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Équations Différentielles du 1er Ordre

Constante de temps τ, régime transitoire

🔬 Application physique-chimie : Charge condensateur RC, chute libre avec frottements
Une tasse de café à 8080 °C est posée dans une pièce à 2020 °C. Elle refroidit. Mais comment exactement ?

Une chose est sûre, et tu peux la constater : le café chaud refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement. Au bout d'une heure il est tiède, et il le reste longtemps.

La physique donne la règle exacte de ce refroidissement, et elle est remarquablement simple : plus l'écart avec la pièce est grand, plus la température chute vite. À 8080 °C, l'écart vaut 6060 degrés et ça chute fort ; à 2525 °C, l'écart ne vaut plus que 55 degrés et ça ne bouge presque plus.

Écrivons-le. La vitesse de refroidissement, c'est la dérivée T′(t)T'(t). L'écart à la pièce, c'est T(t)−20T(t) - 20. La règle dit que l'une est proportionnelle à l'autre :

T′(t)=−k(T(t)−20)T'(t) = -k\big(T(t) - 20\big)

Et voilà l'ennui. Tu sais trouver TT quand on te donne T′T' : tu cherches une primitive. Mais ici, pour calculer T′T', il faudrait déjà connaître TT — qui est justement ce qu'on cherche. L'inconnue apparaît des deux côtés.

Une égalité de cette forme, où une fonction inconnue est reliée à sa propre dérivée, s'appelle une équation différentielle. Ce n'est pas une équation où l'on cherche un nombre : c'est une équation où l'on cherche une fonction.

Bonne nouvelle : celles de ce chapitre ont toutes la même solution, et c'est une exponentielle. Ce qui va les distinguer les unes des autres, c'est un seul nombre — la constante de temps τ\tau, qui dit à quelle vitesse le système s'approche de son état final.

📖 Vocabulaire clé

Équation différentielle : Équation reliant une fonction inconnue y(t)y(t) à sa dérivée y′(t)y'(t) (et éventuellement ses dérivées d'ordres supérieurs). L'ordre de l'ED est celui de la plus haute dérivée présente.
Constante de temps τ\tau : Paramètre qui caractérise la rapidité de la réponse du système. À t=τt = \tau, la grandeur a atteint 63,2%63{,}2\% de sa valeur finale. Le régime permanent est considéré atteint à 5τ5\tau.
Régime transitoire : Phase pendant laquelle le système évolue depuis sa condition initiale vers sa valeur d'équilibre. La durée du transitoire est d'environ 5τ5\tau.
Régime permanent : État atteint quand le transitoire est terminé : la grandeur ne varie plus (ou de manière négligeable). y(t)≈y∞y(t) \approx y_\infty pour t≫τt \gg \tau.

📋 Méthode de résolution

  1. 1 Forme canonique : écrire sous τdydt+y=y∞\tau \dfrac{dy}{dt} + y = y_{\infty} où τ\tau est la constante de temps et y∞y_{\infty} la valeur en régime permanent.
  2. 2 Solution générale : y(t)=y∞+(y0−y∞)e−t/τy(t) = y_{\infty} + (y_0 - y_{\infty}) e^{-t/\tau} où y0=y(0)y_0 = y(0) est la condition initiale.
  3. 3 Paramètres physiques : circuit RC, τ=RC\tau = RC ; charge depuis U0=0U_0 = 0 : UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un circuit RC avec R=5R = 5 kΩ et C=200C = 200 μF est alimenté par un générateur E=12E = 12 V. Le condensateur est initialement déchargé. Calculer UCU_C à t=2t = 2 s.
Démarche :
  1. Calcul de la constante de temps : τ=RC=5×103×200×10−6=1\tau = RC = 5 \times 10^3 \times 200 \times 10^{-6} = 1 s.
  2. Expression de UC(t)U_C(t) : UC(t)=E(1−e−t/τ)=12(1−e−t)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}) = 12(1 - e^{-t}).
  3. À t=2t = 2 s : UC(2)=12(1−e−2)=12(1−0,1353)=12×0,8647U_C(2) = 12(1 - e^{-2}) = 12(1 - 0{,}1353) = 12 \times 0{,}8647.
  4. UC(2)≈10,38U_C(2) \approx 10{,}38 V.
Réponse : UC(2)≈10,38U_C(2) \approx 10{,}38 V. Après 2τ2\tau, le condensateur a atteint 86,5%86{,}5\% de la tension finale EE.

