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Suites — compléments

Récurrence, limites, raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une "échelle infinie" : si le premier barreau tient (initialisation au rang n0n_0) ET si chaque barreau tient le suivant (hérédité : rang nn → rang n+1n+1), alors toute l'échelle est solide.

Les deux étapes sont indispensables : l'hérédité seule ne suffit pas (on ne monterait pas l'échelle si le premier barreau est absent).

Dans l'hérédité, on SUPPOSE la propriété vraie au rang nn — c'est l'hypothèse de récurrence, on ne la démontre pas, on l'utilise.

Pour les suites définies par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), si la suite converge vers ℓ\ell, alors ℓ\ell est un point fixe : ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).

Attention : résoudre ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) donne les candidats, mais la convergence doit être prouvée séparément (monotonie + bornage).

📖 Vocabulaire clé

Raisonnement par récurrence : Méthode de démonstration en deux étapes : initialisation (vérifier P(n0)P(n_0)) et hérédité (prouver que P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1)). Conclusion : la propriété est vraie pour tout n≥n0n \geq n_0.
Suite convergente : Suite (un)(u_n) telle que lim⁡n→+∞un=ℓ∈R\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}. Théorème fondamental : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
Point fixe : Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) avec ff continue, alors ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell). Résoudre cette équation donne les candidats à la limite.
Suite auxiliaire : Pour étudier un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b, on pose vn=un−ℓv_n = u_n - \ell (avec ℓ\ell point fixe). Alors (vn)(v_n) est géométrique de raison aa, ce qui permet de trouver unu_n explicitement.

📋 Raisonnement par récurrence

  1. 1 Initialisation : vérifier la propriété pour le rang de départ (souvent n=0n=0 ou n=1n=1).
  2. 2 Hérédité : supposer la propriété vraie au rang nn et montrer qu'elle est vraie au rang n+1n+1.
  3. 3 Conclusion : par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout nn.
  4. 4 Monotonie des suites : étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit la suite définie par u0=5u_0 = 5 et un+1=12un+3u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3. Déterminer la limite de (un)(u_n).
Démarche :
  1. On cherche le point fixe : ℓ=12ℓ+3⇒12ℓ=3⇒ℓ=6\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 3 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\ell = 3 \Rightarrow \ell = 6.
  2. On pose vn=un−6v_n = u_n - 6. Alors vn+1=un+1−6=12un+3−6=12(un−6)=12vnv_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n.
  3. (vn)(v_n) est géométrique de raison q=12q = \dfrac{1}{2} et de premier terme v0=5−6=−1v_0 = 5 - 6 = -1.
  4. vn=−1×(12)nv_n = -1 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n, donc un=6−(12)nu_n = 6 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.
  5. Comme ∣q∣=12<1|q| = \dfrac{1}{2} < 1 : vn→0v_n \to 0, donc un→6u_n \to 6.
Réponse : lim⁡n→+∞un=6\lim_{n \to +\infty} u_n = 6. La suite est croissante (car u0=5<6=ℓu_0 = 5 < 6 = \ell) et majorée par 66.

📐 Formules clés

Suite arithmétique : un=u0+nru_n = u_0 + nr
Suite géométrique : un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n
lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n\to+\infty} q^n = 0 si ∣q∣<1|q|<1
lim⁡n→+∞qn=+∞\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty si q>1q>1

🎨 Illustration

Toile d'araignée
Visualiser la convergence de un+1=12un+3u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3 vers son point fixe

Reprise de l'exemple du cours : u0=5u_0=5. On trace la courbe de f(u)=12u+3f(u)=\frac{1}{2}u+3, la droite y=uy=u, puis le chemin en escalier qui relie chaque terme au suivant. Les marches rétrécissent à vue d'œil : c'est la convergence vers ℓ=6\ell=6.

Toile d'araignée de la suite u(n+1) = u(n)/2 + 3 Cadre allant de 4 a 7 en abscisse et en ordonnee. La droite y=x est en pointille, la courbe de f est une droite solide moins pentue. Un escalier part du point (5,5), rebondit entre la courbe et la droite y=x, et se resserre en spirale rectangulaire vers le point fixe (6,6). 4 5 6 7 4 5 6 7 uₙ uₙ₊₁ y = uₙ f(uₙ) = uₙ/2 + 3 u₀ = 5 ℓ = 6 trajectoire (uₙ)
  • 1 On part de u0=5u_0=5 sur la droite y=uy=u. On monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe de ff : ça donne u1=f(u0)u_1=f(u_0).
  • 2 On se déplace horizontalement jusqu'à la droite y=uy=u : le point obtenu a pour abscisse u1u_1, prêt pour l'itération suivante.
  • 3 Les marches de l'escalier rétrécissent à chaque itération : u2=5,75u_2=5{,}75, u3=5,875u_3=5{,}875, u4=5,9375…u_4=5{,}9375\ldots La suite se rapproche du point fixe ℓ=6\ell=6, intersection de y=uy=u et de la courbe de ff.
Ce qu'il faut lire : Le point fixe ℓ\ell est toujours l'intersection entre la droite y=uy=u et la courbe de ff. Ici $0
Toile d'araignée de un+1=12un+3u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3, u0=5u_0=5 : convergence monotone vers ℓ=6\ell=6.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'hérédité suppose la propriété au rang nn (hypothèse de récurrence) : elle ne se démontre pas, elle s'utilise !

Ne pas confondre "supposer" et "montrer".

✅ La suggestion

L'objectif de l'hérédité est de prouver P(n+1)P(n+1) en utilisant P(n)P(n) comme hypothèse.

💡 À retenir

  • Récurrence = initialisation + hérédité. Les deux étapes sont indispensables.
  • Suite croissante et majorée → converge. Suite décroissante et minorée → converge. Théorème de la limite monotone.
  • Si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) converge vers ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) (point fixe). Utiliser la suite auxiliaire vn=un−ℓv_n = u_n - \ell pour obtenir une suite géométrique.
  • ∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0, q>1⇒qn→+∞q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty, q=1⇒qn=1q = 1 \Rightarrow q^n = 1, q≤−1⇒(qn)q \leq -1 \Rightarrow (q^n) diverge.
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