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Suites — compléments

Récurrence, limites, raisonnement par récurrence

Voici une affirmation : n2+n+41n^2 + n + 41 est un nombre premier pour tout entier nn.

Vérifie-la. Pour n=0n = 0 tu obtiens 4141, premier. Pour n=1n = 1, 4343, premier. Pour n=2n = 2, 4747. Pour n=3n = 3, 5353. Continue : 6161, 7171, 8383, 9797, 113113... tous premiers.

Tu peux vérifier jusqu'à n=39n = 39 : quarante cas de suite, tous premiers. À ce stade, qui douterait encore ?

Pourtant, pour n=40n = 40, l'expression vaut 402+40+41=1681=41×4140^2 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41. Elle n'est pas première. L'affirmation était fausse.

Voilà le problème que ce chapitre résout. Vérifier une propriété sur mille cas ne dit rien du cas suivant, et une infinité de cas ne se vérifient pas un par un — il n'y a pas assez de temps dans l'univers.

Il faut donc une méthode qui prouve une infinité d'affirmations en un nombre fini de lignes. Elle existe, et elle repose sur une idée qui ressemble à une file de dominos : si tu établis que le premier tombe, et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous — sans que tu aies à les regarder un par un.

C'est le raisonnement par récurrence, et il te faudra les deux moitiés. Tu verras plus loin ce qui arrive quand on en oublie une.

📖 Vocabulaire clé

Raisonnement par récurrence : Méthode de démonstration en deux étapes : initialisation (vérifier P(n0)P(n_0)) et hérédité (prouver que P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1)). Conclusion : la propriété est vraie pour tout n≥n0n \geq n_0.
Suite convergente : Suite (un)(u_n) telle que lim⁡n→+∞un=ℓ∈R\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}. Théorème fondamental : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
Point fixe : Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) avec ff continue, alors ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell). Résoudre cette équation donne les candidats à la limite.
Suite auxiliaire : Pour étudier un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b, on pose vn=un−ℓv_n = u_n - \ell (avec ℓ\ell point fixe). Alors (vn)(v_n) est géométrique de raison aa, ce qui permet de trouver unu_n explicitement.

📋 Raisonnement par récurrence

  1. 1 Initialisation : vérifier la propriété pour le rang de départ (souvent n=0n=0 ou n=1n=1).
  2. 2 Hérédité : supposer la propriété vraie au rang nn et montrer qu'elle est vraie au rang n+1n+1.
  3. 3 Conclusion : par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout nn.
  4. 4 Monotonie des suites : étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit la suite définie par u0=5u_0 = 5 et un+1=12un+3u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3. Déterminer la limite de (un)(u_n).
Démarche :
  1. On cherche le point fixe : ℓ=12ℓ+3⇒12ℓ=3⇒ℓ=6\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 3 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\ell = 3 \Rightarrow \ell = 6.
  2. On pose vn=un−6v_n = u_n - 6. Alors vn+1=un+1−6=12un+3−6=12(un−6)=12vnv_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n.
  3. (vn)(v_n) est géométrique de raison q=12q = \dfrac{1}{2} et de premier terme v0=5−6=−1v_0 = 5 - 6 = -1.
  4. vn=−1×(12)nv_n = -1 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n, donc un=6−(12)nu_n = 6 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.
  5. Comme ∣q∣=12<1|q| = \dfrac{1}{2} < 1 : vn→0v_n \to 0, donc un→6u_n \to 6.
Réponse : lim⁡n→+∞un=6\lim_{n \to +\infty} u_n = 6. La suite est croissante (car u0=5<6=ℓu_0 = 5 < 6 = \ell) et majorée par 66.

📐 Formules clés

Suite arithmétique : un=u0+nru_n = u_0 + nr
Suite géométrique : un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n
lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n\to+\infty} q^n = 0 si ∣q∣<1|q|<1
lim⁡n→+∞qn=+∞\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty si q>1q>1

🎨 Illustrations

Toile d'araignée
Visualiser la convergence de un+1=12un+3u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3 vers son point fixe

Reprise de l'exemple du cours : u0=5u_0=5. On trace la courbe de f(u)=12u+3f(u)=\frac{1}{2}u+3, la droite y=uy=u, puis le chemin en escalier qui relie chaque terme au suivant. Les marches rétrécissent à vue d'œil : c'est la convergence vers ℓ=6\ell=6.

