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Équations Différentielles du 1er Ordre

Constante de temps τ, régime transitoire

🔬 Application physique-chimie : Charge condensateur RC, chute libre avec frottements
Une équation différentielle relie une grandeur à sa propre dérivée.

Dès que la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à son écart à une valeur cible, on obtient τdydt+y=y∞\tau \frac{dy}{dt} + y = y_\infty dont la solution est toujours exponentielle : y(t)=y∞+(y0−y∞)e−t/τy(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)e^{-t/\tau}.

La constante de temps τ\tau (tau) est l'empreinte temporelle du système : à t=τt = \tau, la grandeur a parcouru 63,2%63{,}2\% du chemin vers y∞y_\infty — ce n'est PAS le temps de chargement total.

En pratique, on considère le régime permanent atteint à 5τ5\tau (moins de 1%1\% d'écart).

Dans un circuit RC : τ=RC\tau = RC. Plus RR ou CC est grand, plus le transitoire est lent.

📖 Vocabulaire clé

Équation différentielle : Équation reliant une fonction inconnue y(t)y(t) à sa dérivée y′(t)y'(t) (et éventuellement ses dérivées d'ordres supérieurs). L'ordre de l'ED est celui de la plus haute dérivée présente.
Constante de temps τ\tau : Paramètre qui caractérise la rapidité de la réponse du système. À t=τt = \tau, la grandeur a atteint 63,2%63{,}2\% de sa valeur finale. Le régime permanent est considéré atteint à 5τ5\tau.
Régime transitoire : Phase pendant laquelle le système évolue depuis sa condition initiale vers sa valeur d'équilibre. La durée du transitoire est d'environ 5τ5\tau.
Régime permanent : État atteint quand le transitoire est terminé : la grandeur ne varie plus (ou de manière négligeable). y(t)≈y∞y(t) \approx y_\infty pour t≫τt \gg \tau.

📋 Méthode de résolution

  1. 1 Forme canonique : écrire sous τdydt+y=y∞\tau \dfrac{dy}{dt} + y = y_{\infty} où τ\tau est la constante de temps et y∞y_{\infty} la valeur en régime permanent.
  2. 2 Solution générale : y(t)=y∞+(y0−y∞)e−t/τy(t) = y_{\infty} + (y_0 - y_{\infty}) e^{-t/\tau} où y0=y(0)y_0 = y(0) est la condition initiale.
  3. 3 Paramètres physiques : circuit RC, τ=RC\tau = RC ; charge depuis U0=0U_0 = 0 : UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un circuit RC avec R=5R = 5 kΩ et C=200C = 200 μF est alimenté par un générateur E=12E = 12 V. Le condensateur est initialement déchargé. Calculer UCU_C à t=2t = 2 s.
Démarche :
  1. Calcul de la constante de temps : τ=RC=5×103×200×10−6=1\tau = RC = 5 \times 10^3 \times 200 \times 10^{-6} = 1 s.
  2. Expression de UC(t)U_C(t) : UC(t)=E(1−e−t/τ)=12(1−e−t)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}) = 12(1 - e^{-t}).
  3. À t=2t = 2 s : UC(2)=12(1−e−2)=12(1−0,1353)=12×0,8647U_C(2) = 12(1 - e^{-2}) = 12(1 - 0{,}1353) = 12 \times 0{,}8647.
  4. UC(2)≈10,38U_C(2) \approx 10{,}38 V.
Réponse : UC(2)≈10,38U_C(2) \approx 10{,}38 V. Après 2τ2\tau, le condensateur a atteint 86,5%86{,}5\% de la tension finale EE.

📐 Formules clés

τdUCdt+UC=E\tau \dfrac{dU_C}{dt} + U_C = E (circuit RC en charge)
UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) (solution en charge)
τ=R×C\tau = R \times C (circuit RC)
À t=τt = \tau : UC(τ)=E(1−e−1)≈0,632EU_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0{,}632 E

🎨 Illustration

Courbe de charge d'un condensateur
UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}) avec E=12E = 12 V et τ=1\tau = 1 s (exemple du cours)

Tracé point par point de la tension aux bornes du condensateur pendant la charge à travers une résistance, avec le repère caractéristique à τ\tau où 63,2%63{,}2\% de la tension finale EE est atteinte.

Charge d'un condensateur a travers une resistance Courbe de la tension U_C en fonction du temps pour un circuit RC en charge, avec E = 12 V et tau = 1 s. Le point a t = tau est marque : U_C atteint 63,2% de la tension finale E. La courbe se rapproche de E sans jamais l'atteindre exactement ; le point a t = 2 s (exemple du cours) et le point a 5 tau (regime permanent conventionnel) sont egalement marques. E = 12 V 63,2 % de E t = 2 s : 10,38 V 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ t (s) 0 3 6 9 U_C (V)
  • 1 À t=τ=1t=\tau=1 s, UC(τ)=E(1−e−1)≈7,58U_C(\tau)=E(1-e^{-1})\approx 7{,}58 V, soit 63,2%63{,}2\% de EE — c'est la définition même de τ\tau, quel que soit le circuit.
  • 2 À t=2t=2 s (l'exemple du cours), UC(2)≈10,38U_C(2)\approx 10{,}38 V, soit 86,5%86{,}5\% de EE.
  • 3 Le régime permanent est atteint conventionnellement à 5τ=55\tau=5 s, où UC≈11,92U_C\approx 11{,}92 V (99,3%99{,}3\% de EE) — la courbe ne touche jamais exactement l'asymptote EE.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord la ligne pointillée horizontale qui indique EE, la valeur finale jamais atteinte exactement. Puis repère le point à τ\tau : il est toujours à 63,2%63{,}2\% du chemin parcouru, quel que soit le circuit.
Charge d'un condensateur à travers une résistance : UC(t)=E(1−e−t/τ)U_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}), avec E=12E = 12 V et τ=RC=1\tau = RC = 1 s (mêmes valeurs que l'exemple du cours).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le régime permanent est atteint théoriquement à l'infini.

En pratique, on considère qu'après 5τ5\tau, le transitoire est terminé (UC≈0,993EU_C \approx 0{,}993E).

Ne pas confondre τ\tau (constante de temps en secondes) et la "durée du transitoire" (5τ5\tau).

💡 À retenir

  • L'équation τy′+y=y∞\tau y' + y = y_\infty a pour solution y(t)=y∞+(y0−y∞)e−t/τy(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)e^{-t/\tau} : exponentielle décroissante vers y∞y_\infty.
  • La constante de temps τ\tau fixe la rapidité du transitoire : à τ\tau, on est à 63,2%63{,}2\% ; à 5τ5\tau, à 99,3%99{,}3\%.
  • Dans un circuit RC : τ=RC\tau = RC. Les unités Ω×F=s\Omega \times F = s donnent bien un temps.
  • Deux cas classiques : charge (UC(0)=0→EU_C(0) = 0 \to E) et décharge (UC(0)=E→0U_C(0) = E \to 0). La décharge suit UC(t)=E⋅e−t/τU_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Charge condensateur RC, chute libre avec frottements

Mots-clés associés : Équation différentielleConstante de temps τRégime transitoireCircuit RC
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