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Limites de fonctions et continuité

Limites en l'infini, en un point, continuité

🔬 Application physique-chimie : Vitesse limite en chute avec frottements, régime permanent lors de la charge d'un condensateur
Prends la fonction f(x)=x2−4x−2f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} et essaie de calculer sa valeur en x=2x = 2.

Tu obtiens 00\dfrac{0}{0}. Ce n'est pas un nombre, et ta calculatrice refuse elle aussi de répondre.

Maintenant essaie tout près de 22. Pour x=1,99x = 1{,}99, tu trouves 3,993{,}99. Pour x=2,01x = 2{,}01, tu trouves 4,014{,}01. Pour x=1,9999x = 1{,}9999, tu trouves 3,99993{,}9999.

Voilà l'étrangeté : la fonction n'existe pas en 22, et pourtant tout autour d'elle, elle se dirige très clairement vers 44. Le trou est ponctuel, la direction est nette.

C'est cette situation que les mathématiques ont dû apprendre à décrire, et il leur a fallu deux siècles pour y arriver proprement. Le mot inventé pour cela est limite : on écrit lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4, ce qui ne dit rien de f(2)f(2) — qui n'existe pas — mais tout de ce qui se passe autour.

Et ce n'est pas une curiosité de manuel. Une vitesse instantanée, c'est un déplacement divisé par une durée quand la durée tend vers zéro : encore un 00\dfrac{0}{0}. Toute la dérivation que tu pratiques depuis un an repose sur cette idée.

Ce chapitre lui donne enfin son nom, ses règles, et la façon de s'en servir quand la substitution ne répond plus.

📖 Vocabulaire clé

Limite finie en aa : lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L signifie que f(x)f(x) se rapproche aussi près que l'on veut de LL quand xx se rapproche de aa. On note aussi f(x)→x→aLf(x) \xrightarrow[x \to a]{} L.
Forme indéterminée (FI) : Expression du type 00\dfrac{0}{0}, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, 1∞1^\infty, 000^0 ou ∞0\infty^0 dont la valeur dépend du contexte. Il faut lever l'indétermination (factoriser, simplifier, croissances comparées).
Continuité en aa : ff est continue en aa si lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Intuitivement : on peut tracer la courbe de ff sans lever le crayon en aa.
Asymptote : Droite dont la courbe s'approche à l'infini. Horizontale y=Ly = L si lim⁡x→±∞f(x)=L\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L. Verticale x=ax = a si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty.

📋 Calculer une limite

  1. 1 Substitution directe : si le résultat est défini, c'est la limite.
  2. 2 Formes indéterminées : si 0/00/0, ∞/∞\infty/\infty, ou ∞−∞\infty-\infty, factoriser, simplifier, ou croissances comparées.
  3. 3 Dominance polynomiale : en ±∞\pm\infty, le terme de plus haut degré domine.
  4. 4 Continuité : ff continue en aa ⇔\Leftrightarrow lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer lim⁡x→1x3−1x2−1\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}.
Démarche :
  1. Substitution directe : 1−11−1=00\dfrac{1-1}{1-1} = \dfrac{0}{0} → forme indéterminée.
  2. Factorisation du numérateur : x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1).
  3. Factorisation du dénominateur : x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1).
  4. Simplification : (x−1)(x2+x+1)(x−1)(x+1)=x2+x+1x+1\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2+x+1}{x+1} pour x≠1x \neq 1.
  5. Substitution : 1+1+11+1=32\dfrac{1+1+1}{1+1} = \dfrac{3}{2}.
Réponse : lim⁡x→1x3−1x2−1=32=1,5\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^2-1} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5

📐 Formules clés

lim⁡x→+∞xn=+∞\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty (n>0n>0)
lim⁡x→+∞1xn=0\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0 (n>0n>0)
lim⁡x→+∞anxn+⋯bmxm+⋯=lim⁡x→+∞anxnbmxm\lim_{x\to+\infty}\frac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots}=\lim_{x\to+\infty}\frac{a_n x^n}{b_m x^m}

🎨 Illustrations

Asymptotes verticale et horizontale
Les deux asymptotes de f(x)=2x3−xx3+1f(x)=\dfrac{2x^3-x}{x^3+1}

Fonction reprise du quiz de ce cours : le dénominateur x3+1x^3+1 s'annule uniquement en x=−1x=-1 (asymptote verticale), et les termes de plus haut degré donnent lim⁡x→±∞f(x)=2\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2 (asymptote horizontale).

