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Fonction logarithme népérien

Propriétés, dérivée, étude de fonctions

🔬 Application physique-chimie : Échelle des décibels en acoustique, pH en chimie, magnitude sismique (échelle de Richter)
Un séisme de magnitude 33 ne se sent presque pas. Un séisme de magnitude 99 rase une région entière. Entre les deux, l'énergie libérée est multipliée par environ un milliard.

Voilà l'énigme : comment une graduation qui va simplement de 11 à 99 peut-elle décrire des phénomènes dont les énergies s'étalent sur neuf ordres de grandeur ?

Le même tour de force se retrouve ailleurs. Le pH va de 00 à 1414, alors que les concentrations en ions qu'il mesure vont de 11 à 0,000000000000010{,}00000000000001 mol/L. Les décibels vont de 00 à 130130, alors que les intensités sonores correspondantes varient d'un facteur 10 000 000 000 00010\,000\,000\,000\,000.

Ces trois échelles font toutes la même chose : elles transforment une multiplication en addition. Sur l'échelle de Richter, passer de 33 à 44, c'est ajouter 11 à la magnitude — mais multiplier l'énergie par environ 3232. Ajouter encore 11, c'est multiplier encore par 3232. Deux pas d'échelle, un facteur mille.

Une fonction qui change les produits en sommes, c'est une propriété très particulière, et très rare. Essaie de l'obtenir avec ce que tu connais : ab\sqrt{ab} ne donne pas a+b\sqrt{a} + \sqrt{b}, (ab)2(ab)^2 ne donne pas a2+b2a^2 + b^2. Aucune fonction usuelle ne fait ça.

Il en existe pourtant une, et c'est le logarithme. Sa propriété fondatrice tient en une ligne — ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b — et c'est elle qui rend possibles les trois échelles ci-dessus.

Attention toutefois : elle vaut pour les produits, et seulement pour eux. Ce chapitre va te montrer d'où elle vient, ce qu'elle permet de calculer, et pourquoi ln⁡(a+b)\ln(a + b), lui, ne se simplifie jamais.

📖 Vocabulaire clé

Logarithme népérien ln⁡\ln : Fonction réciproque de exp⁡\exp, définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[. ln⁡(1)=0\ln(1) = 0, ln⁡(e)=1\ln(e) = 1. C'est la seule primitive de 1x\dfrac{1}{x} s'annulant en 11.
Croissances comparées : En +∞+\infty : lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0 pour tout α>0\alpha > 0. Le logarithme croît infiniment plus lentement que toute puissance positive.
Équation ln⁡(x)=k\ln(x) = k : Cette équation a une unique solution x=ekx = e^k pour tout k∈Rk \in \mathbb{R}. Plus généralement, ln⁡(f(x))=k⇔f(x)=ek\ln(f(x)) = k \Leftrightarrow f(x) = e^k (avec f(x)>0f(x) > 0).
Dérivée logarithmique : (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u} pour u>0u > 0. Technique utile pour dériver des produits complexes en prenant le logarithme des deux côtés.

📋 Utiliser les propriétés de ln

  1. 1 Somme de ln : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b pour a,b>0a,b>0.
  2. 2 Différence de ln : ln⁡(ab)=ln⁡a−ln⁡b\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b.
  3. 3 Puissance et ln : ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a.
  4. 4 Dérivée de ln : (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\frac{1}{x} ; généralement (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\frac{u'}{u}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'équation ln⁡(2x−1)+ln⁡(x)=ln⁡(3)\ln(2x - 1) + \ln(x) = \ln(3) dans R\mathbb{R}.
Démarche :
  1. Conditions d'existence : 2x−1>02x - 1 > 0 et x>0x > 0, donc x>12x > \dfrac{1}{2}.
  2. On utilise ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a + \ln b = \ln(ab) : ln⁡(x(2x−1))=ln⁡(3)\ln(x(2x-1)) = \ln(3).
  3. Par injectivité de ln⁡\ln : x(2x−1)=3x(2x-1) = 3, soit 2x2−x−3=02x^2 - x - 3 = 0.
  4. Discriminant : Δ=1+24=25\Delta = 1 + 24 = 25, donc x=1±54x = \dfrac{1 \pm 5}{4}.
  5. x1=64=32=1,5x_1 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 ou x2=−44=−1x_2 = \dfrac{-4}{4} = -1 (rejeté car x>0,5x > 0{,}5).
Réponse : S={32}S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}. Vérification : ln⁡(2)+ln⁡(1,5)=ln⁡(3)\ln(2) + \ln(1{,}5) = \ln(3) ✓ car 2×1,5=32 \times 1{,}5 = 3.

