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Compléments sur la dérivation

Dérivée de composées, produit, quotient

🔬 Application physique-chimie : Calcul de la vitesse et de l'accélération instantanées à partir de la position, puissance électrique instantanée
Voici un réflexe qui marche si bien depuis la première que tu ne le remets plus en question : pour dériver une somme, on dérive chaque morceau et on additionne. (x2+ex)′=2x+ex(x^2 + e^x)' = 2x + e^x. Rien à redire.

Alors essaie la même chose avec un produit. Que vaut (x2ex)′(x^2 e^x)' ? La réponse qui vient toute seule, c'est 2x×ex2x \times e^x : on dérive chaque morceau, on remultiplie.

Vérifie-la. Prends la fonction encore plus simple f(x)=x×xf(x) = x \times x, dont tu connais déjà la dérivée : c'est x2x^2, donc f′(x)=2xf'(x) = 2x.

Mais si on appliquait la recette « je dérive chaque morceau », on trouverait 1×1=11 \times 1 = 1. Or 2x2x et 11 ne sont pas la même fonction — ils ne coïncident même qu'en un seul point.

La recette est donc fausse, et elle l'est pour une raison qu'on peut voir : quand deux facteurs varient en même temps, chacun tire l'autre. Imagine un rectangle dont la longueur ET la largeur s'allongent : l'aire gagnée ne se résume pas au petit carré du coin, il y a aussi les deux bandes le long des côtés. C'est exactement ce que dit (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.

Le chapitre installe trois règles de ce genre — produit, quotient, composée. Chacune répond à la même question : comment se combinent deux variations qui se produisent en même temps ?

📖 Vocabulaire clé

Dérivée d'un produit : Si f=u×vf = u \times v, alors f′=u′v+uv′f' = u'v + uv'. Chaque facteur est dérivé à tour de rôle, l'autre restant inchangé.
Dérivée d'un quotient : Si f=uvf = \dfrac{u}{v} avec v≠0v \neq 0, alors f′=u′v−uv′v2f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}. L'ordre du numérateur (u′vu'v en premier) est crucial.
Dérivée d'une composée (chaîne) : Si f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x)), alors f′(x)=g′(x)×h′(g(x))f'(x) = g'(x) \times h'(g(x)). On dérive l'extérieur puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
Tangente en un point : La tangente à la courbe de ff en aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a). Le coefficient directeur est la dérivée en aa.

📋 Dériver une fonction construite à partir de deux autres

  1. 1 Reconnaître la structure : la fonction est-elle un produit u×vu \times v, un quotient uv\dfrac{u}{v}, ou une composée — une fonction « dans » une autre : eue^{u}, unu^n, u\sqrt{u}, ln⁡u\ln u ?
  2. 2 Nommer les morceaux : écrire explicitement uu et vv (ou uu et la fonction extérieure), puis dériver chacun séparément : u′u', v′v'.
  3. 3 Assembler avec la bonne formule : produit (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' ; quotient (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} ; composée (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}, (un)′=n un−1 u′(u^n)'=n\,u^{n-1}\,u', (u)′=u′2u(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.
  4. 4 Simplifier et vérifier : factoriser ce qui se répète (exe^x, une puissance), puis contrôler l'ordre u′v−uv′u'v - uv' et la présence du facteur u′u' dans toute composée.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dériver f(x)=exx2+1f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1} et calculer f′(0)f'(0).
Démarche :
  1. On identifie u=exu = e^x et v=x2+1v = x^2 + 1, donc u′=exu' = e^x et v′=2xv' = 2x.
  2. Règle du quotient : f′(x)=u′v−uv′v2=ex(x2+1)−ex⋅2x(x2+1)2f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{e^x(x^2+1) - e^x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}.
  3. Factorisation : f′(x)=ex(x2−2x+1)(x2+1)2=ex(x−1)2(x2+1)2f'(x) = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}.
  4. En x=0x = 0 : f′(0)=e0×(−1)2(0+1)2=1×11=1f'(0) = \dfrac{e^0 \times (-1)^2}{(0+1)^2} = \dfrac{1 \times 1}{1} = 1.
Réponse : f′(0)=1f'(0) = 1. On remarque que f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pour tout xx car (x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0 et ex>0e^x > 0 : ff est croissante sur R\mathbb{R}.

