Matières › 📐 Mathématiques › Lycée › Intégration et Primitives
∫

Intégration et Primitives

Intégrale définie, aire sous la courbe, primitives

🔬 Application physique-chimie : Calcul du travail d'une force, équations horaires
Voici une question à laquelle aucune formule de ton collège ne répond.

Tu sais calculer l'aire d'un rectangle, d'un triangle, d'un disque. Mais quelle est l'aire de la surface comprise entre l'axe des abscisses et la courbe de f(x)=x2f(x) = x^2, entre x=0x = 0 et x=3x = 3 ?

Ce n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni un morceau de disque. Son bord supérieur est courbe, et il l'est différemment en chaque point. Essaie : tu peux l'encadrer — elle est plus grande que le triangle qu'on lit dessous, plus petite que le rectangle de hauteur 99 — mais tu ne peux pas la calculer.

La sortie est inattendue. Découpe la surface en tranches verticales très fines. Chaque tranche est presque un rectangle, dont l'aire est facile. Additionne-les toutes : tu obtiens une valeur approchée, et elle devient de plus en plus juste à mesure que les tranches s'affinent.

C'est cette limite qu'on appelle l'intégrale, notée ∫03x2 dx\int_0^3 x^2\,dx — le signe ∫\int est un SS allongé, le SS de « somme ».

Et voici le coup de théâtre du chapitre, qui a trois siècles : pour calculer cette somme infinie, il suffit de remonter une dérivation. Trouver une fonction FF dont la dérivée est ff, puis faire une soustraction. Rien de plus.

Une question d'aire se règle par un calcul de dérivée : c'est le lien le plus surprenant de toute l'analyse, et il porte un nom — le théorème fondamental.

📖 Vocabulaire clé

Primitive : Une fonction FF est une primitive de ff sur un intervalle II si F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) pour tout x∈Ix \in I. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si FF est une primitive de ff, toutes les primitives sont F+CF + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.
Intégrale définie : ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) où FF est une primitive quelconque de ff. C'est l'aire signée entre la courbe de ff et l'axe des abscisses sur [a;b][a;b].
Aire signée : L'intégrale peut être négative si la courbe est SOUS l'axe OxOx. L'aire géométrique (toujours positive) est ∫ab∣f(x)∣ dx\int_a^b |f(x)|\,dx.
Valeur moyenne : La valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b] est μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. C'est la hauteur du rectangle de même aire que la surface sous la courbe.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Primitive de fonctions usuelles : trouver F(x)F(x) telle que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) ; la primitive de xnx^n est xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (pour n≠−1n \neq -1).
  2. 2 Intégrale définie : ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) (le crochet).
  3. 3 Conditions initiales : utiliser les conditions initiales pour fixer la constante d'intégration CC. Si v(0)=v0v(0) = v_0, on en déduit CC.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer l'aire entre la courbe de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 et l'axe des abscisses sur [0;2][0;2].
Démarche :
  1. On cherche la primitive de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 : F(x)=x33−xF(x) = \dfrac{x^3}{3} - x.
  2. On calcule l'intégrale : ∫02(x2−1) dx=[x33−x]02=(83−2)−0=23\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_0^2 = \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - 0 = \dfrac{2}{3}.
  3. Attention : ff change de signe en x=1x = 1. Sur [0;1][0;1], f<0f < 0 et sur [1;2][1;2], f>0f > 0.
  4. L'aire géométrique est : ∫01∣f(x)∣ dx+∫12f(x) dx=23+43=2\int_0^1 |f(x)|\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2.
Réponse : L'intégrale vaut 23\dfrac{2}{3}, mais l'aire géométrique réelle est 22 unités d'aire (il faut tenir compte du changement de signe).

📐 Formules clés

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C (pour n≠−1n \neq -1)
∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x + C
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C

🎨 Illustrations

Aire signée
Intégrale de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sur [0 ; 2][0\,;\,2] (exemple du cours)

La courbe passe sous l'axe des abscisses sur [0 ; 1][0\,;\,1] (aire hachurée en rouge, contribution négative) puis au-dessus sur [1 ; 2][1\,;\,2] (aire hachurée en vert, contribution positive). L'intégrale ∫02f(x) dx=23\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{2}{3} est la somme signée de ces deux aires ; l'aire géométrique réelle (sans compensation de signe) vaut 22.

