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Lois de probabilité continues

Loi uniforme, loi normale

🔬 Application physique-chimie : Répartition gaussienne des erreurs de mesure, durée de vie de composants, contrôle qualité industriel
Un train passe à un horaire aléatoire, quelque part entre 88 h et 99 h — aucune minute n'est plus probable qu'une autre. Quelle est la probabilité qu'il passe exactement à 88 h 3030 ?

Essaie avec ce que tu sais. En probabilités, tu comptes les cas favorables et tu divises par le nombre de cas possibles. Un cas favorable, donc : 88 h 3030.

Mais combien de cas possibles ? 6060, si tu comptes les minutes. 36003600, si tu comptes les secondes. Et si tu comptes les dixièmes de seconde, 36 00036\,000. Le nombre de cas possibles dépend entièrement de la précision que tu choisis — et rien dans l'énoncé ne la fixe.

Pire : rien ne t'oblige à t'arrêter. Entre deux instants, si proches soient-ils, il en existe toujours une infinité d'autres. Le dénombrement ne s'applique pas, et il n'y a aucun moyen de le sauver.

Il faut donc changer complètement d'outil. L'idée qui fonctionne est inattendue : on abandonne l'idée de mesurer un instant, et on ne mesure plus que des durées. On saura dire la probabilité que le train passe entre 88 h 2020 et 88 h 4040 — elle vaut un tiers — sans jamais pouvoir dire celle d'un horaire exact.

Et l'objet qui porte cette mesure est une aire. On trace une courbe, et la probabilité d'un intervalle devient la surface au-dessus de cet intervalle. C'est tout le chapitre, et c'est aussi sa difficulté : la hauteur de la courbe ne sera jamais une probabilité, seule l'aire en est une.

Quant à 88 h 3030 exactement : une durée nulle donne une aire nulle. La probabilité est donc 00 — ce qui ne veut pas dire que c'est impossible, puisque le train passe bien à un instant précis.

📖 Vocabulaire clé

Variable aléatoire continue : Variable XX pouvant prendre toute valeur dans un intervalle. Sa loi est définie par une fonction de densité ff telle que P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx.
Loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) : Loi continue symétrique en cloche autour de μ\mu (espérance), d'écart-type σ\sigma. C'est la loi la plus importante en statistique : par le théorème central limite, la moyenne de nombreuses mesures suit approximativement une loi normale.
Loi uniforme sur [a;b][a;b] : Toutes les valeurs dans [a;b][a;b] sont équiprobables. Densité constante f(x)=1b−af(x) = \dfrac{1}{b-a}. Espérance E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a+b}{2}, variance V(X)=(b−a)212V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}.
Centrage-réduction : La transformation Z=X−μσZ = \dfrac{X - \mu}{\sigma} ramène toute loi N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) à la loi N(0;1)\mathcal{N}(0;1). On peut alors utiliser les tables ou la calculatrice.

📋 Utiliser la loi normale

  1. 1 Paramètres fondamentaux : μ\mu (espérance/moyenne) et σ\sigma (écart-type).
  2. 2 Centrage-réduction : Z=X−μσ∼N(0;1)Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0;1).
  3. 3 Règle des 3σ3\sigma : P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx0{,}997.
  4. 4 Règle des 2σ2\sigma : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}954.

✅ Exemple résolu

Énoncé : La durée de vie d'une ampoule LED suit une loi normale N(20000;20002)\mathcal{N}(20000;2000^2) (en heures). Quelle est la probabilité qu'une ampoule dure entre 1600016000 et 2400024000 heures ?
Démarche :
  1. On identifie μ=20000\mu = 20000 et σ=2000\sigma = 2000.
  2. 16000=20000−2×2000=μ−2σ16000 = 20000 - 2 \times 2000 = \mu - 2\sigma.
  3. 24000=20000+2×2000=μ+2σ24000 = 20000 + 2 \times 2000 = \mu + 2\sigma.
  4. Par la règle des 2σ2\sigma : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954.
Réponse : P(16000≤X≤24000)≈0,954P(16000 \leq X \leq 24000) \approx 0{,}954 soit 95,4%95{,}4\%. Environ 9595 ampoules sur 100100 durent entre 16 00016\,000 et 24 00024\,000 h.

