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Convexité

Dérivée seconde, point d'inflexion

Voici deux courbes qui montent toutes les deux. Pourtant l'une est une bonne nouvelle et l'autre une catastrophe.

Imagine le nombre total de personnes contaminées au cours d'une épidémie. Dans les deux cas il augmente — la dérivée est positive, et tu sais déjà le dire. Mais dans le premier cas, chaque semaine apporte plus de nouveaux cas que la précédente : la montée s'emballe. Dans le second, chaque semaine en apporte moins : la montée s'essouffle, et l'épidémie est en train de se terminer.

Essaie de distinguer ces deux situations avec les outils que tu as. La dérivée f′f' est positive dans les deux cas : elle ne les sépare pas. Le sens de variation non plus : les deux fonctions sont croissantes.

Ce qui les sépare, ce n'est pas la valeur de la pente, c'est ce que fait la pente. Dans le premier cas elle augmente, dans le second elle diminue.

Et une pente, c'est une dérivée. Pour savoir si elle augmente ou diminue, il suffit donc de la dériver à son tour : c'est la dérivée seconde f′′f''.

Tout le chapitre tient dans cette idée. Le jour où la montée cesse de s'emballer pour commencer à s'essouffler porte même un nom — le point d'inflexion — et c'est le premier signe qu'une épidémie a passé son pic, bien avant que les chiffres ne baissent.

📖 Vocabulaire clé

Fonction convexe : ff est convexe sur II si sa courbe est "en forme de bol" : toute corde reliant deux points de la courbe est AU-DESSUS de la courbe. Caractérisation : f′′≥0f'' \geq 0 sur II.
Fonction concave : ff est concave sur II si sa courbe est "en forme de dôme" : toute corde reliant deux points de la courbe est EN-DESSOUS de la courbe. Caractérisation : f′′≤0f'' \leq 0 sur II.
Point d'inflexion : Point de la courbe où la convexité change de sens (de convexe à concave ou l'inverse). En ce point, f′′(a)=0f''(a) = 0 ET f′′f'' change de signe. La tangente au point d'inflexion traverse la courbe.
Dérivée seconde f′′f'' : Dérivée de la dérivée : f′′=(f′)′f'' = (f')' . Elle mesure le taux de variation de la pente. f′′>0f'' > 0 : la pente augmente (convexe). f′′<0f'' < 0 : la pente diminue (concave).

📋 Étudier la convexité via f′′f''

  1. 1 Dérivée seconde : calculer f′′(x)f''(x) (dérivée de la dérivée).
  2. 2 Convexité : f′′(x)>0f''(x) > 0 sur II ⇒\Rightarrow ff convexe sur II.
  3. 3 Concavité : f′′(x)<0f''(x) < 0 sur II ⇒\Rightarrow ff concave sur II.
  4. 4 Point d'inflexion : point où f′′f'' change de signe (et f′′(x)=0f''(x)=0).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Étudier la convexité de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 et trouver le(s) point(s) d'inflexion.
Démarche :
  1. f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
  2. f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1).
  3. f′′(x)=0⇔x=1f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1.
  4. Pour x<1x < 1 : f′′(x)<0f''(x) < 0 → ff est concave. Pour x>1x > 1 : f′′(x)>0f''(x) > 0 → ff est convexe.
  5. f′′f'' change de signe en x=1x = 1 : c'est un point d'inflexion. f(1)=1−3+2=0f(1) = 1 - 3 + 2 = 0.
Réponse : Point d'inflexion en (1;0)(1;0). ff est concave sur ]−∞;1]]-\infty;1] et convexe sur [1;+∞[[1;+\infty[.

📐 Formules clés

ff convexe ⇔f′′≥0\Leftrightarrow f''\ge 0
ff concave ⇔f′′≤0\Leftrightarrow f''\le 0
Point d'inflexion : f′′(a)=0f''(a)=0 et changement de signe de f′′f''

🎨 Illustrations

Point d'inflexion
Convexité de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 (exemple du cours)

La courbe est concave sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] (zone teintée à gauche, f′′<0f''<0) puis convexe sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ (zone teintée à droite, f′′>0f''>0). La courbure change exactement au point d'inflexion (1 ; 0)(1\,;\,0), où la tangente pointillée traverse la courbe.

