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Compléments sur la dérivation

Dérivée de composées, produit, quotient

🔬 Application physique-chimie : Calcul de la vitesse et de l'accélération instantanées à partir de la position, puissance électrique instantanée

La règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ s'explique géométriquement : si une longueur $u$ et une largeur $v$ varient, l'aire $uv$ varie de $u\ \delta v + v\ \delta u$ (le terme $\delta u\ \delta v$ est négligeable).

La règle du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ s'en déduit algébriquement.

La règle de la chaîne $(f\circ g)' = g' \times f'(g)$ dit que "les taux de variation se multiplient".

Deux pièges fréquents : croire que $(u/v)' = u'/v'$ (faux — on ne divise pas les dérivées) et inverser l'ordre dans le numérateur du quotient ( $u'v - uv'$ , et non $uv' - u'v$ ).

Un contre-exemple simple : $(x/(x+1))' = 1/(x+1)^2$ et non $1/1 = 1$ .

📖 Vocabulaire clé

Dérivée d'un produit : Si

f = u \times v

, alors

f' = u'v + uv'

. Chaque facteur est dérivé à tour de rôle, l'autre restant inchangé.

Dérivée d'un quotient : Si

f = \dfrac{u}{v}

avec

v \neq 0

, alors

f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

. L'ordre du numérateur (

u'v

en premier) est crucial.

Dérivée d'une composée (chaîne) : Si

f(x) = h(g(x))

, alors

f'(x) = g'(x) \times h'(g(x))

. On dérive l'extérieur puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Tangente en un point : La tangente à la courbe de

f

a

a pour équation

y = f'(a)(x - a) + f(a)

. Le coefficient directeur est la dérivée en

a

📋 Choisir la bonne formule

1 Produit : $(uv)'=u'v+uv'$ .
2 Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
3 Fonction composée : $(f\circ g)'(x)=g'(x)\cdot f'(g(x))$ .
4 Puissance composée : $[u^n]'=n\cdot u^{n-1}\cdot u'$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dériver

f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}

et calculer

f'(0)

Démarche :

On identifie $u = e^x$ et $v = x^2 + 1$ , donc $u' = e^x$ et $v' = 2x$ .
Règle du quotient : $f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{e^x(x^2+1) - e^x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$ .
Factorisation : $f'(x) = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$ .
En $x = 0$ : $f'(0) = \dfrac{e^0 \times (-1)^2}{(0+1)^2} = \dfrac{1 \times 1}{1} = 1$ .

Réponse :

f'(0) = 1

. On remarque que

f'(x) \geq 0

pour tout

x

car

(x-1)^2 \geq 0

e^x > 0

f

est croissante sur

\mathbb{R}

📐 Formules clés

(uv)'=u'v+uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

(u^n)'=nu^{n-1}u'

(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

🎨 Illustration

Tangente et règle du quotient

Tangente à

f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}

au point où

f'(0)=1

La courbe reprend l'exemple du cours, calculée point par point : elle est croissante sur $\mathbb{R}$ car $f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq0$ . Au point $A(0\,;\,1)$ , la tangente a pour coefficient directeur $f'(0)=1$ .

1 Fonction du cours : $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}$ , calculée point par point sur $[-2\,;\,3]$ avec la règle du quotient.
2 Dérivée vérifiée : $f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq0$ pour tout $x$ : la courbe est bien croissante, même au voisinage de $x=1$ où la pente s'annule un instant sans faire redescendre la courbe.
3 Au point $A(0\,;\,1)$ : $f'(0)=1$ , donc la tangente a pour équation $y=1\times(x-0)+1=x+1$ , tracée en pointillé.

Ce qu'il faut lire : La tangente (pointillés) touche la courbe exactement en

A

et a la même pente que la courbe à cet endroit précis : c'est la définition du nombre dérivé

f'(0)

Courbe de l'exemple du cours (

f(x)=e^x/(x^2+1)

) et tangente au point

A(0\,;\,1)

, de pente

f'(0)=1

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Dans la formule du quotient, bien noter $u'v - uv'$ (et non $uv' - u'v$ ) au numérateur.

L'ordre compte !

✅ La suggestion

Un moyen mnémotechnique : "c'est le haut prime fois le bas, moins le haut fois le bas prime, le tout sur le bas au carré".

💡 À retenir

Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ . Astuce mnémotechnique : "dérive le premier, garde le second, puis l'inverse".
Quotient : $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ . Attention à l'ordre : c'est $u'v$ MOINS $uv'$ , jamais l'inverse.
Composée : $(f \circ g)' = g' \times f'(g)$ . On dérive l'extérieur puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur ( $(e^{3x})' = 3e^{3x}$ ).
Vérifier en revenant à la dérivation : si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F' = f$ . Toujours vérifier la cohérence.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de la vitesse et de l'accélération instantanées à partir de la position, puissance électrique instantanée

Mots-clés associés : DérivéeProduitQuotientComposéeFonction

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