📐 Formules clés

P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,683P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0{,}683
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}954
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx0{,}997
Loi uniforme sur [a;b][a;b] : E(X)=a+b2E(X)=\dfrac{a+b}{2}, f(x)=1b−af(x)=\dfrac{1}{b-a}

🎨 Illustrations

Courbe de Gauss
Durée de vie d'une LED : N(20000 ; 20002)\mathcal{N}(20000\,;\,2000^2)

Courbe de densité f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} calculée point par point pour μ=20000\mu = 20000 h et σ=2000\sigma = 2000 h (l'exemple ci-dessus) : les trois bandes montrent où se concentrent 68,3%68{,}3\%, 95,4%95{,}4\% et 99,7%99{,}7\% des ampoules.

Courbe de Gauss de moyenne 20000 heures et d'ecart-type 2000 heures Courbe en cloche calculee a partir de la fonction de densite normale, avec trois bandes concentriques marquant 68,3%, 95,4% et 99,7% des ampoules autour de la duree de vie moyenne de 20000 heures. μ = 20000 h 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 durée (h) 68,3 % 95,4 % 99,7 %
  • 1 Bande la plus foncée : [18000 ; 22000][18000\,;\,22000] h =[μ−σ ; μ+σ]=[\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma], soit 68,3%68{,}3\% des ampoules.
  • 2 Bande intermédiaire : [16000 ; 24000][16000\,;\,24000] h =[μ−2σ ; μ+2σ]=[\mu-2\sigma\,;\,\mu+2\sigma], soit 95,4%95{,}4\% — c'est l'exemple traité ci-dessus.
  • 3 Bande la plus large : [14000 ; 26000][14000\,;\,26000] h =[μ−3σ ; μ+3σ]=[\mu-3\sigma\,;\,\mu+3\sigma], soit 99,7%99{,}7\% des ampoules.
Ce qu'il faut lire : La hauteur de la courbe en chaque point xx est la vraie valeur de la densité f(x)f(x), calculée formule en main — pas une cloche dessinée approximativement. Plus une durée de vie s'éloigne de μ=20000\mu=20000 h, plus elle devient improbable.
Courbe de densité de N(20000 ; 20002)\mathcal{N}(20000\,;\,2000^2) (durée de vie en heures) avec la règle 6868-9595-99,7%99{,}7\%.
Le point à comprendre
La probabilité est une aire, pas une hauteur

Un train passe à un horaire uniformément réparti sur une heure. La courbe de densité est plate : sa hauteur vaut 0,10{,}1 partout, et cette hauteur n'est la probabilité de rien. Ce qui est une probabilité, c'est l'aire — ici le rectangle hachuré, dont on peut vérifier la valeur de tête.

