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Limites de fonctions et continuité

Limites en l'infini, en un point, continuité

🔬 Application physique-chimie : Vitesse limite en chute avec frottements, régime permanent lors de la charge d'un condensateur

La limite de $f$ en $a$ décrit le comportement de $f$ quand $x$ se rapproche de $a$ — sans que $f(a)$ soit nécessairement définie. Exemple : $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ n'est pas définie en $x=2$ , mais $\lim_{x\to2}f(x) = 4$ .

Les formes indéterminées ( $0/0$ , $\infty/\infty$ , $\infty-\infty$ ) ne sont pas des valeurs — ce sont des signaux d'alarme : la limite peut être n'importe quel réel ou $\pm\infty$ selon le contexte.

L'erreur classique : conclure " $0/0 = 0$ " ou " $0/0$ : pas de limite". Il faut factoriser pour lever l'indétermination.

En $\pm\infty$ , le terme de plus haut degré domine : $3x^2 - 100x + 500 \sim 3x^2$ quand $x \to +\infty$ .

La continuité de $f$ en $a$ exige : $f(a)$ existe, $\lim_{x\to a} f(x)$ existe, et elles sont égales.

📖 Vocabulaire clé

Limite finie en $a$ :

\lim_{x \to a} f(x) = L

signifie que

f(x)

se rapproche aussi près que l'on veut de

L

quand

x

se rapproche de

a

. On note aussi

f(x) \xrightarrow[x \to a]{} L

Forme indéterminée (FI) : Expression du type

\dfrac{0}{0}

\dfrac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

1^\infty

0^0

\infty^0

dont la valeur dépend du contexte. Il faut lever l'indétermination (factoriser, simplifier, croissances comparées).

Continuité en $a$ :

f

est continue en

a

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Intuitivement : on peut tracer la courbe de

f

sans lever le crayon en

a

Asymptote : Droite dont la courbe s'approche à l'infini. Horizontale

y = L

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L

. Verticale

x = a

\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

📋 Calculer une limite

1 Substitution directe : si le résultat est défini, c'est la limite.
2 Formes indéterminées : si $0/0$ , $\infty/\infty$ , ou $\infty-\infty$ , factoriser, simplifier, ou croissances comparées.
3 Dominance polynomiale : en $\pm\infty$ , le terme de plus haut degré domine.
4 Continuité : $f$ continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}

Démarche :

Substitution directe : $\dfrac{1-1}{1-1} = \dfrac{0}{0}$ → forme indéterminée.
Factorisation du numérateur : $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ .
Factorisation du dénominateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ .
Simplification : $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ pour $x \neq 1$ .
Substitution : $\dfrac{1+1+1}{1+1} = \dfrac{3}{2}$ .

Réponse :

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^2-1} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5

📐 Formules clés

\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty

(

n>0

)

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0

(

n>0

)

\lim_{x\to+\infty}\frac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots}=\lim_{x\to+\infty}\frac{a_n x^n}{b_m x^m}

🎨 Illustration

Asymptotes verticale et horizontale

Les deux asymptotes de

f(x)=\dfrac{2x^3-x}{x^3+1}

Fonction reprise du quiz de ce cours : le dénominateur $x^3+1$ s'annule uniquement en $x=-1$ (asymptote verticale), et les termes de plus haut degré donnent $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2$ (asymptote horizontale).

1 Le dénominateur $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ ne s'annule qu'en $x=-1$ (le facteur $x^2-x+1$ a un discriminant négatif) : c'est l'unique asymptote verticale, tracée en pointillé vertical.
2 En $\pm\infty$ , les termes de plus haut degré dominent : $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^3-x}{x^3+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^3}{x^3}=2$ , d'où l'asymptote horizontale $y=2$ , tracée en pointillé horizontal.
3 Les deux branches ne sont jamais reliées : à gauche de $x=-1$ , $f(x)\to+\infty$ ; à droite, $f(x)\to-\infty$ (changement de signe au voisinage du pôle).
4 Vérification simple en $x=0$ : $f(0)=\dfrac{0}{1}=0$ , un point de passage exact confirmé par substitution directe.

Ce qu'il faut lire : Les deux courbes (une par branche) ne traversent jamais la droite verticale

x=-1

: elles s'en approchent indéfiniment sans jamais la toucher, tout en se rapprochant de la droite horizontale

y=2

loin de l'origine.

Courbe de

f(x)=(2x^3-x)/(x^3+1)

(fonction du quiz de ce module), avec ses asymptotes

x=-1

y=2

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$\infty - \infty$ est une forme indéterminée : on ne peut pas conclure sans calcul.

Il faut factoriser, multiplier par la quantité conjuguée ou utiliser les croissances comparées pour lever l'indétermination.

💡 À retenir

En $\pm\infty$ , le terme de plus haut degré domine : $\lim \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim \frac{\text{terme dominant de }P}{\text{terme dominant de }Q}$ .
Les formes indéterminées ( $0/0$ , $\infty/\infty$ , etc.) exigent un travail algébrique (factorisation, simplification) avant de conclure.
$f$ continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : pas de "saut" ni de "trou" dans la courbe.
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ , alors $f$ s'annule au moins une fois sur $]a;b[$ .

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Vitesse limite en chute avec frottements, régime permanent lors de la charge d'un condensateur

Mots-clés associés : LimiteContinuitéInfiniIndétermination

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