📐 Formules clés

τdUCdt+UC=E\tau \dfrac{dU_C}{dt} + U_C = E (circuit RC en charge)
UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) (solution en charge)
τ=R×C\tau = R \times C (circuit RC)
À t=τt = \tau : UC(τ)=E(1−e−1)≈0,632EU_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0{,}632 E

🎨 Illustrations

Courbe de charge d'un condensateur
UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}) avec E=12E = 12 V et τ=1\tau = 1 s (exemple du cours)

Tracé point par point de la tension aux bornes du condensateur pendant la charge à travers une résistance, avec le repère caractéristique à τ\tau où 63,2%63{,}2\% de la tension finale EE est atteinte.

Charge d'un condensateur a travers une resistance Courbe de la tension U_C en fonction du temps pour un circuit RC en charge, avec E = 12 V et tau = 1 s. Le point a t = tau est marque : U_C atteint 63,2% de la tension finale E. La courbe se rapproche de E sans jamais l'atteindre exactement ; le point a t = 2 s (exemple du cours) et le point a 5 tau (regime permanent conventionnel) sont egalement marques. E = 12 V 63,2 % de E t = 2 s : 10,38 V 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ t (s) 0 3 6 9 U_C (V)
  • 1 À t=τ=1t=\tau=1 s, UC(τ)=E(1−e−1)≈7,59U_C(\tau)=E(1-e^{-1})\approx 7{,}59 V, soit 63,2%63{,}2\% de EE — c'est la définition même de τ\tau, quel que soit le circuit.
  • 2 À t=2t=2 s (l'exemple du cours), UC(2)≈10,38U_C(2)\approx 10{,}38 V, soit 86,5%86{,}5\% de EE.
  • 3 Le régime permanent est atteint conventionnellement à 5τ=55\tau=5 s, où UC≈11,92U_C\approx 11{,}92 V (99,3%99{,}3\% de EE) — la courbe ne touche jamais exactement l'asymptote EE.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord la ligne pointillée horizontale qui indique EE, la valeur finale jamais atteinte exactement. Puis repère le point à τ\tau : il est toujours à 63,2%63{,}2\% du chemin parcouru, quel que soit le circuit.
Charge d'un condensateur à travers une résistance : UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}), avec E=12E = 12 V et τ=RC=1\tau = RC = 1 s (mêmes valeurs que l'exemple du cours).
Lire τ\tau sur la courbe
La tangente à l'origine rencontre l'asymptote exactement à t=τt = \tau

La constante de temps n'est pas seulement un produit RCRC à calculer : elle se lit sur n'importe quel relevé expérimental. On trace la tangente au départ, on la prolonge jusqu'à la valeur finale, et l'abscisse du croisement est τ\tau. La propriété est exacte, pas approchée.