Densite uniforme et rectangle hachure representant une probabilite La courbe de densite d'une loi uniforme est un palier horizontal de hauteur zero virgule un, s'etendant de zero a dix, et nulle partout ailleurs. La portion comprise entre deux et six est hachuree : c'est un rectangle de largeur quatre et de hauteur zero virgule un, donc d'aire zero virgule quatre. Cette aire est exactement la probabilite que la variable tombe entre deux et six. La hauteur seule, zero virgule un, n'est la probabilite de rien. aire hachurée quatre fois zéro virgule un soit zéro virgule quatre hauteur zéro virgule un 0 2 6 10 valeur prise par la variable
  • 1 La densité vaut f(x)=110−0=0,1f(x) = \dfrac{1}{10 - 0} = 0{,}1 sur [0 ; 10][0\,;\,10], et 00 ailleurs. C'est une hauteur, et une hauteur n'est pas une probabilité — la preuve, elle pourrait très bien dépasser 11 si l'intervalle était plus court.
  • 2 Le rectangle hachuré a pour largeur 6−2=46 - 2 = 4 et pour hauteur 0,10{,}1 : son aire vaut 4×0,1=0,44 \times 0{,}1 = 0{,}4. Et P(2≤X≤6)=0,4P(2 \leq X \leq 6) = 0{,}4 exactement. L'aire est la probabilité.
  • 3 L'aire totale sous la densité vaut 10×0,1=110 \times 0{,}1 = 1, ce qui n'est pas un hasard : c'est la probabilité que la variable prenne une valeur quelconque, donc la certitude. Toute densité vérifie cette condition.
Ce qu'il faut lire : Vérifie l'aire toi-même : c'est un rectangle, tu n'as besoin d'aucune intégrale. Largeur 44, hauteur 0,10{,}1, donc 0,40{,}4. Et retiens le contraste que montre cette figure : la hauteur est la même sur tout l'intervalle, alors que la probabilité, elle, change avec la largeur qu'on prend. Chaque fois que tu liras une courbe de densité, la question à te poser sera donc « quelle aire ? » et jamais « quelle hauteur ? ».
Densité uniforme sur [0 ; 10][0\,;\,10] : la hauteur vaut 0,10{,}1 partout, et l'aire hachurée 0,40{,}4 est la probabilité P(2≤X≤6)P(2 \leq X \leq 6).
Pourquoi une valeur exacte est de probabilité nulle
Une largeur qui disparaît emporte l'aire avec elle

Trois fois la même densité, et trois intervalles de plus en plus étroits autour de 55. L'aire passe de 0,20{,}2 à 0,020{,}02 puis à 0,0020{,}002. En resserrant jusqu'au point unique, il ne reste plus rien : c'est pourquoi P(X=5)=0P(X = 5) = 0.

Trois bandes de largeur decroissante sous la meme densite uniforme Trois vignettes a la meme echelle montrent la meme densite uniforme en forme de palier. Dans la premiere, une bande large est hachuree autour de la valeur cinq et son aire vaut zero virgule deux. Dans la deuxieme, la bande est dix fois plus etroite et son aire vaut zero virgule zero deux. Dans la troisieme, elle est encore dix fois plus etroite, presque reduite a un trait, et son aire vaut zero virgule zero zero deux. En poursuivant, l'aire tend vers zero : la probabilite d'une valeur exacte est nulle. bande large aire : 0,2 dix fois plus fine aire : 0,02 cent fois plus fine aire : 0,002 en resserrant encore, il ne reste aucune aire
  • 1 Les trois vignettes portent la même densité uniforme, de hauteur 0,10{,}1, à la même échelle. Seule la largeur de la bande change.
  • 2 Les aires valent 0,20{,}2 puis 0,020{,}02 puis 0,0020{,}002 : chaque fois qu'on divise la largeur par dix, l'aire est divisée par dix. Rien ne s'oppose à continuer.
  • 3 À la limite, la largeur est nulle et l'aire aussi : P(X=5)=0P(X = 5) = 0. Ce n'est pas une convention commode, c'est la conséquence directe du fait que la probabilité est une aire.
Ce qu'il faut lire : Attention à ne pas conclure trop vite : une probabilité nulle ne signifie pas que l'événement est impossible. Le train passe bien à un instant précis, et cet instant avait pourtant une probabilité nulle d'être choisi. C'est déroutant, et c'est propre au continu — en probabilités discrètes, seule l'impossibilité donne zéro. Une conséquence pratique à retenir : puisque les points isolés ne pèsent rien, les inégalités strictes et larges donnent la même chose, et P(X≤5)=P(X<5)P(X \leq 5) = P(X < 5).
La même densité uniforme, avec des bandes de largeur 22 ; 0,20{,}2 ; 0,020{,}02 autour de 55 : les aires valent 0,20{,}2 ; 0,020{,}02 ; 0,0020{,}002 et tendent vers 00.
La règle des sigma
Les trois nombres à retenir sont trois aires

Les valeurs 68,3%68{,}3\%, 95,4%95{,}4\% et 99,7%99{,}7\% ne sont pas trois nombres à apprendre par cœur : ce sont les aires découpées sous la cloche par 11, 22 et 33 écarts-types autour de la moyenne. La figure hachure la première.

