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Fonctions Exponentielle et Logarithme

pH, demi-vie radioactive, décroissance

🔬 Application physique-chimie : pH = −log[H₃O⁺], décroissance radioactive, décibels

L'exponentielle $e^x$ est l'unique fonction égale à sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$ .

Cette propriété en fait l'outil naturel pour tout phénomène dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même : croissance bactérienne, décroissance radioactive, charge de condensateur.

Le logarithme naturel $\ln$ est l'inverse de $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ .

Le logarithme DÉCIMAL $\log = \log_{10}$ est différent : $\log(x) = \ln(x)/\ln(10) \approx \ln(x)/2{,}303$ — confondre $\log$ et $\ln$ est l'erreur classique.

En chimie, $pH = -\log_{10}[H_3O^+]$ : une solution de $pH = 4$ a $[H_3O^+] = 10^{-4}$ mol/L. Une unité de pH correspond à un facteur $10$ sur la concentration en ions.

📖 Vocabulaire clé

Fonction exponentielle : Unique fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

telle que

f' = f

f(0) = 1

. On la note

\exp

e^x

. Elle est strictement positive et strictement croissante sur

\mathbb{R}

Logarithme népérien : Fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur

]0;+\infty[

. Pour tout

x > 0

\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x

. Sa dérivée est

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

Logarithme décimal : Logarithme en base

10

\log_{10}(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}

. Propriété clé :

\log_{10}(10^n) = n

. Utilisé en chimie (pH) et en acoustique (décibels).

Demi-vie ( $t_{1/2}$ ) : Durée au bout de laquelle la moitié d'un échantillon radioactif s'est désintégrée. Reliée à la constante de décroissance par

\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}

📋 Propriétés essentielles

1 Logarithme décimal et pH : $\log(a \times b) = \log a + \log b$ ; $\log(10^n) = n$ ; $pH = -\log[H_3O^+]$ .
2 Exponentielle naturelle : $(e^x)' = e^x$ (unique égale à sa dérivée). Propriété : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ .
3 Croissance exponentielle : demi-vie après $k$ périodes : $m = m_0 \times (1/2)^k$ ; continu : $m(t) = m_0 e^{-\lambda t}$ où $\lambda = \ln 2 / t_{1/2}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Le strontium 90 (

^{90}

Sr) a une demi-vie

t_{1/2} = 28{,}8

ans. Un échantillon contient initialement

m_0 = 200

mg. Quelle masse reste après

50

ans ?

Démarche :

On calcule la constante de décroissance : $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{28{,}8} \approx 0{,}02407\ \text{an}^{-1}$ .
On applique la loi de décroissance : $m(t) = m_0 e^{-\lambda t} = 200 \times e^{-0{,}02407 \times 50}$ .
On calcule l'exposant : $-0{,}02407 \times 50 = -1{,}2035$ , donc $e^{-1{,}2035} \approx 0{,}3005$ .
$m(50) = 200 \times 0{,}3005 \approx 60{,}1$ mg.

Réponse : Après

50

ans, il reste environ

60{,}1

mg sur les

200

mg initiaux, soit

30\%

de l'échantillon.

📐 Formules clés

pH = -\log[H_3O^+]

[H_3O^+] = 10^{-pH}

m(t) = m_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}} = m_0 e^{-\lambda t}

\log(10^n) = n

;

\ln(e^n) = n

🎨 Illustration

Décroissance radioactive

m(t) = m_0 e^{-\lambda t}

avec

m_0 = 200

mg et

t_{1/2} = 28{,}8

ans (strontium 90, exemple du cours)

Tracé point par point de la masse restante de strontium 90 au cours du temps, avec les paliers de demi-vie ( $t_{1/2}$ , $2t_{1/2}$ , $3t_{1/2}$ ) marqués et vérifiés par calcul.

1 À chaque demi-vie $t_{1/2}=28{,}8$ ans, la masse est divisée par $2$ : $200 \to 100 \to 50 \to 25$ mg — c'est la définition même de la demi-vie, vérifiée par $\lambda = \ln 2 / t_{1/2} \approx 0{,}02407$ an $^{-1}$ .
2 À $t=50$ ans (l'exemple du cours, entre $1$ et $2$ demi-vies), il reste $m(50) = 200\,e^{-\lambda \times 50} \approx 60{,}0$ mg, soit environ $30\%$ de la masse initiale.
3 La courbe s'aplatit progressivement mais ne touche jamais l'axe $m=0$ : en théorie, il reste toujours une trace de l'échantillon, aussi petite soit-elle.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les trois paliers régulièrement espacés dans le temps (une demi-vie à chaque fois) : la masse y est systématiquement divisée par

2

, ce qui donne la forme caractéristique en "marches qui s'aplatissent" d'une décroissance exponentielle.

Décroissance radioactive du strontium 90 :

m(t) = m_0\,e^{-\lambda t}

, avec

m_0 = 200

mg et

t_{1/2} = 28{,}8

ans (mêmes valeurs que l'exemple du cours).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne confonds pas $\log$ (logarithme base 10) et $\ln$ (logarithme naturel, base $e$ ).

En chimie, le pH utilise le $\log$ base 10.

✅ La suggestion

Dans les équations différentielles de la radioactivité, on utilise $\ln$ .

Relation : $\log(x) = \ln(x) / \ln(10) \approx \ln(x) / 2{,}303$ .

💡 À retenir

$e^x$ est l'unique fonction égale à sa propre dérivée, strictement positive, avec $e^0 = 1$ et $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ .
$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ . Ne jamais confondre $\ln$ (base $e$ ) et $\log$ (base $10$ ).
La décroissance radioactive suit $m(t) = m_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \ln 2 / t_{1/2}$ — après $k$ demi-vies, il reste $m_0 / 2^k$ .
Le pH utilise le logarithme DÉCIMAL : $pH = -\log_{10}[H_3O^+]$ . Une unité de pH = un facteur $10$ sur la concentration.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
pH = −log[H₃O⁺], décroissance radioactive, décibels

Mots-clés associés : LogarithmepHExponentielleDemi-vie

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