📐 Formules clés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b
ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b)=\ln a-\ln b
(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 (croissances comparées)

🎨 Illustrations

Croissances comparées
ln⁡(x)\ln(x) contre x\sqrt{x} : qui domine à l'infini ?

Les deux courbes sont calculées point par point de x=0,2x=0{,}2 à x=25x=25. Le logarithme reste toujours en dessous de la racine carrée, et l'écart entre les deux se creuse continuellement — la traduction graphique de lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0.

Comparaison des courbes de ln(x) et racine de x Deux courbes tracees de x=0,2 a x=25 sur le meme repere. La courbe pleine est ln(x), qui vaut 0 en x=1 et atteint environ 3,22 en x=25. La courbe pointillee est racine de x, qui vaut 1 en x=1 et 5 en x=25. La courbe pointillee reste toujours au-dessus de la courbe pleine et l'ecart entre les deux augmente a mesure que x grandit. ln(x) √x x y 1 5 10 15 20 25 -1 0 1 2 3 4 5 écart croissant ln(25)≈3,22 √25=5
  • 1 En x=1x=1 : ln⁡(1)=0\ln(1)=0 tandis que 1=1\sqrt{1}=1 — la racine carrée est déjà au-dessus.
  • 2 En x=4x=4 : ln⁡(4)≈1,39\ln(4)\approx1{,}39 contre 4=2\sqrt{4}=2 — l'écart reste modeste.
  • 3 En x=25x=25 : ln⁡(25)≈3,22\ln(25)\approx3{,}22 contre 25=5\sqrt{25}=5 — l'écart a presque doublé, alors que xx a été multiplié par 6,256{,}25.
Ce qu'il faut lire : Suis les deux courbes de gauche à droite : la courbe pointillée (x\sqrt{x}) s'échappe vers le haut, tandis que la courbe pleine (ln⁡x\ln x) progresse à peine — c'est la traduction graphique de la croissance comparée lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0.
Comparaison des courbes de ln⁡(x)\ln(x) et x\sqrt{x} sur [0,2 ; 25][0{,}2\,;\,25], points calculés analytiquement.
Le piège du chapitre
Ce que vaut vraiment ln⁡(2+3)\ln(2 + 3)

Sur la courbe de ln⁡\ln, on lit ln⁡2≈0,69\ln 2 \approx 0{,}69 et ln⁡3≈1,10\ln 3 \approx 1{,}10. Leur somme vaut 1,791{,}79 — et cette hauteur se retrouve bien sur la courbe, mais en x=6x = 6, pas en x=5x = 5. Le 66 n'est pas 2+32 + 3 : c'est 2×32 \times 3.