📐 Formules clés

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
(un)′=nun−1u′(u^n)'=nu^{n-1}u'
(u)′=u′2u(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
(ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u} (règle de la chaîne avec (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}, vue au chapitre « Fonctions exponentielle et logarithme »)

🎨 Illustrations

Tangente et règle du quotient
Tangente à f(x)=exx2+1f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1} au point où f′(0)=1f'(0)=1

La courbe reprend l'exemple du cours, calculée point par point : elle est croissante sur R\mathbb{R} car f′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2≥0f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq0. Au point A(0 ; 1)A(0\,;\,1), la tangente a pour coefficient directeur f′(0)=1f'(0)=1.

Courbe de f et sa tangente au point A Courbe croissante de f(x) egale e puissance x sur x carre plus 1, avec la tangente au point A(0;1) de pente 1. -2 -1 0 1 2 3 1 2 x f(x) A(0 ; 1) Tangente : y = x + 1 f(x) = e^x / (x²+1)
  • 1 Fonction du cours : f(x)=exx2+1f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}, calculée point par point sur [−2 ; 3][-2\,;\,3] avec la règle du quotient.
  • 2 Dérivée vérifiée : f′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2≥0f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq0 pour tout xx : la courbe est bien croissante, même au voisinage de x=1x=1 où la pente s'annule un instant sans faire redescendre la courbe.
  • 3 Au point A(0 ; 1)A(0\,;\,1) : f′(0)=1f'(0)=1, donc la tangente a pour équation y=1×(x−0)+1=x+1y=1\times(x-0)+1=x+1, tracée en pointillé.
Ce qu'il faut lire : La tangente (pointillés) touche la courbe exactement en AA et a la même pente que la courbe à cet endroit précis : c'est la définition du nombre dérivé f′(0)f'(0).
Courbe de l'exemple du cours (f(x)=ex/(x2+1)f(x)=e^x/(x^2+1)) et tangente au point A(0 ; 1)A(0\,;\,1), de pente f′(0)=1f'(0)=1.
Pourquoi le facteur oublié
Deux variations emboîtées se multiplient

Une fonction composée, c'est une chaîne : xx fait varier uu, puis uu fait varier ff. Chaque maillon a son propre taux de variation, et le taux total est leur produit. C'est là qu'est le facteur u′u' que l'on oublie.

Deux reperes en chaine montrant la composition de deux variations A gauche, un repere ou la variable x produit la quantite intermediaire u par la droite u egale trois x : sa pente vaut trois. A droite, un second repere ou cette quantite intermediaire u produit la valeur finale par la parabole f egale u au carre : sa tangente au point u egale trois a pour pente six. Le taux de variation total de la chaine vaut le produit des deux, soit dix-huit. premier maillon x = 1 3 6 x u pente 3 second maillon u = 3 u = 6 u f pente 6 taux total : 3 fois 6, soit 18
  • 1 À gauche, u(x)=3xu(x) = 3x : quand xx avance de 11, la quantité intermédiaire uu avance de 33. Le taux de ce maillon est u′(x)=3u'(x) = 3, le même partout.
  • 2 À droite, f(u)=u2f(u) = u^2 : au point u=3u = 3, la tangente a pour pente f′(3)=2×3=6f'(3) = 2 \times 3 = 6. Le taux de ce second maillon dépend de l'endroit où l'on se trouve, d'où l'écriture f′(u(x))f'(u(x)) et non f′(x)f'(x).
  • 3 Au total, g(x)=(3x)2=9x2g(x) = (3x)^2 = 9x^2, donc g′(x)=18xg'(x) = 18x et g′(1)=18g'(1) = 18. On retrouve exactement u′(1)×f′(u(1))=3×6=18u'(1) \times f'(u(1)) = 3 \times 6 = 18 : les deux taux se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Ce qu'il faut lire : Lis la figure de gauche à droite, comme une chaîne de transmission. Le premier maillon amplifie 33 fois, le second amplifie 66 fois : au bout, tout est amplifié 1818 fois.

Si tu oublies le facteur u′u', tu ne gardes que le second maillon — tu annonces 66 au lieu de 1818, et ton résultat est trois fois trop petit.