La tangente a l'origine coupe l'asymptote a la constante de temps Courbe de charge d'un condensateur partant de zero et montant vers une valeur finale de douze volts, representee par une ligne horizontale en pointille. Une droite est tracee depuis l'origine, tangente a la courbe en ce point. Cette droite monte plus vite que la courbe et rencontre la ligne des douze volts a l'abscisse deux secondes, qui est exactement la constante de temps du systeme. Au meme instant, la courbe elle-meme n'a atteint que sept virgule cinquante-huit volts, soit soixante-trois virgule deux pour cent de la valeur finale. valeur finale : 12 V croisement la courbe est à 7,59 V soit 63,2 pour cent 2 4 6 8 3 6 9 temps en secondes ici la constante de temps vaut 2 secondes
  • 1 La propriété se démontre en deux lignes. La solution est y(t)=E(1−e−t/τ)y(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), donc y′(t)=Eτe−t/τy'(t) = \dfrac{E}{\tau}e^{-t/\tau} et la pente au départ vaut y′(0)=Eτy'(0) = \dfrac{E}{\tau}.
  • 2 Une droite partant de 00 avec cette pente atteint la hauteur EE au bout d'un temps EE/τ=τ\dfrac{E}{E/\tau} = \tau. Le croisement tombe donc exactement sur τ\tau, quels que soient EE et τ\tau : la figure ci-dessus en est un cas particulier, pas une coïncidence.
  • 3 C'est la méthode de mesure employée au laboratoire. Sur un relevé d'oscilloscope, on ne connaît ni RR, ni CC, ni τ\tau : on trace la tangente au départ, on lit l'abscisse du croisement, et l'on tient τ\tau. Autre lecture équivalente, à partir de la même figure : chercher l'instant où la courbe atteint 63,2%63{,}2\% de sa valeur finale.
Ce qu'il faut lire : Suis la droite depuis l'origine : elle part avec exactement la même inclinaison que la courbe, puis s'en détache parce que la courbe, elle, ralentit. Le point où la droite rencontre le pointillé horizontal te donne τ\tau. Descends ensuite à la verticale jusqu'à la courbe : tu tombes sur 7,597{,}59 V, et non sur 1212. Voilà la réponse à la question qu'on pose toujours : τ\tau n'est pas le temps de charge complète. C'est le temps qu'il faudrait si le système gardait sa vitesse de départ — or il ne la garde pas.
Charge avec E=12E = 12 V et τ=2\tau = 2 s : la tangente à l'origine coupe l'asymptote en t=2t = 2 s, où la courbe n'est qu'à 7,597{,}59 V.
Ce que « transitoire » veut dire
Le régime transitoire et ce qui vient après

Le système ne bascule pas d'un état à l'autre : il met un certain temps, et ce temps se mesure en multiples de τ\tau. Dans la zone colorée, la grandeur évolue encore nettement ; au-delà, elle est à moins de 1%1\% de sa valeur finale, et l'on convient qu'elle n'évolue plus.

Regime transitoire puis regime permanent Courbe de charge montant de zero vers dix, avec une bande coloree couvrant les cinq premieres constantes de temps. Quatre reperes sont marques sur la courbe : a une constante de temps elle atteint soixante-trois virgule deux pour cent de la valeur finale, a deux constantes quatre-vingt-six virgule cinq pour cent, a trois constantes quatre-vingt-quinze pour cent, et a cinq constantes quatre-vingt-dix-neuf virgule trois pour cent. Au-dela de la bande coloree, la courbe est visuellement confondue avec sa valeur finale. régime transitoire régime permanent valeur finale 1 tau 2 tau 3 tau 5 tau 63,2 pour cent 86,5 95,0 99,3 temps
  • 1 Les quatre pourcentages sont les valeurs exactes de 1−e−k1 - e^{-k} : 63,2%63{,}2\% pour k=1k = 1, 86,5%86{,}5\% pour k=2k = 2, 95,0%95{,}0\% pour k=3k = 3 et 99,3%99{,}3\% pour k=5k = 5. Ils ne dépendent ni de la grandeur étudiée, ni de la valeur de τ\tau — ils sont les mêmes pour tous les systèmes de ce type.
  • 2 La convention des 5τ5\tau n'est donc pas arbitraire : elle correspond à e−5≈0,007e^{-5} \approx 0{,}007, soit un écart résiduel inférieur à 1%1\%. C'est en général sous la précision de l'appareil de mesure, donc indiscernable de la valeur finale.
  • 3 Théoriquement, la valeur finale n'est jamais atteinte : une exponentielle ne s'annule pas. Il y a donc deux réponses à « quand est-ce fini ? » — jamais si l'on est rigoureux, à 5τ5\tau si l'on est pratique — et il faut savoir laquelle on donne.
Ce qu'il faut lire : Regarde à quelle vitesse les repères se rapprochent du pointillé horizontal : le premier est encore loin, le deuxième déjà bien plus haut, et à partir du troisième ils sont pratiquement collés. Ne confonds pas τ\tau et la durée du transitoire : τ\tau est l'unité de temps du système, la durée du transitoire en vaut cinq. Un système dont τ\tau vaut une milliseconde a fini en cinq millisecondes ; un système dont τ\tau vaut une heure met cinq heures. Même courbe, seule l'échelle change.
Régime transitoire (les cinq premiers τ\tau) et régime permanent : 63,263{,}2 puis 86,586{,}5, 95,095{,}0 et 99,399{,}3 pour cent de la valeur finale.
Ce que décide la condition initiale
Deux départs différents, une seule destination

Les deux courbes sont solutions de la même équation différentielle, avec deux conditions initiales opposées : l'une part de 00, l'autre de 1414. Elles convergent pourtant vers la même valeur 88. C'est l'équation qui fixe la destination ; la condition initiale ne choisit que le point de départ.

