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Convexité

Dérivée seconde, point d'inflexion

La convexité traduit la courbure de la courbe : une fonction convexe a ses tangentes EN-DESSOUS de la courbe (comme x2x^2, un bol), une fonction concave a ses tangentes AU-DESSUS (comme −x2-x^2, un dôme).

La dérivée seconde f′′f'' mesure cette courbure : f′′>0f'' > 0 = convexe, f′′<0f'' < 0 = concave.

Un point d'inflexion est là où la courbure change de sens, c'est-à-dire là où f′′f'' change de signe.

Attention : f′′(a)=0f''(a) = 0 est NÉCESSAIRE mais PAS SUFFISANT pour un point d'inflexion. Contre-exemple classique : f(x)=x4f(x) = x^4 vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0, mais f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 partout — pas de changement de signe, donc x=0x=0 n'est PAS un point d'inflexion.

📖 Vocabulaire clé

Fonction convexe : ff est convexe sur II si sa courbe est "en forme de bol" : toute corde reliant deux points de la courbe est AU-DESSUS de la courbe. Caractérisation : f′′≥0f'' \geq 0 sur II.
Fonction concave : ff est concave sur II si sa courbe est "en forme de dôme" : toute corde reliant deux points de la courbe est EN-DESSOUS de la courbe. Caractérisation : f′′≤0f'' \leq 0 sur II.
Point d'inflexion : Point de la courbe où la convexité change de sens (de convexe à concave ou l'inverse). En ce point, f′′(a)=0f''(a) = 0 ET f′′f'' change de signe. La tangente au point d'inflexion traverse la courbe.
Dérivée seconde f′′f'' : Dérivée de la dérivée : f′′=(f′)′f'' = (f')' . Elle mesure le taux de variation de la pente. f′′>0f'' > 0 : la pente augmente (convexe). f′′<0f'' < 0 : la pente diminue (concave).

📋 Étudier la convexité via f′′f''

  1. 1 Dérivée seconde : calculer f′′(x)f''(x) (dérivée de la dérivée).
  2. 2 Convexité : f′′(x)>0f''(x) > 0 sur II ⇒\Rightarrow ff convexe sur II.
  3. 3 Concavité : f′′(x)<0f''(x) < 0 sur II ⇒\Rightarrow ff concave sur II.
  4. 4 Point d'inflexion : point où f′′f'' change de signe (et f′′(x)=0f''(x)=0).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Étudier la convexité de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 et trouver le(s) point(s) d'inflexion.
Démarche :
  1. f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
  2. f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1).
  3. f′′(x)=0⇔x=1f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1.
  4. Pour x<1x < 1 : f′′(x)<0f''(x) < 0 → ff est concave. Pour x>1x > 1 : f′′(x)>0f''(x) > 0 → ff est convexe.
  5. f′′f'' change de signe en x=1x = 1 : c'est un point d'inflexion. f(1)=1−3+2=0f(1) = 1 - 3 + 2 = 0.
Réponse : Point d'inflexion en (1;0)(1;0). ff est concave sur ]−∞;1]]-\infty;1] et convexe sur [1;+∞[[1;+\infty[.

📐 Formules clés

ff convexe ⇔f′′≥0\Leftrightarrow f''\ge 0
ff concave ⇔f′′≤0\Leftrightarrow f''\le 0
Point d'inflexion : f′′(a)=0f''(a)=0 et changement de signe de f′′f''

🎨 Illustration

Point d'inflexion
Convexité de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 (exemple du cours)

La courbe est concave sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] (zone teintée à gauche, f′′<0f''<0) puis convexe sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ (zone teintée à droite, f′′>0f''>0). La courbure change exactement au point d'inflexion (1 ; 0)(1\,;\,0), où la tangente pointillée traverse la courbe.

Convexite et concavite de f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 Courbe cubique avec une zone concave teintee a gauche du point d'inflexion et une zone convexe teintee a droite. Le point d'inflexion est marque en (1;0) et la tangente pointillee en ce point traverse la courbe. f(x) = x³ − 3x² + 2 Concave (f'' < 0) Convexe (f'' > 0) Inflexion (1 ; 0) tangente -1 0 1 2 3 -2 -1 1 2 x y
  • 1 Zone teintée à gauche : sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1], f′′(x)<0f''(x) < 0 donc ff est concave — les tangentes sont AU-DESSUS de la courbe.
  • 2 Zone teintée à droite : sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[, f′′(x)>0f''(x) > 0 donc ff est convexe — les tangentes sont EN-DESSOUS de la courbe.
  • 3 Au point d'inflexion (1 ; 0)(1\,;\,0) (marqué en évidé), la tangente pointillée traverse la courbe : c'est la signature visuelle d'un changement de convexité.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord la couleur des deux zones : la courbure change de sens exactement à la frontière entre elles, au point d'inflexion (1 ; 0)(1\,;\,0).
Courbe de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 avec zones de concavité/convexité distinguées et point d'inflexion en (1 ; 0)(1\,;\,0).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Un zéro de f′′f'' n'est pas forcément un point d'inflexion : il faut vérifier le changement de signe.

Par exemple, f(x)=x4f(x)=x^4 a f′′(0)=0f''(0)=0 mais f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 ne change pas de signe en 00.

💡 À retenir

  • f′′>0f'' > 0 → convexe (bol / tangentes en-dessous). f′′<0f'' < 0 → concave (dôme / tangentes au-dessus).
  • Point d'inflexion = f′′f'' change de signe. La condition f′′(a)=0f''(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisante.
  • Contre-exemple essentiel : f(x)=x4f(x) = x^4 vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0 mais f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 partout → pas de point d'inflexion en 00.
  • Inégalité de convexité : si ff est convexe, alors f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{f(a)+f(b)}{2} (la courbe est sous la corde).
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