Courbe de f avec asymptote verticale et horizontale Deux branches separees par l'asymptote verticale x=-1, toutes deux se rapprochant de l'asymptote horizontale y=2. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 2 4 6 8 x f(x) x = -1 y = 2 f(x) = (2x³ − x) / (x³ + 1) f(0) = 0
  • 1 Le dénominateur x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) ne s'annule qu'en x=−1x=-1 (le facteur x2−x+1x^2-x+1 a un discriminant négatif) : c'est l'unique asymptote verticale, tracée en pointillé vertical.
  • 2 En ±∞\pm\infty, les termes de plus haut degré dominent : lim⁡x→±∞2x3−xx3+1=lim⁡x→±∞2x3x3=2\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^3-x}{x^3+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^3}{x^3}=2, d'où l'asymptote horizontale y=2y=2, tracée en pointillé horizontal.
  • 3 Les deux branches ne sont jamais reliées : à gauche de x=−1x=-1, f(x)→+∞f(x)\to+\infty ; à droite, f(x)→−∞f(x)\to-\infty (changement de signe au voisinage du pôle).
  • 4 Vérification simple en x=0x=0 : f(0)=01=0f(0)=\dfrac{0}{1}=0, un point de passage exact confirmé par substitution directe.
Ce qu'il faut lire : Les deux courbes (une par branche) ne traversent jamais la droite verticale x=−1x=-1 : elles s'en approchent indéfiniment sans jamais la toucher, tout en se rapprochant de la droite horizontale y=2y=2 loin de l'origine.
Courbe de f(x)=(2x3−x)/(x3+1)f(x)=(2x^3-x)/(x^3+1) (fonction du quiz de ce module), avec ses asymptotes x=−1x=-1 et y=2y=2.
Deux questions, deux asymptotes
Une asymptote horizontale et une asymptote verticale sur la même courbe

Les deux sortes d'asymptotes ne répondent pas à la même question. L'horizontale dit ce que devient ff quand xx part à l'infini. La verticale dit ce qui se passe quand xx s'approche d'une valeur interdite. Ici la même fonction porte les deux.

Courbe avec une asymptote verticale et une asymptote horizontale Une courbe en deux branches separees par une droite verticale en abscisse un. La branche de gauche descend vers le bas en s'approchant de cette droite sans jamais la toucher, et vers la gauche elle se rapproche d'une droite horizontale de hauteur deux. La branche de droite descend depuis le haut en longeant la droite verticale, puis s'aplatit et se rapproche a son tour de la meme droite horizontale de hauteur deux. La droite verticale est l'asymptote verticale, la droite horizontale l'asymptote horizontale. asymptote verticale abscisse égale à un asymptote horizontale hauteur égale à deux −2 0 1 2 3 4 −2 5 x
  • 1 La fonction représentée est f(x)=2+3x−1f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}. Elle n'est pas définie en x=1x = 1, où le dénominateur s'annule.
  • 2 Asymptote verticale x=1x = 1 : quand xx s'approche de 11 par la droite, f(x)→+∞f(x) \to +\infty ; par la gauche, f(x)→−∞f(x) \to -\infty. La courbe longe la droite sans jamais la couper.
  • 3 Asymptote horizontale y=2y = 2 : quand x→+∞x \to +\infty ou x→−∞x \to -\infty, la fraction 3x−1\dfrac{3}{x-1} tend vers 00, donc f(x)→2f(x) \to 2. Les deux branches viennent s'aplatir contre cette hauteur.
Ce qu'il faut lire : Ne cherche pas les asymptotes au même endroit. Pour la verticale, demande-toi où la fonction est interdite — en général là où un dénominateur s'annule — et regarde ce qui se passe quand tu t'en approches. Pour l'horizontale, va au contraire tout au bout du dessin, à droite et à gauche, et regarde vers quelle hauteur la courbe s'aplatit. Une même fonction peut avoir les deux, comme ici, ou une seule, ou aucune.
Courbe de f(x)=2+3x−1f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1} : asymptote verticale x=1x = 1 et asymptote horizontale y=2y = 2.
Trou ou saut
Une fonction peut manquer un point sans perdre sa limite

Deux courbes, deux discontinuités, et elles n'ont rien à voir. À gauche il manque un point, mais la limite existe. À droite la fonction est définie partout, et pourtant elle n'a pas de limite en ce point : elle saute.