Toile d'araignée de la suite u(n+1) = u(n)/2 + 3 Cadre allant de 4 a 7 en abscisse et en ordonnee. La droite y=x est en pointille, la courbe de f est une droite solide moins pentue. Un escalier part du point (5,5), rebondit entre la courbe et la droite y=x, et se resserre en spirale rectangulaire vers le point fixe (6,6). 4 5 6 7 4 5 6 7 uₙ uₙ₊₁ y = uₙ f(uₙ) = uₙ/2 + 3 u₀ = 5 ℓ = 6 trajectoire (uₙ)
  • 1 On part de u0=5u_0=5 sur la droite y=uy=u. On monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe de ff : ça donne u1=f(u0)u_1=f(u_0).
  • 2 On se déplace horizontalement jusqu'à la droite y=uy=u : le point obtenu a pour abscisse u1u_1, prêt pour l'itération suivante.
  • 3 Les marches de l'escalier rétrécissent à chaque itération : u2=5,75u_2=5{,}75, u3=5,875u_3=5{,}875, u4=5,9375…u_4=5{,}9375\ldots La suite se rapproche du point fixe ℓ=6\ell=6, intersection de y=uy=u et de la courbe de ff.
Ce qu'il faut lire : Le point fixe ℓ\ell est toujours l'intersection entre la droite y=uy=u et la courbe de ff. Ici $0
Toile d'araignée de un+1=12un+3u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3, u0=5u_0=5 : convergence monotone vers ℓ=6\ell=6.
Pourquoi deux étapes
La file de dominos, avec et sans le premier geste

Sur les deux rangées, les dominos sont identiques et également espacés : chacun est assez proche du suivant pour le renverser. C'est l'hérédité, et elle est vraie dans les deux cas. Ce qui change, c'est qu'en haut on a poussé le premier.

Deux rangees de dominos identiques, l'une renversee et l'autre intacte En haut, sept dominos identiques et regulierement espaces sont tous couches, inclines dans le meme sens : quelqu'un a pousse le premier et la chute s'est propagee jusqu'au bout. En bas, les sept memes dominos, au meme espacement, sont tous encore debout : personne n'a pousse le premier, et bien que chacun soit capable de renverser son voisin, aucun ne tombe. La capacite a se transmettre la chute ne suffit donc pas : il faut aussi un premier geste. avec initialisation on pousse le premier, ils tombent tous rang zéro rang six sans initialisation personne ne pousse, aucun ne tombe hérédité identique dans les deux rangées
  • 1 Les deux rangées ont exactement le même espacement : 5252 unités entre deux dominos larges de 1313. L'hérédité — « chaque domino peut renverser le suivant » — est donc vraie en haut comme en bas.
  • 2 En haut, quelqu'un a poussé le domino de rang zéro : c'est l'initialisation. La chute se propage de proche en proche, et les sept tombent.
  • 3 En bas, personne n'a poussé. Rien ne tombe, et rien ne tombera jamais — alors que la propriété de transmission est intacte. L'hérédité seule ne prouve rien.
Ce qu'il faut lire : Regarde la rangée du bas et demande-toi ce qui lui manque. Ce n'est pas la capacité à transmettre : elle est identique à celle du haut. C'est un point de départ. Une démonstration par récurrence où tu aurais parfaitement rédigé l'hérédité, mais oublié de vérifier le rang initial, est exactement cette rangée-là : impeccable et vide. Et l'inverse est vrai aussi — vérifier le rang zéro sans établir l'hérédité, c'est pousser un domino qui n'a aucun voisin.
Hérédité identique dans les deux rangées : seule l'initialisation décide si la propriété se propage.
Tout se joue sur la raison
Deux suites géométriques, deux destins

Ces deux suites partent du même premier terme u0=1u_0 = 1. La seule différence est la raison : 0,70{,}7 d'un côté, 1,351{,}35 de l'autre. Au rang 66, l'une vaut 0,1180{,}118 et l'autre 6,0536{,}053 — un rapport de plus de cinquante.

Deux suites geometriques tracees sur le meme repere Sur un meme repere, deux series de points marquent les sept premiers termes de deux suites geometriques partant toutes deux de un. La premiere, de raison zero virgule sept, descend rapidement vers l'axe horizontal et s'en approche de plus en plus : elle converge vers zero. La seconde, de raison un virgule trente-cinq, monte de plus en plus vite et s'eloigne du bas du repere : elle diverge vers l'infini. Le seul parametre qui change entre les deux est la raison. raison un virgule trente-cinq elle diverge raison zéro virgule sept elle converge vers zéro 1 2 4 6 0 3 6 rang de la suite
  • 1 En bâtons : un=0,7nu_n = 0{,}7^n, qui vaut 11 puis 0,70{,}7 ; 0,490{,}49 ; 0,3430{,}343 ; 0,2400{,}240 ; 0,1680{,}168 ; 0,1180{,}118. Comme ∣q∣<1|q| < 1, la suite converge vers 00 — et elle ne l'atteint jamais.
  • 2 En courbe : vn=1,35nv_n = 1{,}35^n, qui vaut 11 puis 1,351{,}35 ; 1,8231{,}823 ; 2,4602{,}460 ; 3,3223{,}322 ; 4,4844{,}484 ; 6,0536{,}053. Comme q>1q > 1, la suite diverge vers +∞+\infty.
  • 3 Le seuil est exactement ∣q∣=1|q| = 1, et il ne dépend pas du premier terme. Une suite de raison 0,990{,}99 finit par tendre vers 00 même en partant d'un milliard ; une suite de raison 1,011{,}01 finit par exploser même en partant d'un millionième.
Ce qu'il faut lire : Ne regarde pas les premiers rangs : ils ne prouvent rien. Au rang 22, les deux suites valent encore 0,490{,}49 et 1,821{,}82 — c'est peu de chose. C'est en poursuivant que l'écart se creuse, et il ne cesse plus de se creuser. Retiens donc la question à te poser devant toute suite géométrique : ∣q∣|q| est-il plus petit ou plus grand que 11 ? Cette seule comparaison décide de tout, et elle se fait de tête.
Les sept premiers termes de 0,7n0{,}7^n (convergente) et de 1,35n1{,}35^n (divergente), au même départ u0=1u_0 = 1.
Le point fixe ne dit pas tout
Deux façons d'arriver au même point fixe

