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Fonction logarithme népérien

Propriétés, dérivée, étude de fonctions

🔬 Application physique-chimie : Échelle des décibels en acoustique, pH en chimie, magnitude sismique (échelle de Richter)
L'échelle des décibels (son), le pH (acidité) et la magnitude de Richter (séismes) ont un point commun : ce sont des échelles logarithmiques, où chaque graduation correspond à un facteur multiplicatif (×10\times 10, ×100\times 100...) et non à un simple ajout. Comprendre ces échelles demande de connaître la fonction logarithme népérien.

Le logarithme ln⁡\ln est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x et eln⁡x=xe^{\ln x} = x pour x>0x > 0.

Intuitivement, ln⁡(x)\ln(x) est l'exposant qu'il faut donner à ee pour obtenir xx. Sa dérivée 1/x1/x en fait un outil clé en physique (résolution des équations différentielles, calcul de temps de demi-vie).

Les règles algébriques s'appliquent aux PRODUITS et QUOTIENTS : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b — mais PAS aux sommes ! ln⁡(a+b)≠ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b est l'erreur la plus fréquente.

Les croissances comparées montrent que ln⁡x\ln x tend vers +∞+\infty mais infiniment plus lentement que xx : lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} = 0.

📖 Vocabulaire clé

Logarithme népérien ln⁡\ln : Fonction réciproque de exp⁡\exp, définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[. ln⁡(1)=0\ln(1) = 0, ln⁡(e)=1\ln(e) = 1. C'est la seule primitive de 1x\dfrac{1}{x} s'annulant en 11.
Croissances comparées : En +∞+\infty : lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0 pour tout α>0\alpha > 0. Le logarithme croît infiniment plus lentement que toute puissance positive.
Équation ln⁡(x)=k\ln(x) = k : Cette équation a une unique solution x=ekx = e^k pour tout k∈Rk \in \mathbb{R}. Plus généralement, ln⁡(f(x))=k⇔f(x)=ek\ln(f(x)) = k \Leftrightarrow f(x) = e^k (avec f(x)>0f(x) > 0).
Dérivée logarithmique : (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u} pour u>0u > 0. Technique utile pour dériver des produits complexes en prenant le logarithme des deux côtés.

📋 Utiliser les propriétés de ln

  1. 1 Somme de ln : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b pour a,b>0a,b>0.
  2. 2 Différence de ln : ln⁡(ab)=ln⁡a−ln⁡b\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b.
  3. 3 Puissance et ln : ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a.
  4. 4 Dérivée de ln : (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\frac{1}{x} ; généralement (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\frac{u'}{u}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'équation ln⁡(2x−1)+ln⁡(x)=ln⁡(3)\ln(2x - 1) + \ln(x) = \ln(3) dans R\mathbb{R}.
Démarche :
  1. Conditions d'existence : 2x−1>02x - 1 > 0 et x>0x > 0, donc x>12x > \dfrac{1}{2}.
  2. On utilise ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a + \ln b = \ln(ab) : ln⁡(x(2x−1))=ln⁡(3)\ln(x(2x-1)) = \ln(3).
  3. Par injectivité de ln⁡\ln : x(2x−1)=3x(2x-1) = 3, soit 2x2−x−3=02x^2 - x - 3 = 0.
  4. Discriminant : Δ=1+24=25\Delta = 1 + 24 = 25, donc x=1±54x = \dfrac{1 \pm 5}{4}.
  5. x1=64=32=1,5x_1 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 ou x2=−44=−1x_2 = \dfrac{-4}{4} = -1 (rejeté car x>0,5x > 0{,}5).
Réponse : S={32}S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}. Vérification : ln⁡(2)+ln⁡(1,5)=ln⁡(3)\ln(2) + \ln(1{,}5) = \ln(3) ✓ car 2×1,5=32 \times 1{,}5 = 3.

📐 Formules clés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b
ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b)=\ln a-\ln b
(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 (croissances comparées)

🎨 Illustration

Croissances comparées
ln⁡(x)\ln(x) contre x\sqrt{x} : qui domine à l'infini ?

Les deux courbes sont calculées point par point de x=0,2x=0{,}2 à x=25x=25. Le logarithme reste toujours en dessous de la racine carrée, et l'écart entre les deux se creuse continuellement — la traduction graphique de lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0.

Comparaison des courbes de ln(x) et racine de x Deux courbes tracees de x=0,2 a x=25 sur le meme repere. La courbe pleine est ln(x), qui vaut 0 en x=1 et atteint environ 3,22 en x=25. La courbe pointillee est racine de x, qui vaut 1 en x=1 et 5 en x=25. La courbe pointillee reste toujours au-dessus de la courbe pleine et l'ecart entre les deux augmente a mesure que x grandit. ln(x) √x x y 1 5 10 15 20 25 -1 0 1 2 3 4 5 écart croissant ln(25)≈3,22 √25=5
  • 1 En x=1x=1 : ln⁡(1)=0\ln(1)=0 tandis que 1=1\sqrt{1}=1 — la racine carrée est déjà au-dessus.
  • 2 En x=4x=4 : ln⁡(4)≈1,39\ln(4)\approx1{,}39 contre 4=2\sqrt{4}=2 — l'écart reste modeste.
  • 3 En x=25x=25 : ln⁡(25)≈3,22\ln(25)\approx3{,}22 contre 25=5\sqrt{25}=5 — l'écart a presque doublé, alors que xx a été multiplié par 6,256{,}25.
Ce qu'il faut lire : Suis les deux courbes de gauche à droite : la courbe pointillée (x\sqrt{x}) s'échappe vers le haut, tandis que la courbe pleine (ln⁡x\ln x) progresse à peine — c'est la traduction graphique de la croissance comparée lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0.
Comparaison des courbes de ln⁡(x)\ln(x) et x\sqrt{x} sur [0,2 ; 25][0{,}2\,;\,25], points calculés analytiquement.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ln⁡(a+b)≠ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b) \ne \ln a + \ln b : la formule s'applique au produit, pas à la somme !

Contre-exemple : ln⁡(1+1)=ln⁡2≈0,693\ln(1+1) = \ln 2 \approx 0{,}693 mais ln⁡1+ln⁡1=0+0=0\ln 1 + \ln 1 = 0 + 0 = 0.

💡 À retenir

  • ln⁡\ln est la réciproque de exp⁡\exp : ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x et eln⁡x=xe^{\ln x} = x (pour x>0x > 0). ln⁡(1)=0\ln(1) = 0, ln⁡(e)=1\ln(e) = 1.
  • Règles algébriques : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b, ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b) = \ln a - \ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a. JAMAIS pour la somme : ln⁡(a+b)≠ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b.
  • Croissances comparées : ln⁡x\ln x croît plus lentement que toute puissance xαx^\alpha (α>0\alpha > 0). Utile pour les limites de la forme xnln⁡xx^n \ln x.
  • Pour résoudre ln⁡(f(x))=k\ln(f(x)) = k : vérifier les conditions d'existence (f(x)>0f(x) > 0), puis f(x)=ekf(x) = e^k.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Échelle des décibels en acoustique, pH en chimie, magnitude sismique (échelle de Richter)

Mots-clés associés : LogarithmelnPropriétésDérivéeCroissances comparées
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