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Lois de probabilité continues

Loi uniforme, loi normale

🔬 Application physique-chimie : Répartition gaussienne des erreurs de mesure, durée de vie de composants, contrôle qualité industriel
Pour une loi CONTINUE, la probabilité d'une valeur EXACTE est nulle : P(X=5)=0P(X = 5) = 0 (on ne peut pas mesurer précisément un point sur une courbe).

On calcule uniquement des probabilités sur des intervalles : P(a≤X≤b)P(a \leq X \leq b) = aire sous la courbe de densité entre aa et bb.

La loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) est symétrique autour de μ\mu : P(X≤μ)=0,5P(X \leq \mu) = 0{,}5 exactement. La règle des 2σ2\sigma donne P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 0{,}954.

Piège classique : en déduire P(X≤μ−2σ)≈0,046P(X \leq \mu-2\sigma) \approx 0{,}046 (mauvais !) = la bonne valeur est (1−0,954)/2≈0,023(1-0{,}954)/2 \approx 0{,}023 par symétrie.

📖 Vocabulaire clé

Variable aléatoire continue : Variable XX pouvant prendre toute valeur dans un intervalle. Sa loi est définie par une fonction de densité ff telle que P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx.
Loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) : Loi continue symétrique en cloche autour de μ\mu (espérance), d'écart-type σ\sigma. C'est la loi la plus importante en statistique : par le théorème central limite, la moyenne de nombreuses mesures suit approximativement une loi normale.
Loi uniforme sur [a;b][a;b] : Toutes les valeurs dans [a;b][a;b] sont équiprobables. Densité constante f(x)=1b−af(x) = \dfrac{1}{b-a}. Espérance E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a+b}{2}, variance V(X)=(b−a)212V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}.
Centrage-réduction : La transformation Z=X−μσZ = \dfrac{X - \mu}{\sigma} ramène toute loi N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) à la loi N(0;1)\mathcal{N}(0;1). On peut alors utiliser les tables ou la calculatrice.

📋 Utiliser la loi normale

  1. 1 Paramètres fondamentaux : μ\mu (espérance/moyenne) et σ\sigma (écart-type).
  2. 2 Centrage-réduction : Z=X−μσ∼N(0;1)Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0;1).
  3. 3 Règle des 3σ3\sigma : P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx0{,}997.
  4. 4 Règle des 2σ2\sigma : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}954.

✅ Exemple résolu

Énoncé : La durée de vie d'une ampoule LED suit une loi normale N(20000;20002)\mathcal{N}(20000;2000^2) (en heures). Quelle est la probabilité qu'une ampoule dure entre 1600016000 et 2400024000 heures ?
Démarche :
  1. On identifie μ=20000\mu = 20000 et σ=2000\sigma = 2000.
  2. 16000=20000−2×2000=μ−2σ16000 = 20000 - 2 \times 2000 = \mu - 2\sigma.
  3. 24000=20000+2×2000=μ+2σ24000 = 20000 + 2 \times 2000 = \mu + 2\sigma.
  4. Par la règle des 2σ2\sigma : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954.
Réponse : P(16000≤X≤24000)≈0,954P(16000 \leq X \leq 24000) \approx 0{,}954 soit 95,4%95{,}4\%. Environ 9595 ampoules sur 100100 durent entre 16 00016\,000 et 24 00024\,000 h.

📐 Formules clés

P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,683P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0{,}683
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}954
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx0{,}997
Loi uniforme sur [a;b][a;b] : E(X)=a+b2E(X)=\dfrac{a+b}{2}, f(x)=1b−af(x)=\dfrac{1}{b-a}

🎨 Illustration

Courbe de Gauss
Durée de vie d'une LED : N(20000 ; 20002)\mathcal{N}(20000\,;\,2000^2)

Courbe de densité f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} calculée point par point pour μ=20000\mu = 20000 h et σ=2000\sigma = 2000 h (l'exemple ci-dessus) : les trois bandes montrent où se concentrent 68,3%68{,}3\%, 95,4%95{,}4\% et 99,7%99{,}7\% des ampoules.

Courbe de Gauss de moyenne 20000 heures et d'ecart-type 2000 heures Courbe en cloche calculee a partir de la fonction de densite normale, avec trois bandes concentriques marquant 68,3%, 95,4% et 99,7% des ampoules autour de la duree de vie moyenne de 20000 heures. μ = 20000 h 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 durée (h) 68,3 % 95,4 % 99,7 %
  • 1 Bande la plus foncée : [18000 ; 22000][18000\,;\,22000] h =[μ−σ ; μ+σ]=[\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma], soit 68,3%68{,}3\% des ampoules.
  • 2 Bande intermédiaire : [16000 ; 24000][16000\,;\,24000] h =[μ−2σ ; μ+2σ]=[\mu-2\sigma\,;\,\mu+2\sigma], soit 95,4%95{,}4\% — c'est l'exemple traité ci-dessus.
  • 3 Bande la plus large : [14000 ; 26000][14000\,;\,26000] h =[μ−3σ ; μ+3σ]=[\mu-3\sigma\,;\,\mu+3\sigma], soit 99,7%99{,}7\% des ampoules.
Ce qu'il faut lire : La hauteur de la courbe en chaque point xx est la vraie valeur de la densité f(x)f(x), calculée formule en main — pas une cloche dessinée approximativement. Plus une durée de vie s'éloigne de μ=20000\mu=20000 h, plus elle devient improbable.
Courbe de densité de N(20000 ; 20002)\mathcal{N}(20000\,;\,2000^2) (durée de vie en heures) avec la règle 6868-9595-99,7%99{,}7\%.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La loi normale est symétrique autour de μ\mu.

✅ La suggestion

Ne pas oublier de centrer-réduire avant de lire dans une table. P(X≤μ)=0,5P(X\le\mu)=0{,}5.

💡 À retenir

  • Loi continue : P(X=a)=0P(X = a) = 0 toujours. On calcule des probabilités sur des intervalles : P(a≤X≤b)=P(a \leq X \leq b) = aire sous la courbe de densité.
  • Loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) : symétrique autour de μ\mu, P(X≤μ)=0,5P(X \leq \mu) = 0{,}5. Les règles 1σ1\sigma / 2σ2\sigma / 3σ3\sigma donnent 68,3%68{,}3\% / 95,4%95{,}4\% / 99,7%99{,}7\%.
  • Pour P(X≤μ−kσ)P(X \leq \mu - k\sigma) ou P(X≥μ+kσ)P(X \geq \mu + k\sigma), diviser la queue par 22 grâce à la symétrie.
  • Loi uniforme sur [a;b][a;b] : P(c≤X≤d)=d−cb−aP(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a} (proportionnel à la longueur de l'intervalle).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Répartition gaussienne des erreurs de mesure, durée de vie de composants, contrôle qualité industriel

Mots-clés associés : Loi normaleLoi uniformeDensitéEspéranceÉcart-type
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