Une courbe percee d'un trou et une courbe qui saute A gauche, une droite montante est percee d'un seul point, marque par un petit cercle vide en abscisse deux et hauteur quatre : la fonction n'existe pas la, mais des deux cotes la courbe vise clairement cette hauteur. A droite, une fonction en deux paliers horizontaux : le palier bas de hauteur deux s'arrete en abscisse deux avec un cercle vide, et le palier haut de hauteur cinq commence au meme endroit avec un cercle plein. La fonction est definie partout mais passe brusquement de deux a cinq. un trou deux quatre la limite existe : quatre un saut deux deux cinq pas de limite : deux ou cinq
  • 1 À gauche : g(x)=x2−4x−2g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}, qui vaut x+2x + 2 partout sauf en x=2x = 2 où elle n'est pas définie. Des deux côtés la courbe vise la même hauteur, donc lim⁡x→2g(x)=4\lim_{x \to 2} g(x) = 4 existe bel et bien.
  • 2 À droite : une fonction en paliers, définie partout, h(2)=5h(2) = 5. Mais à gauche de 22 elle vaut 22 et à droite elle vaut 55 : les deux limites latérales diffèrent de 33, donc lim⁡x→2h(x)\lim_{x \to 2} h(x) n'existe pas.
  • 3 Les deux fonctions sont discontinues en 22, pour des raisons opposées : la première parce qu'il manque le point, la seconde parce que le point n'est pas au bon endroit. Être définie en aa ne suffit jamais à être continue en aa.
Ce qu'il faut lire : Regarde le cercle évidé : il signale un endroit où la courbe s'arrête sans que la fonction y prenne de valeur. À gauche, tu peux boucher ce trou en posant g(2)=4g(2) = 4, et la fonction devient continue — la limite te dit exactement quelle valeur poser. À droite, tu ne peux rien boucher du tout : quelle que soit la valeur que tu choisirais en 22, il resterait un saut d'un côté ou de l'autre. C'est la différence entre une discontinuité qu'on répare et une qu'on ne répare pas.
Deux discontinuités en x=2x = 2 : un trou (la limite existe, la valeur manque) et un saut (la valeur existe, la limite manque).
Ce que veut dire « tendre vers »
Plus on regarde de près, plus la limite se précise

Vue de loin, la courbe de x2−4x−2\dfrac{x^2-4}{x-2} semble ordinaire et le trou est invisible. En zoomant autour de x=2x = 2, il apparaît — et l'on constate que les valeurs voisines encadrent 44 d'aussi près qu'on veut. C'est exactement ce que dit lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4.

La meme courbe vue de loin puis fortement agrandie autour du trou A gauche, la courbe vue en entier avec un petit rectangle qui delimite la zone a agrandir autour de l'abscisse deux. A droite, la meme zone agrandie vingt fois : la courbe y apparait comme une droite montante percee d'un point unique, et deux traits de reperage montrent que ce point manquant se situe exactement a la hauteur quatre. Les valeurs voisines encadrent quatre d'aussi pres que l'on veut. vue de loin le trou ne se voit pas vue de près quatre la courbe vise quatre
  • 1 Les deux vignettes montrent la même fonction f(x)=x2−4x−2f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}. Seule l'échelle change : à gauche xx va de 00 à 44, à droite de 1,91{,}9 à 2,12{,}1 — un agrandissement de vingt fois.
  • 2 En x=1,99x = 1{,}99 la courbe vaut 3,993{,}99 ; en x=2,01x = 2{,}01 elle vaut 4,014{,}01. Les valeurs voisines encadrent donc 44 à 0,010{,}01 près, et il suffit de zoomer davantage pour resserrer encore.
  • 3 Le point d'abscisse 22 reste évidé à toutes les échelles : f(2)f(2) n'existera jamais. La limite décrit ce que fait la fonction autour de 22, pas ce qu'elle vaut en 22.
Ce qu'il faut lire : Voilà comment se lit « f(x)f(x) tend vers 44 quand xx tend vers 22 » : quelle que soit la précision qu'on t'impose — à 0,010{,}01 près, à 0,00010{,}0001 près — tu peux toujours te rapprocher assez de 22 pour que f(x)f(x) soit dans cette marge autour de 44. Ce n'est pas une façon de parler, c'est une garantie chiffrée, et c'est elle qui a donné à la notion de limite sa définition rigoureuse au dix-neuvième siècle.
La fonction x2−4x−2\dfrac{x^2-4}{x-2} vue de loin, puis agrandie vingt fois autour de x=2x = 2 : le trou apparaît, la limite 44 se précise.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

∞−∞\infty - \infty est une forme indéterminée : on ne peut pas conclure sans calcul.

Il faut factoriser, multiplier par la quantité conjuguée ou utiliser les croissances comparées pour lever l'indétermination.

💡 À retenir

  • En ±∞\pm\infty, le terme de plus haut degré domine : lim⁡P(x)Q(x)=lim⁡terme dominant de Pterme dominant de Q\lim \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim \frac{\text{terme dominant de }P}{\text{terme dominant de }Q}.
  • Les formes indéterminées (0/00/0, ∞/∞\infty/\infty, etc.) exigent un travail algébrique (factorisation, simplification) avant de conclure.
  • ff continue en aa ⇔\Leftrightarrow lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) : pas de "saut" ni de "trou" dans la courbe.
  • Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si ff est continue sur [a;b][a;b] et f(a)×f(b)<0f(a) \times f(b) < 0, alors ff s'annule au moins une fois sur ]a;b[]a;b[.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Vitesse limite en chute avec frottements, régime permanent lors de la charge d'un condensateur

Mots-clés associés : LimiteContinuitéInfiniIndétermination
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