

🔬 Application physique-chimie : Modélisation de trajectoires et de forces dans l'espace, robotique et conception assistée par ordinateur (CAO)

Dans la charpente d'un toit, deux poutres peuvent passer l'une au-dessus de l'autre sans jamais se toucher ni être parallèles : une configuration impossible à représenter sur une feuille en géométrie plane, et qui n'existe qu'en trois dimensions.

En 3D, les droites et plans se comportent de façon plus riche qu'en 2D. Deux droites peuvent être : sécantes (se croisent), parallèles, ou GAUCHES — ni parallèles ni sécantes, passant "l'une au-dessus de l'autre".

Les droites gauches n'existent pas en 2D : c'est le principal piège de la géométrie spatiale. Deux droites croisant le même point n'en définissent pas toujours un plan unique.

Un plan est défini par son vecteur NORMAL $\vec{n}(a;b;c)$ (perpendiculaire au plan) et son équation $ax+by+cz+d=0$ . Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal.

Cas fondamental : vérifier si deux droites se croisent nécessite de résoudre le système paramétrique et d'examiner la cohérence des solutions.

📖 Vocabulaire clé

Vecteur normal à un plan : Vecteur

\vec{n}(a;b;c)

perpendiculaire au plan d'équation

ax+by+cz+d=0

. Il est orthogonal à tout vecteur contenu dans le plan.

Droites gauches : Deux droites de l'espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes. Elles ne se croisent pas et ne sont pas dans le même plan. Ce cas n'existe qu'en dimension

\geq 3

Représentation paramétrique : Une droite passant par

A(x_A;y_A;z_A)

de vecteur directeur

\vec{u}(a;b;c)

s'écrit :

\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}

t \in \mathbb{R}

Produit scalaire en 3D :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v

. Il vérifie aussi

\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cos(\theta)

où

\theta

est l'angle entre les vecteurs.

📋 Positions relatives et équations

1 Positions relatives des droites : sécantes, parallèles, ou gauches (ni l'un ni l'autre).
2 Équation d'un plan : $ax+by+cz+d=0$ , vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ .
3 Parallélisme droite-plan : vecteur directeur orthogonal à $\vec{n}$ .
4 Perpendicularité droite-plan : vecteur directeur colinéaire à $\vec{n}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit le plan

\mathcal{P}

d'équation

2x - y + 3z - 6 = 0

et la droite

\mathcal{D}

de représentation paramétrique

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases}

. Montrer que

\mathcal{D}

est perpendiculaire à

\mathcal{P}

Démarche :

Le vecteur normal au plan est $\vec{n}(2;-1;3)$ (coefficients de $x$ , $y$ , $z$ ).
Le vecteur directeur de la droite est $\vec{u}(2;-1;3)$ (coefficients de $t$ ).
On compare : $\vec{u} = \vec{n}$ , ils sont colinéaires (rapport $1$ ).
Puisque le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan, la droite est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ .

Réponse :

\vec{u} = \vec{n} = (2;-1;3)

: la droite

\mathcal{D}

est bien perpendiculaire au plan

\mathcal{P}

📐 Formules clés

Plan :

ax+by+cz+d=0

\vec{n}(a;b;c)

normal

\vec{u}\cdot\vec{v}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v

\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0

\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

🎨 Illustration

Positions relatives dans l'espace

Sécantes, parallèles ou gauches : trois arêtes d'un même cube

Sur un cube $ABCDEFGH$ , l'arête $(AB)$ est comparée successivement à $(BC)$ , à $(EF)$ puis à $(CG)$ pour illustrer les trois positions relatives possibles de deux droites dans l'espace.

1 Sur le cube $ABCDEFGH$ , les arêtes $(AB)$ et $(BC)$ sont sécantes : elles partagent le sommet $B$ , leur unique point commun.
2 Les arêtes $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles : même direction (arêtes horizontales du cube), mais situées à des hauteurs différentes — elles ne se rencontrent donc jamais.
3 Les arêtes $(AB)$ et $(CG)$ sont gauches (non coplanaires) : $(AB)$ est horizontale et $(CG)$ est verticale — deux directions non colinéaires — et pourtant ces deux droites ne se croisent à aucun endroit.
4 Piège classique : $(AB)$ et $(CG)$ ne sont pas parallèles, mais l'absence de parallélisme ne suffit pas à conclure qu'elles sont sécantes — c'est exactement la définition de deux droites gauches, un cas qui n'existe qu'à partir de la dimension $3$ .

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'arête commune

(AB)

, présente dans les trois panneaux : elle sert de référence pour comparer sa position par rapport à

(BC)

, puis

(EF)

, puis

(CG)

Trois positions relatives de deux droites dans l'espace, illustrées sur un même cube

ABCDEFGH

(AB)

(BC)

sécantes en

B

(AB)

(EF)

parallèles,

(AB)

(CG)

gauches (non coplanaires).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

En 3D, deux droites non parallèles peuvent être gauches (elles ne se croisent pas).

Avant de conclure qu'elles sont sécantes, il faut résoudre le système et vérifier qu'il admet une solution.

💡 À retenir

Un plan est défini par son vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ et son équation $ax+by+cz+d=0$ .
En 3D, deux droites non parallèles peuvent être gauches : ni parallèles, ni sécantes. Toujours vérifier l'existence d'une intersection.
Le produit scalaire en 3D : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$ . Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Modélisation de trajectoires et de forces dans l'espace, robotique et conception assistée par ordinateur (CAO)

Mots-clés associés : EspaceVecteurPlanDroiteCoplanairePosition relative

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