C'est très exactement ce qui se passe quand on écrit (e3x)′=e3x(e^{3x})' = e^{3x} au lieu de 3e3x3e^{3x}.
Composition de deux variations : u′(1)=3u'(1) = 3 puis f′(3)=6f'(3) = 6, donc un taux total de 1818.
Le piège du chapitre
La dérivée du produit contre le produit des dérivées

Un rectangle de côtés uu et vv a pour aire uvuv. Si les deux côtés s'allongent, l'aire gagnée se décompose en trois morceaux : deux bandes et un petit coin. Les deux bandes donnent u′v+uv′u'v + uv' ; le petit coin, lui, est justement le produit des deux variations, et c'est le seul qui disparaît.

Un rectangle qui s'agrandit dans les deux directions Un rectangle initial de cinq unites de long sur trois de haut, d'aire quinze, est agrandi de un virgule quatre en longueur et de un en hauteur. L'aire gagnee se decompose en trois morceaux : une bande verticale a droite d'aire quatre virgule deux, une bande horizontale en haut d'aire cinq, et un petit rectangle de coin d'aire un virgule quatre. Le petit coin est le seul des trois a etre le produit des deux accroissements, et c'est aussi le seul qui devient negligeable quand les accroissements diminuent. aire de départ : 15 4,2 5 longueur 5 plus 1,4 3 1 le petit coin : 1,4 morceau négligeable
  • 1 Le rectangle de départ mesure 55 sur 33 : son aire vaut 1515. On allonge de 1,41{,}4 et on rehausse de 11, donc la nouvelle aire vaut 6,4×4=25,66{,}4 \times 4 = 25{,}6.
  • 2 L'aire gagnée, 10,610{,}6, se décompose exactement en trois : la bande de droite vaut 3×1,4=4,23 \times 1{,}4 = 4{,}2 (le terme v×u′v \times u'), la bande du haut vaut 5×1=55 \times 1 = 5 (le terme u×v′u \times v'), et le petit coin vaut 1,4×1=1,41{,}4 \times 1 = 1{,}4. Somme : 15+4,2+5+1,4=25,615 + 4{,}2 + 5 + 1{,}4 = 25{,}6.
  • 3 Le petit coin est le produit des deux accroissements — exactement ce que l'élève propose comme réponse.

    Or c'est le seul des trois morceaux à devenir négligeable quand les accroissements diminuent : divise-les tous les deux par 1010, les bandes sont divisées par 1010 mais le coin par 100100.

    Voilà pourquoi il disparaît de la formule, et pourquoi (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.
Ce qu'il faut lire : Compare les surfaces à l'œil : les deux bandes vertes portent presque toute l'aire gagnée, et le petit rectangle rouge n'en est qu'une miette.

Puis imagine que tu réduises les deux agrandissements de moitié : les bandes maigrissent de moitié, le coin de trois quarts. Continue à réduire, et le coin s'efface bien avant les bandes.

La dérivée garde les deux bandes et oublie le coin : voilà pourquoi la réponse « je dérive chaque facteur » ne garde justement que ce qui disparaît.
Aire d'un rectangle dont les deux côtés varient : 15+4,2+5+1,4=25,615 + 4{,}2 + 5 + 1{,}4 = 25{,}6, et seul le coin de 1,41{,}4 disparaît à la limite.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Dans la formule du quotient, bien noter u′v−uv′u'v - uv' (et non uv′−u′vuv' - u'v) au numérateur.

L'ordre compte !

✅ La suggestion

Un moyen mnémotechnique : "c'est le haut prime fois le bas, moins le haut fois le bas prime, le tout sur le bas au carré".

💡 À retenir

  • Produit : (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Astuce mnémotechnique : "dérive le premier, garde le second, puis l'inverse".
  • Quotient : (u/v)′=(u′v−uv′)/v2(u/v)' = (u'v - uv')/v^2. Attention à l'ordre : c'est u′vu'v MOINS uv′uv', jamais l'inverse.
  • Composée : (f∘g)′=g′×f′(g)(f \circ g)' = g' \times f'(g). On dérive l'extérieur puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur ((e3x)′=3e3x(e^{3x})' = 3e^{3x}).
  • Composées usuelles : (un)′=n un−1 u′(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u', (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, (eu)′=u′ eu(e^{u})' = u'\,e^{u}, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}. Dans chacune, le facteur u′u' est celui qu'on oublie.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de la vitesse et de l'accélération instantanées à partir de la position, puissance électrique instantanée

Mots-clés associés : DérivéeProduitQuotientComposéeFonction
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