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Intégration et Primitives

Intégrale définie, aire sous la courbe, primitives

🔬 Application physique-chimie : Calcul du travail d'une force, équations horaires
L'intégrale est à la fois la "somme infinie de tranches infiniment minces" et l'opération inverse de la dérivation.

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx représente l'aire signée entre la courbe et l'axe des abscisses sur [a;b][a;b] : positive si f>0f > 0, négative si f<0f < 0.

En physique : ∫t1t2v(t) dt\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt est la distance parcourue, ∫0dF(x) dx\int_0^d F(x)\,dx est le travail d'une force.

Pour trouver une primitive FF de ff, on "remonte" les règles de dérivation : la primitive de xnx^n est xn+1/(n+1)x^{n+1}/(n+1) — on DIVISE par n+1n+1, on ne multiplie pas.

L'erreur classique : appliquer la règle de la dérivée (multiplier par l'exposant) au lieu de la règle de la primitive (diviser par l'exposant+1).

📖 Vocabulaire clé

Primitive : Une fonction FF est une primitive de ff sur un intervalle II si F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) pour tout x∈Ix \in I. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si FF est une primitive de ff, toutes les primitives sont F+CF + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.
Intégrale définie : ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) où FF est une primitive quelconque de ff. C'est l'aire signée entre la courbe de ff et l'axe des abscisses sur [a;b][a;b].
Aire signée : L'intégrale peut être négative si la courbe est SOUS l'axe OxOx. L'aire géométrique (toujours positive) est ∫ab∣f(x)∣ dx\int_a^b |f(x)|\,dx.
Valeur moyenne : La valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b] est μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. C'est la hauteur du rectangle de même aire que la surface sous la courbe.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Primitive de fonctions usuelles : trouver F(x)F(x) telle que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) ; la primitive de xnx^n est xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (pour n≠−1n \neq -1).
  2. 2 Intégrale définie : ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) (le crochet).
  3. 3 Conditions initiales : utiliser les conditions initiales pour fixer la constante d'intégration CC. Si v(0)=v0v(0) = v_0, on en déduit CC.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer l'aire entre la courbe de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 et l'axe des abscisses sur [0;2][0;2].
Démarche :
  1. On cherche la primitive de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 : F(x)=x33−xF(x) = \dfrac{x^3}{3} - x.
  2. On calcule l'intégrale : ∫02(x2−1) dx=[x33−x]02=(83−2)−0=23\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_0^2 = \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - 0 = \dfrac{2}{3}.
  3. Attention : ff change de signe en x=1x = 1. Sur [0;1][0;1], f<0f < 0 et sur [1;2][1;2], f>0f > 0.
  4. L'aire géométrique est : ∫01∣f(x)∣ dx+∫12f(x) dx=23+43=2\int_0^1 |f(x)|\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2.
Réponse : L'intégrale vaut 23\dfrac{2}{3}, mais l'aire géométrique réelle est 22 unités d'aire (il faut tenir compte du changement de signe).

📐 Formules clés

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C (pour n≠−1n \neq -1)
∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x + C
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C

🎨 Illustration

Aire signée
Intégrale de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sur [0 ; 2][0\,;\,2] (exemple du cours)

La courbe passe sous l'axe des abscisses sur [0 ; 1][0\,;\,1] (aire hachurée en rouge, contribution négative) puis au-dessus sur [1 ; 2][1\,;\,2] (aire hachurée en vert, contribution positive). L'intégrale ∫02f(x) dx=23\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{2}{3} est la somme signée de ces deux aires ; l'aire géométrique réelle (sans compensation de signe) vaut 22.

Aires positive et negative de f(x) = x^2 - 1 sur [0;2] Courbe parabolique passant sous l'axe des abscisses entre 0 et 1 (aire negative hachuree en rouge) puis au-dessus entre 1 et 2 (aire positive hachuree en vert). L'integrale signee vaut 2/3 et l'aire geometrique totale vaut 2. f(x) = x² − 1 Aire négative 2/3 Aire positive 4/3 0 1 2 -1 1 2 3 x y
  • 1 Sur [0 ; 1][0\,;\,1], f(x)<0f(x) < 0 : la courbe est sous l'axe. La contribution signée à l'intégrale est négative (−23-\dfrac{2}{3}), hachurée en rouge.
  • 2 Sur [1 ; 2][1\,;\,2], f(x)>0f(x) > 0 : la courbe est au-dessus de l'axe. La contribution signée est positive (43\dfrac{4}{3}), hachurée en vert.
  • 3 L'intégrale ∫02f(x) dx=−23+43=23\int_0^2 f(x)\,dx = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} additionne les deux contributions AVEC leur signe. L'aire géométrique réelle (toujours positive) est 23+43=2\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2.
Ce qu'il faut lire : Le rouge et le vert distinguent les deux zones où la courbe change de côté par rapport à l'axe. L'intégrale les additionne avec leur signe ; l'aire géométrique les additionne en valeur absolue.
Aires signées de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sur [0 ; 2][0\,;\,2] : −23-\dfrac{2}{3} (rouge) et 43\dfrac{4}{3} (vert), soit ∫02f(x) dx=23\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{2}{3} et une aire géométrique de 22.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

On divise par (n+1)(n+1), on ne multiplie pas !

✅ La suggestion

La primitive de 3x23x^2 est 3x33=x3\dfrac{3x^3}{3} = x^3, PAS 6x36x^3.

Et n'oublie jamais la constante +C+C pour une primitive indéfinie !

💡 À retenir

  • La primitive de xnx^n est xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C — on augmente l'exposant de 11 et on divise par le nouvel exposant.
  • L'intégrale définie ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) : le crochet évalue la primitive aux bornes.
  • L'intégrale est une aire SIGNÉE : si f<0f < 0, la contribution est négative. Pour l'aire géométrique, intégrer ∣f∣|f|.
  • Ne jamais oublier la constante +C+C pour une primitive indéfinie, et utiliser les conditions initiales pour la déterminer en physique.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du travail d'une force, équations horaires

Mots-clés associés : PrimitiveIntégraleAireConditions initiales
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