Aires positive et negative de f(x) = x^2 - 1 sur [0;2] Courbe parabolique passant sous l'axe des abscisses entre 0 et 1 (aire negative hachuree en rouge) puis au-dessus entre 1 et 2 (aire positive hachuree en vert). L'integrale signee vaut 2/3 et l'aire geometrique totale vaut 2. f(x) = x² − 1 Aire négative 2/3 Aire positive 4/3 0 1 2 -1 1 2 3 x y
  • 1 Sur [0 ; 1][0\,;\,1], f(x)<0f(x) < 0 : la courbe est sous l'axe. La contribution signée à l'intégrale est négative (−23-\dfrac{2}{3}), hachurée en rouge.
  • 2 Sur [1 ; 2][1\,;\,2], f(x)>0f(x) > 0 : la courbe est au-dessus de l'axe. La contribution signée est positive (43\dfrac{4}{3}), hachurée en vert.
  • 3 L'intégrale ∫02f(x) dx=−23+43=23\int_0^2 f(x)\,dx = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} additionne les deux contributions AVEC leur signe. L'aire géométrique réelle (toujours positive) est 23+43=2\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2.
Ce qu'il faut lire : Le rouge et le vert distinguent les deux zones où la courbe change de côté par rapport à l'axe. L'intégrale les additionne avec leur signe ; l'aire géométrique les additionne en valeur absolue.
Aires signées de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sur [0 ; 2][0\,;\,2] : −23-\dfrac{2}{3} (rouge) et 43\dfrac{4}{3} (vert), soit ∫02f(x) dx=23\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{2}{3} et une aire géométrique de 22.
D'où vient l'intégrale
Des tranches de plus en plus fines

Avant d'être une formule, l'intégrale est une somme d'aires de rectangles. On découpe [0 ; 4][0\,;\,4] en tranches de même largeur, on remplace la courbe par un palier sur chaque tranche, et on additionne. Plus les tranches sont fines, plus la somme s'approche de l'aire cherchée.

Somme de rectangles sous une courbe, pour deux puis quatre puis huit tranches Trois vignettes a la meme echelle montrent la meme courbe croissante tracee au-dessus d'un segment allant de zero a quatre. Dans la premiere vignette, l'aire sous la courbe est approchee par deux rectangles larges dont la somme des aires vaut six. Dans la deuxieme, quatre rectangles plus etroits donnent une somme de sept virgule cinq. Dans la troisieme, huit rectangles encore plus etroits donnent huit virgule trois sept cinq. Les rectangles restent toujours sous la courbe et la somme se rapproche de l'aire exacte, qui vaut environ neuf virgule trente-trois. deux tranches somme : 6 quatre tranches somme : 7,5 huit tranches somme : 8,375
  • 1 Les trois vignettes montrent la même courbe sur le même intervalle, à la même échelle : la seule chose qui change est la largeur des tranches.
  • 2 Les sommes valent 66, puis 7,57{,}5, puis 8,3758{,}375 : elles augmentent, et elles se rapprochent de l'aire exacte 283≈9,33\dfrac{28}{3} \approx 9{,}33.
  • 3 Chaque rectangle reste sous la courbe, parce que sa hauteur est prise au bord gauche de sa tranche. C'est pourquoi toutes les sommes sous-estiment l'aire, et jamais l'inverse.
Ce qu'il faut lire : Regarde l'espace blanc entre le haut des rectangles et la courbe : c'est exactement ce que la somme oublie. En passant de deux tranches à huit, cet espace se morcelle et se réduit. L'intégrale est ce vers quoi la somme tend quand on continue à découper — la notation ∫\int est d'ailleurs un SS allongé, le SS de « somme ».
Approximation de l'aire sous f(x)=x24+1f(x) = \dfrac{x^2}{4} + 1 sur [0 ; 4][0\,;\,4] par 22, 44 puis 88 rectangles.
Pourquoi la constante
Une infinité de primitives, une seule pente

Ces trois courbes sont des primitives de la même fonction f(x)=xf(x) = x. Elles ne se superposent pas — elles sont décalées verticalement — mais en une abscisse donnée, leurs trois tangentes ont exactement la même pente. C'est tout ce que dit le +C+C.