Ces deux suites ont le même point fixe ℓ=6\ell = 6, et pourtant elles n'y vont pas du tout de la même manière. À gauche l'escalier monte régulièrement d'un seul côté ; à droite il tourne en spirale autour du point. Résoudre ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) ne permet pas de le deviner.

Convergence en escalier puis convergence en spirale vers le meme point fixe Deux carres a la meme echelle. Dans chacun, une diagonale montante represente la droite des points fixes et une autre droite represente la fonction. A gauche, la droite de la fonction monte doucement et le chemin de la suite forme un escalier regulier qui monte toujours du meme cote vers le point d'intersection. A droite, la droite de la fonction descend et le chemin de la suite tourne en rectangles de plus en plus petits autour du point d'intersection, en passant alternativement au-dessus puis au-dessous. Les deux points d'intersection sont a la meme place. pente positive escalier régulier la suite monte sans jamais redescendre pente négative spirale rectangulaire la suite passe dessus puis dessous
  • 1 À gauche : un+1=0,5 un+3u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3, de point fixe ℓ=31−0,5=6\ell = \dfrac{3}{1 - 0{,}5} = 6. Partie de u0=4u_0 = 4, la suite monte en marches de plus en plus courtes et reste toujours en dessous de 66 : elle est croissante et majorée.
  • 2 À droite : un+1=−0,8 un+10,8u_{n+1} = -0{,}8\,u_n + 10{,}8, de point fixe ℓ=10,81+0,8=6\ell = \dfrac{10{,}8}{1 + 0{,}8} = 6 — le même. Partie de u0=4,2u_0 = 4{,}2, elle passe alternativement au-dessus puis au-dessous de 66 : elle n'est ni croissante ni décroissante.
  • 3 Le signe de la pente décide de la forme. Une pente positive donne un escalier monotone ; une pente négative donne une spirale. Et dans les deux cas, la convergence n'est assurée que parce que ∣a∣<1|a| < 1.
Ce qu'il faut lire : Voilà pourquoi résoudre ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) ne suffit jamais. Cette équation te donne un candidat — ici 66 dans les deux cas — mais elle ne te dit ni si la suite converge, ni comment. La spirale de droite, par exemple, interdit tout raisonnement du type « la suite est croissante donc elle monte vers 66 » : elle n'est pas croissante du tout. La convergence se démontre à part, par la monotonie et le bornage, ou en passant par la suite auxiliaire vn=un−ℓv_n = u_n - \ell, qui est géométrique de raison la pente.
Deux suites de même point fixe ℓ=6\ell = 6 : escalier monotone pour une pente de 0,50{,}5, spirale pour une pente de −0,8-0{,}8.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'hérédité suppose la propriété au rang nn (hypothèse de récurrence) : elle ne se démontre pas, elle s'utilise !

Ne pas confondre "supposer" et "montrer".

✅ La suggestion

L'objectif de l'hérédité est de prouver P(n+1)P(n+1) en utilisant P(n)P(n) comme hypothèse.

💡 À retenir

  • Récurrence = initialisation + hérédité. Les deux étapes sont indispensables.
  • Suite croissante et majorée → converge. Suite décroissante et minorée → converge. Théorème de la limite monotone.
  • Si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) converge vers ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) (point fixe). Utiliser la suite auxiliaire vn=un−ℓv_n = u_n - \ell pour obtenir une suite géométrique.
  • ∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0, q>1⇒qn→+∞q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty, q=1⇒qn=1q = 1 \Rightarrow q^n = 1, q≤−1⇒(qn)q \leq -1 \Rightarrow (q^n) diverge.
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