Aire hachuree entre moins un et plus un ecart-type sous la courbe en cloche La courbe en cloche de la loi normale centree reduite est tracee point par point a partir de sa formule. La portion comprise entre moins un et plus un ecart-type est hachuree : son aire vaut zero virgule six cent quatre-vingt-trois, soit soixante-huit virgule trois pour cent. Deux traits verticaux marquent les bornes moins deux et plus deux ecarts-types, qui delimitent quatre-vingt-quinze virgule quatre pour cent de l'aire, et deux autres marquent moins trois et plus trois ecarts-types, qui en delimitent quatre-vingt-dix-neuf virgule sept pour cent. moyenne aire hachurée soixante-huit virgule trois pour cent −1σ +1σ −2σ +2σ −3σ +3σ à deux sigma : 95,4 % — à trois sigma : 99,7 %
  • 1 La courbe est tracée point par point à partir de la densité f(z)=12πe−z2/2f(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}, pas dessinée de mémoire. Son aire totale vaut 11, vérifiée par intégration numérique.
  • 2 L'aire hachurée entre −1σ-1\sigma et +1σ+1\sigma vaut 0,682 6890{,}682\,689, soit les 68,3%68{,}3\% annoncés. Entre −2σ-2\sigma et +2σ+2\sigma elle vaut 0,954 5000{,}954\,500, et entre −3σ-3\sigma et +3σ+3\sigma, 0,997 3000{,}997\,300.
  • 3 Ces trois nombres ne dépendent ni de μ\mu ni de σ\sigma : ils valent la même chose pour des durées de vie d'ampoules, des tailles d'adultes ou des erreurs de mesure. C'est ce qui en fait une règle utilisable partout.
Ce qu'il faut lire : Regarde comme la cloche s'écrase vite en s'éloignant du centre : au-delà de 3σ3\sigma, il ne reste que 0,3%0{,}3\% de l'aire, répartie sur les deux côtés. Et voilà le piège à éviter : pour une seule queue, il faut encore diviser par deux. La probabilité de dépasser μ+2σ\mu + 2\sigma n'est pas 1−0,954=0,0461 - 0{,}954 = 0{,}046, mais la moitié, soit 0,0230{,}023. Chaque fois que tu ne regardes qu'un seul côté, la symétrie de la cloche te fait diviser par deux.
Densité de la loi normale centrée réduite : l'aire entre −σ-\sigma et +σ+\sigma vaut 0,6830{,}683, entre −2σ-2\sigma et +2σ+2\sigma 0,9540{,}954, entre −3σ-3\sigma et +3σ+3\sigma 0,9970{,}997.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La loi normale est symétrique autour de μ\mu.

✅ La suggestion

Ne pas oublier de centrer-réduire avant de lire dans une table. P(X≤μ)=0,5P(X\le\mu)=0{,}5.

💡 À retenir

  • Loi continue : P(X=a)=0P(X = a) = 0 toujours. On calcule des probabilités sur des intervalles : P(a≤X≤b)=P(a \leq X \leq b) = aire sous la courbe de densité.
  • Loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) : symétrique autour de μ\mu, P(X≤μ)=0,5P(X \leq \mu) = 0{,}5. Les règles 1σ1\sigma / 2σ2\sigma / 3σ3\sigma donnent 68,3%68{,}3\% / 95,4%95{,}4\% / 99,7%99{,}7\%.
  • Pour P(X≤μ−kσ)P(X \leq \mu - k\sigma) ou P(X≥μ+kσ)P(X \geq \mu + k\sigma), diviser la queue par 22 grâce à la symétrie.
  • Loi uniforme sur [a;b][a;b] : P(c≤X≤d)=d−cb−aP(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a} (proportionnel à la longueur de l'intervalle).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Répartition gaussienne des erreurs de mesure, durée de vie de composants, contrôle qualité industriel

Mots-clés associés : Loi normaleLoi uniformeDensitéEspéranceÉcart-type
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