Deux solutions de la meme equation, avec deux conditions initiales Deux courbes sont tracees dans le meme repere. La premiere part de zero et monte ; la seconde part de quatorze et descend. Toutes deux se rapprochent de la meme valeur huit, marquee par une ligne horizontale en pointille, et l'ecart qui les separe se reduit continuellement. Au depart cet ecart vaut quatorze ; apres une constante de temps il ne vaut plus que cinq virgule quinze, soit trente-sept pour cent de sa valeur initiale. destination commune : 8 14 écart réduit à 5,15 1 tau 2 tau 3 tau 4 tau 5 tau départ à 0 départ à 14 temps
  • 1 Les deux courbes sont y(t)=8+(y0−8)e−t/τy(t) = 8 + (y_0 - 8)e^{-t/\tau} avec y0=0y_0 = 0 et y0=14y_0 = 14. Seul le coefficient (y0−8)(y_0 - 8) diffère : il vaut −8-8 pour l'une, +6+6 pour l'autre, ce qui explique que la première monte et que la seconde descende.
  • 2 Le terme e−t/τe^{-t/\tau} tend vers 00 dans les deux cas, donc les deux courbes tendent vers 88. La valeur finale y∞y_\infty est écrite dans l'équation ; la condition initiale, elle, n'apparaît que dans le coefficient devant l'exponentielle.
  • 3 L'écart entre les deux courbes vaut ∣y0,1−y0,2∣ e−t/τ|y_{0,1} - y_{0,2}|\,e^{-t/\tau} : il décroît exponentiellement, avec la même constante de temps. Au départ il vaut 1414 ; après un τ\tau il ne vaut plus que 14 e−1≈5,1514\,e^{-1} \approx 5{,}15, soit exactement 36,8%36{,}8\% de sa valeur initiale. Deux systèmes identiques oublient donc leur passé à la même vitesse qu'ils rejoignent leur cible.
Ce qu'il faut lire : Suis les deux courbes en même temps, de gauche à droite : elles se rapprochent l'une de l'autre sans jamais se croiser, et finissent par se confondre avec le pointillé. Retiens le partage des rôles : l'équation dit où l'on va, la condition initiale dit d'où l'on part. C'est pourquoi une équation différentielle seule ne suffit pas à décrire un système — il en existe une infinité de solutions, une par point de départ — et pourquoi, à l'inverse, connaître seulement l'état de départ ne te dit rien de l'état final.
Deux solutions de τy′+y=8\tau y' + y = 8, avec y(0)=0y(0) = 0 et y(0)=14y(0) = 14 : deux départs, une destination, et un écart divisé par ee à chaque τ\tau.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le régime permanent est atteint théoriquement à l'infini.

En pratique, on considère qu'après 5τ5\tau, le transitoire est terminé (UC≈0,993EU_C \approx 0{,}993E).

Ne pas confondre τ\tau (constante de temps en secondes) et la "durée du transitoire" (5τ5\tau).

💡 À retenir

  • L'équation τy′+y=y∞\tau y' + y = y_\infty a pour solution y(t)=y∞+(y0−y∞)e−t/τy(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)e^{-t/\tau} : exponentielle décroissante vers y∞y_\infty.
  • La constante de temps τ\tau fixe la rapidité du transitoire : à τ\tau, on est à 63,2%63{,}2\% ; à 5τ5\tau, à 99,3%99{,}3\%.
  • Dans un circuit RC : τ=RC\tau = RC. Les unités Ω×F=s\Omega \times F = s donnent bien un temps.
  • Deux cas classiques : charge (UC(0)=0→EU_C(0) = 0 \to E) et décharge (UC(0)=E→0U_C(0) = E \to 0). La décharge suit UC(t)=E⋅e−t/τU_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Charge condensateur RC, chute libre avec frottements

Mots-clés associés : Équation différentielleConstante de temps τRégime transitoireCircuit RC
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