Convexite et concavite de f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 Courbe cubique avec une zone concave teintee a gauche du point d'inflexion et une zone convexe teintee a droite. Le point d'inflexion est marque en (1;0) et la tangente pointillee en ce point traverse la courbe. f(x) = x³ − 3x² + 2 Concave (f'' < 0) Convexe (f'' > 0) Inflexion (1 ; 0) tangente -1 0 1 2 3 -2 -1 1 2 x y
  • 1 Zone teintée à gauche : sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1], f′′(x)<0f''(x) < 0 donc ff est concave — les tangentes sont AU-DESSUS de la courbe.
  • 2 Zone teintée à droite : sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[, f′′(x)>0f''(x) > 0 donc ff est convexe — les tangentes sont EN-DESSOUS de la courbe.
  • 3 Au point d'inflexion (1 ; 0)(1\,;\,0) (marqué en évidé), la tangente pointillée traverse la courbe : c'est la signature visuelle d'un changement de convexité.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord la couleur des deux zones : la courbure change de sens exactement à la frontière entre elles, au point d'inflexion (1 ; 0)(1\,;\,0).
Courbe de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 avec zones de concavité/convexité distinguées et point d'inflexion en (1 ; 0)(1\,;\,0).
Ne pas confondre
Une tangente qui traverse, une tangente qui rebondit

Sur les deux courbes, la tangente au point marqué est horizontale. Pourtant à gauche elle traverse la courbe, à droite elle la touche et repart du même côté. C'est exactement ce qui sépare un point d'inflexion d'un extremum.

Tangente horizontale qui traverse la courbe, puis tangente horizontale qui ne la traverse pas Deux vignettes a la meme echelle. A gauche, la courbe du cube monte, s'aplatit en passant par l'origine, puis repart en montant : la tangente horizontale tracee en ce point passe au-dessus de la courbe a gauche et en dessous a droite, donc elle traverse. A droite, la courbe du carre descend, touche l'origine, puis remonte : la tangente horizontale tracee en ce point reste sous la courbe des deux cotes, elle ne traverse jamais. Le premier point est un point d'inflexion, le second un minimum. courbe du cube point inflexion la tangente traverse courbe du carré minimum la tangente rebondit
  • 1 À gauche, g(x)=x3g(x) = x^3 : la dérivée seconde g′′(x)=6xg''(x) = 6x vaut −3-3 en x=−0,5x = -0{,}5 et +3+3 en x=0,5x = 0{,}5. Elle change de signe, donc 00 est un point d'inflexion.
  • 2 À droite, h(x)=x2h(x) = x^2 : la dérivée seconde h′′(x)=2h''(x) = 2 est positive partout. Elle ne change jamais de signe, donc 00 n'est pas un point d'inflexion — c'est un minimum.
  • 3 Les deux tangentes sont horizontales, mais cela ne dit rien : c'est la traversée qui distingue les deux points. À gauche la courbe passe d'un côté à l'autre de la tangente, à droite elle reste du même côté.
Ce qu'il faut lire : Pose ton crayon le long de la tangente, puis suis la courbe de gauche à droite. Sur la vignette de gauche, tu passes en dessous du crayon, puis au-dessus : la courbe a changé de côté, c'est une inflexion. Sur celle de droite, tu restes toujours au-dessus : la courbe touche et repart, c'est un extremum. Retiens ce geste — il te dispense de tout calcul pour trancher entre les deux.
Tangente horizontale en 00 pour x3x^3 (elle traverse : inflexion) et pour x2x^2 (elle ne traverse pas : minimum).
Le contre-exemple à connaître
Quand la dérivée seconde touche zéro sans changer de signe

La fonction k(x)=x4k(x) = x^4 vérifie bien k′′(0)=0k''(0) = 0. Et pourtant 00 n'est pas un point d'inflexion. La figure met les deux courbes l'une sous l'autre : en haut kk, en bas sa dérivée seconde k′′(x)=12x2k''(x) = 12x^2, qui touche l'axe en 00 sans jamais passer en dessous.

