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Dénombrement et combinatoire

Arrangements, permutations, combinaisons

Le dénombrement répond à "combien de façons ?"

La clé est de savoir si l'ordre compte. Quand l'ordre compte (podium, code PIN) → arrangements. Quand l'ordre ne compte pas (comité, main de cartes) → combinaisons.

La formule $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ donne le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre. Erreur classique : diviser ou non par $k!$ selon le contexte. $\binom{10}{3} = 120$ (combinaison), tandis que $A_{10}^3 = 720$ (arrangement).

Propriété clé : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (choisir $k$ éléments revient à en exclure $n-k$ ).

📖 Vocabulaire clé

Factorielle $n!$ :

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1

. Convention :

0! = 1

. Interprétation :

n!

est le nombre de façons d'ordonner

n

objets distincts (permutations).

Arrangement $A_n^k$ : Nombre de façons de choisir et ordonner

k

éléments parmi

n

A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)

. L'ordre compte.

Combinaison $\binom{n}{k}$ : Nombre de façons de choisir

k

éléments parmi

n

sans tenir compte de l'ordre :

\binom{n}{k} = \dfrac{A_n^k}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Formule du binôme de Newton :

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

. Les coefficients

\binom{n}{k}

apparaissent dans le triangle de Pascal.

📋 Choisir la bonne formule

1 Arrangements de $k$ éléments parmi $n$ (ordre compte) : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .
2 Permutations de $n$ éléments : $n!$ .
3 Combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ (ordre ne compte pas) : $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
4 Multiplication des choix : si un choix comporte $p$ façons puis $q$ façons, le total est $p\times q$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Au loto, on tire

5

numéros parmi

49

(l'ordre ne compte pas). Combien de combinaisons possibles ?

Démarche :

L'ordre ne compte pas : c'est une combinaison, pas un arrangement.
$\binom{49}{5} = \dfrac{49!}{5! \times 44!} = \dfrac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{5!}$ .
Numérateur : $49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 = 228\,673\,200$ .
Dénominateur : $5! = 120$ .
$\binom{49}{5} = \dfrac{228\,673\,200}{120} = 1\,906\,884$ .

Réponse :

\binom{49}{5} = 1\,906\,884

combinaisons possibles. La probabilité de gagner est d'environ

1

chance sur

1{,}9

million.

📐 Formules clés

n! = n\times(n-1)\times\cdots\times1

A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}

\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}

🎨 Illustration

Ordre compte vs ordre ne compte pas

Du groupe de 4 aux rôles chef/secrétaire : arrangement contre combinaison

Reprise de l'exemple du cours (le groupe de 4 élèves du problème) : en haut, on désigne un chef puis un secrétaire — l'ordre compte, $A_4^2=12$ . En bas, les mêmes 4 élèves forment simplement un duo sans rôle — l'ordre ne compte pas, $\binom{4}{2}=6$ .

1 Arrangement $A_4^2$ : $4$ choix de chef puis $3$ choix de secrétaire parmi les élèves restants, soit $4\times3=12$ issues où l'ordre (qui est chef, qui est secrétaire) compte.
2 Combinaison $\binom{4}{2}$ : en oubliant les rôles, $(A,B)$ et $(B,A)$ désignent le même duo $\{A,B\}$ — chaque paire non ordonnée regroupe $2!=2$ issues ordonnées de l'arbre du haut.
3 Vérification : $\binom{4}{2}=\dfrac{A_4^2}{2!}=\dfrac{12}{2}=6$ , ce qui correspond bien aux $6$ duos $\{A,B\},\{A,C\},\{A,D\},\{B,C\},\{B,D\},\{C,D\}$ affichés en bas.

Ce qu'il faut lire : En haut, l'arbre des

12

façons ordonnées de désigner un chef puis un secrétaire parmi les

4

élèves du problème du cours. En bas, les mêmes

4

élèves regroupés en

6

duos non ordonnés : chaque duo apparaît deux fois dans l'arbre du haut (une fois par ordre des rôles), d'où la division par

2!

Exemple du cours (problème : groupe de 4 élèves, tâche « chef et secrétaire ») :

A_4^2=4\times3=12

façons ordonnées, regroupées en

\binom{4}{2}=\frac{12}{2!}=6

duos non ordonnés.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre arrangements et combinaisons.

✅ La suggestion

Former un comité (ordre non important) → combinaisons. Classer des coureurs (ordre important) → arrangements.

💡 À retenir

Question clé : l'ordre compte-t-il ? Oui → arrangement ( $A_n^k$ ). Non → combinaison ( $\binom{n}{k}$ ).
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ : choisir $k$ éléments revient à exclure $n-k$ éléments.
Règle du produit (principe multiplicatif) : si une opération comporte $p$ étapes avec $n_1, n_2, \ldots, n_p$ choix, le total est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p$ .
Triangle de Pascal : $\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}$ . Chaque coefficient est la somme des deux au-dessus.

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