La somme de deux logarithmes se lit au produit, pas a la somme Courbe croissante du logarithme neperien tracee entre zero virgule vingt-cinq et sept. Quatre points sont marques : en deux, la courbe vaut environ zero virgule soixante-neuf ; en trois, environ un virgule dix ; en cinq, environ un virgule soixante-et-un ; en six, environ un virgule soixante-dix-neuf. La somme des deux premieres hauteurs vaut un virgule soixante-dix-neuf, ce qui correspond exactement au point d'abscisse six et non a celui d'abscisse cinq. La hauteur en cinq est nettement plus basse, et l'ecart entre les deux est materialise par un segment vertical. 0,69 1,10 somme : 1,79 en 5 : 1,61 1 2 3 5 6 1 2 x la somme des deux hauteurs tombe en 6, pas en 5
  • 1 Les deux hauteurs mesurées sur la courbe valent ln⁡2≈0,693\ln 2 \approx 0{,}693 et ln⁡3≈1,099\ln 3 \approx 1{,}099. Leur somme vaut 1,7921{,}792.
  • 2 Cette somme se retrouve exactement sur la courbe, mais en x=6x = 6 : ln⁡6≈1,792\ln 6 \approx 1{,}792. Et 6=2×36 = 2 \times 3, pas 2+32 + 3. C'est la propriété ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b, lue sur le dessin.
  • 3 En x=5x = 5, la courbe vaut ln⁡5≈1,609\ln 5 \approx 1{,}609 : une autre valeur, plus basse. Écrire ln⁡(2+3)=ln⁡2+ln⁡3\ln(2+3) = \ln 2 + \ln 3 revient donc à confondre deux points distincts de la courbe, et l'écart entre eux est visible à l'œil nu.
Ce qu'il faut lire : Empile mentalement les deux petits segments verticaux, celui de ln⁡2\ln 2 et celui de ln⁡3\ln 3, l'un au-dessus de l'autre : la hauteur totale est marquée par le trait horizontal en pointillé. Suis ce trait vers la droite jusqu'à ce qu'il touche la courbe — tu arrives en 66. Recommence avec ln⁡3\ln 3 et ln⁡4\ln 4 : tu arriveras en 1212, jamais en 77. Le logarithme transforme les produits en sommes, et rien d'autre. Pour ln⁡(a+b)\ln(a + b), il n'existe tout simplement aucune simplification.
Sur la courbe de ln⁡\ln : ln⁡2+ln⁡3=ln⁡6≈1,79\ln 2 + \ln 3 = \ln 6 \approx 1{,}79, alors que ln⁡5≈1,61\ln 5 \approx 1{,}61.
À quoi sert un logarithme
Des facteurs dix qui deviennent des pas réguliers

En haut, les concentrations en ions H3O+H_3O^+ : chaque cran divise par 1010, et les nombres deviennent vite illisibles. En bas, le pH correspondant : chaque cran ajoute 11. Les deux règles sont rigoureusement alignées — et le passage de l'une à l'autre, c'est le logarithme.

Deux reglettes alignees, une multiplicative et une additive Deux graduations horizontales sont tracees l'une au-dessus de l'autre, avec sept reperes alignes verticalement et regulierement espaces. La graduation du haut porte les concentrations en ions oxonium : un dixieme, un centieme, un milliemme, et ainsi de suite jusqu'a dix puissance moins sept. D'un repere au suivant, la concentration est divisee par dix. La graduation du bas porte le pH correspondant : un, deux, trois, jusqu'a sept. D'un repere au suivant, le pH augmente de un. Les deux reperes d'un meme rang sont exactement a la meme abscisse. 0,1 0,01 0,001 1e−4 1e−5 1e−6 1e−7 concentration en mol par litre : on divise par dix à chaque cran 1 2 3 4 5 6 7 pH : on ajoute un à chaque cran le logarithme fait passer de la règle du haut à celle du bas
  • 1 Les sept repères sont régulièrement espacés sur les deux règles, et alignés verticalement deux à deux. Pourtant celle du haut divise par 1010 à chaque cran, tandis que celle du bas ajoute 11.
  • 2 La conversion s'écrit pH=−log⁡[H3O+]pH = -\log[H_3O^+]. Elle est exacte à chaque repère : −log⁡(10−4)=4-\log(10^{-4}) = 4, et ainsi de suite. Il n'y a aucune approximation dans cette figure.
  • 3 C'est la raison d'être des échelles logarithmiques. Sans elles, il faudrait une règle un million de fois plus longue pour ranger 0,10{,}1 et 10−710^{-7} à la même échelle. Avec elles, tout tient sur sept crans — et l'échelle de Richter, celle des décibels, ou celle des magnitudes stellaires reposent exactement sur le même principe.
Ce qu'il faut lire : Choisis deux repères, par exemple le premier et le quatrième. En bas, tu comptes 33 crans d'écart : 4−1=34 - 1 = 3. En haut, tu ne dois surtout pas soustraire — tu dois diviser : 0,110−4=1000\dfrac{0{,}1}{10^{-4}} = 1000, c'est-à-dire 10310^3. Trois crans en bas, un facteur mille en haut. Retiens la règle de lecture : une différence en bas correspond toujours à un rapport en haut. C'est pourquoi une solution de pH 33 n'est pas « un peu plus acide » qu'une solution de pH 55 : elle l'est cent fois plus.
Concentration en ions H3O+H_3O^+ et pH : sept crans régulièrement espacés, un facteur 1010 en haut, un pas de 11 en bas.
Pourquoi rejeter une racine
Une solution qui sort du domaine de définition

L'équation ln⁡(x)+ln⁡(x−3)=ln⁡(10)\ln(x) + \ln(x - 3) = \ln(10) conduit à x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10 = 0, dont les racines sont 55 et −2-2. Seule la première convient, et la figure dit pourquoi : dans la zone grisée, aucune des deux courbes n'existe.