La fonction puissance quatre et sa derivee seconde, l'une sous l'autre Deux reperes empiles partagent les memes abscisses. Dans le repere du haut, la courbe de la fonction puissance quatre descend, s'aplatit longuement autour de zero, puis remonte symetriquement. Dans le repere du bas, la courbe de sa derivee seconde est une parabole qui descend jusqu'a toucher l'axe horizontal exactement en zero, puis remonte aussitot : elle ne devient jamais negative. Comme la derivee seconde ne change pas de signe, le point zero n'est pas un point d'inflexion mais un minimum. courbe de k minimum en zéro courbe de k seconde elle touche zéro sans le traverser toujours positive
  • 1 En haut : k(x)=x4k(x) = x^4. La courbe s'aplatit longuement autour de 00, ce qui fait croire à une inflexion — mais elle reste au-dessus de sa tangente des deux côtés.
  • 2 En bas : k′′(x)=12x2k''(x) = 12x^2. Elle vaut 5,885{,}88 en x=−0,7x = -0{,}7, 00 en x=0x = 0, et de nouveau 5,885{,}88 en x=0,7x = 0{,}7. Elle touche l'axe, elle ne le traverse pas.
  • 3 Conclusion : k′′(a)=0k''(a) = 0 est une condition nécessaire, jamais suffisante. Ce qu'il faut vérifier, c'est le changement de signe.
Ce qu'il faut lire : Regarde le repère du bas et suis la courbe du doigt de gauche à droite : elle descend, elle effleure l'axe, elle remonte. À aucun moment elle ne passe en dessous. Or un point d'inflexion exige que la dérivée seconde soit négative d'un côté et positive de l'autre. Ici ce n'est jamais le cas, donc il n'y a pas de point d'inflexion — même si l'équation k′′(x)=0k''(x) = 0 a bien une solution.
La fonction k(x)=x4k(x) = x^4 et sa dérivée seconde k′′(x)=12x2k''(x) = 12x^2 : un zéro sans changement de signe, donc pas de point d'inflexion.
Comment le lire
La convexité se lit sur la position des tangentes

Comment savoir si une courbe est convexe ou concave quand on n'a que le dessin ? On trace deux tangentes et on regarde de quel côté elles tombent. Sous la courbe partout : convexe. Au-dessus partout : concave.

Tangentes sous une courbe convexe, tangentes au-dessus d'une courbe concave Deux vignettes a la meme echelle. A gauche une courbe en forme de bol, avec deux tangentes tracees en des points differents : chacune passe sous la courbe sur toute sa longueur. A droite une courbe en forme de dome, avec deux tangentes tracees de la meme facon : chacune passe au-dessus de la courbe sur toute sa longueur. La position des tangentes suffit donc a reconnaitre la convexite sans aucun calcul. convexe tangentes sous la courbe f seconde positive concave tangentes au-dessus f seconde négative
  • 1 À gauche, f(x)=x22+0,4f(x) = \dfrac{x^2}{2} + 0{,}4 avec f′′(x)=1>0f''(x) = 1 > 0 : les deux tangentes, tracées en x=−1,3x = -1{,}3 et x=1,3x = 1{,}3, restent sous la courbe partout.
  • 2 À droite, g(x)=−x22+4,4g(x) = -\dfrac{x^2}{2} + 4{,}4 avec g′′(x)=−1<0g''(x) = -1 < 0 : les deux tangentes restent au-dessus de la courbe partout.
  • 3 Ce n'est pas une coïncidence de dessin, c'est une caractérisation : une fonction est convexe exactement quand sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Ce qu'il faut lire : Tu n'as pas toujours l'expression de la fonction : parfois tu n'as qu'une courbe lue sur un écran ou dans un énoncé. Dans ce cas, trace mentalement une tangente en deux points quelconques et demande-toi de quel côté elle tombe. Si elle passe toujours sous la courbe, la fonction est convexe ; si elle passe toujours au-dessus, elle est concave. Et si elle change de côté quelque part, tu viens de trouver un point d'inflexion.
Position des tangentes : sous la courbe pour une fonction convexe, au-dessus pour une fonction concave.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Un zéro de f′′f'' n'est pas forcément un point d'inflexion : il faut vérifier le changement de signe.

Par exemple, f(x)=x4f(x)=x^4 a f′′(0)=0f''(0)=0 mais f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 ne change pas de signe en 00.

💡 À retenir

  • f′′>0f'' > 0 → convexe (bol / tangentes en-dessous). f′′<0f'' < 0 → concave (dôme / tangentes au-dessus).
  • Point d'inflexion = f′′f'' change de signe. La condition f′′(a)=0f''(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisante.
  • Contre-exemple essentiel : f(x)=x4f(x) = x^4 vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0 mais f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 partout → pas de point d'inflexion en 00.
  • Inégalité de convexité : si ff est convexe, alors f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{f(a)+f(b)}{2} (la courbe est sous la corde).
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