Trois primitives de la meme fonction, decalees verticalement Trois paraboles identiques sont tracees dans un repere, decalees verticalement les unes des autres d'une hauteur constante d'une unite et demie. En l'abscisse un virgule six, une tangente est tracee sur chacune des trois courbes. Les trois tangentes sont paralleles entre elles : elles ont toutes la meme pente, egale a un virgule six. Seule la hauteur des courbes change, jamais leur inclinaison. C = 1,5 C = 0 C = −1,5 même pente en x = 1,6 x
  • 1 Les trois courbes sont F(x)=x22+CF(x) = \dfrac{x^2}{2} + C pour C=−1,5C = -1{,}5, C=0C = 0 et C=1,5C = 1{,}5 : elles se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.
  • 2 En x=1,6x = 1{,}6, les trois tangentes ont la même pente 1,61{,}6, c'est-à-dire f(1,6)f(1{,}6). La dérivée ne voit pas la constante, puisque (F+C)′=F′(F + C)' = F'.
  • 3 C'est pourquoi une primitive ne suffit pas à décrire un mouvement : il faut une condition initiale pour choisir laquelle des trois courbes est la bonne.
Ce qu'il faut lire : Pose une règle sur les trois tangentes : tu verras qu'elles sont parallèles. Quelle que soit la courbe choisie, la pente est la même — donc la dérivée est la même, donc les trois sont bien des primitives de la même fonction. Et si l'énoncé te dit « à l'instant zéro, le mobile est à 55 mètres », il te désigne une seule de ces courbes.
Trois primitives de f(x)=xf(x) = x, et leurs tangentes de pente 1,61{,}6 en x=1,6x = 1{,}6.
Le piège du chapitre
Une intégrale nulle sous une courbe bien visible

Sur [0 ; 2π][0\,;\,2\pi], l'intégrale de sin⁡\sin vaut 00. Pourtant la courbe n'est nulle part plate et la surface qu'elle délimite est bien réelle : son aire géométrique vaut 44. Deux nombres, une seule figure — et c'est la différence entre aire signée et aire géométrique.

Une sinusoide dont les deux bosses se compensent exactement La courbe du sinus est tracee de zero a deux pi. Entre zero et pi elle forme une bosse au-dessus de l'axe des abscisses, dont l'aire vaut deux. Entre pi et deux pi elle forme un creux de meme forme sous l'axe, dont l'aire vaut aussi deux mais compte negativement. Les deux contributions s'annulent, donc l'integrale vaut zero, alors que l'aire geometrique totale de la surface dessinee vaut quatre. aire + 2 aire − 2 π 2π 1 −1 intégrale : 0
  • 1 Sur [0 ; π][0\,;\,\pi], sin⁡x>0\sin x > 0 : la bosse compte positivement, et ∫0πsin⁡x dx=2\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2.
  • 2 Sur [π ; 2π][\pi\,;\,2\pi], sin⁡x<0\sin x < 0 : le creux compte négativement, et ∫π2πsin⁡x dx=−2\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -2.
  • 3 Total : ∫02πsin⁡x dx=2+(−2)=0\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 2 + (-2) = 0, alors que l'aire géométrique de la surface dessinée vaut 2+2=42 + 2 = 4. Un même dessin, deux nombres différents — parce que ce ne sont pas deux mesures de la même chose.
Ce qu'il faut lire : Une intégrale nulle ne veut pas dire « rien sous la courbe ». Elle veut dire que ce qui est au-dessus de l'axe compense exactement ce qui est en dessous. Chaque fois qu'on te demande une aire, cherche donc d'abord où la fonction change de signe, et découpe l'intervalle en ces points : sinon, tu risques d'annoncer 00 pour une surface parfaitement visible.
La fonction sin⁡\sin sur [0 ; 2π][0\,;\,2\pi] : intégrale nulle, aire géométrique égale à 44.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

On divise par (n+1)(n+1), on ne multiplie pas !

✅ La suggestion

La primitive de 3x23x^2 est 3x33=x3\dfrac{3x^3}{3} = x^3, PAS 6x36x^3.

Et n'oublie jamais la constante +C+C pour une primitive indéfinie !

💡 À retenir

  • La primitive de xnx^n est xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C — on augmente l'exposant de 11 et on divise par le nouvel exposant.
  • L'intégrale définie ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) : le crochet évalue la primitive aux bornes.
  • L'intégrale est une aire SIGNÉE : si f<0f < 0, la contribution est négative. Pour l'aire géométrique, intégrer ∣f∣|f|.
  • Ne jamais oublier la constante +C+C pour une primitive indéfinie, et utiliser les conditions initiales pour la déterminer en physique.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du travail d'une force, équations horaires

Mots-clés associés : PrimitiveIntégraleAireConditions initiales
← Fonctions Exponentielle et Logarithme 26 / 36 → Équations Différentielles du 1er Ordre