Le domaine de definition d'une somme de deux logarithmes Deux courbes de logarithme sont tracees dans un repere. La premiere est le logarithme de x, qui n'existe qu'a droite de l'axe des ordonnees. La seconde est le logarithme de x moins trois, qui n'existe qu'a droite de l'abscisse trois. Toute la partie gauche de la figure, jusqu'a l'abscisse trois, est grisee : c'est la zone ou l'expression etudiee n'a aucun sens. La racine cinq est marquee sur les deux courbes, a droite de la zone grisee. La racine moins deux, elle, tombe en plein dans la zone grisee, ou aucune des deux courbes ne passe. ici, rien ne se calcule 3 5 racine retenue −2 racine rejetée ln de x ln de x moins trois y
  • 1 La somme ln⁡(x)+ln⁡(x−3)\ln(x) + \ln(x-3) n'a de sens que si les deux logarithmes existent, c'est-à-dire si x>0x > 0 ET x−3>0x - 3 > 0. La condition la plus forte l'emporte : le domaine est ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[.
  • 2 Les deux racines du polynôme sont 55 et −2-2, et l'on vérifie que 55 convient : ln⁡5+ln⁡2=ln⁡10\ln 5 + \ln 2 = \ln 10, puisque 5×2=105 \times 2 = 10. La figure marque ce couple de hauteurs sur les deux courbes.
  • 3 La racine −2-2, elle, tombe en pleine zone grisée. Ce n'est pas qu'elle « ne marche pas » : c'est que l'expression ln⁡(−2)+ln⁡(−5)\ln(-2) + \ln(-5) n'existe pas du tout. Le polynôme, lui, ne sait rien de cela — il a été obtenu APRÈS qu'on a supprimé les logarithmes, et cette suppression a effacé la contrainte.
Ce qu'il faut lire : Regarde où commencent les deux courbes : la première juste après 00, la seconde juste après 33. À gauche de 33, il manque toujours au moins l'une des deux, donc la somme ne veut rien dire. Retiens le geste : chercher le domaine AVANT de calculer, pas après. Si tu le détermines d'abord, tu écris x>3x > 3 en première ligne, et la racine −2-2 se rejette d'elle-même en une seconde. Si tu le cherches à la fin, tu as déjà oublié pourquoi tu la rejettes, et tu finiras par garder les deux.
Domaine de ln⁡(x)+ln⁡(x−3)\ln(x) + \ln(x-3) : l'intervalle ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[, où seule la racine 55 se trouve.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ln⁡(a+b)≠ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b) \ne \ln a + \ln b : la formule s'applique au produit, pas à la somme !

Contre-exemple : ln⁡(1+1)=ln⁡2≈0,693\ln(1+1) = \ln 2 \approx 0{,}693 mais ln⁡1+ln⁡1=0+0=0\ln 1 + \ln 1 = 0 + 0 = 0.

💡 À retenir

  • ln⁡\ln est la réciproque de exp⁡\exp : ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x et eln⁡x=xe^{\ln x} = x (pour x>0x > 0). ln⁡(1)=0\ln(1) = 0, ln⁡(e)=1\ln(e) = 1.
  • Règles algébriques : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b, ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b) = \ln a - \ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a. JAMAIS pour la somme : ln⁡(a+b)≠ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b.
  • Croissances comparées : ln⁡x\ln x croît plus lentement que toute puissance xαx^\alpha (α>0\alpha > 0). Utile pour les limites de la forme xnln⁡xx^n \ln x.
  • Pour résoudre ln⁡(f(x))=k\ln(f(x)) = k : vérifier les conditions d'existence (f(x)>0f(x) > 0), puis f(x)=ekf(x) = e^k.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Échelle des décibels en acoustique, pH en chimie, magnitude sismique (échelle de Richter)

Mots-clés associés : LogarithmelnPropriétésDérivéeCroissances comparées
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