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Fonctions Exponentielle et Logarithme

pH, demi-vie radioactive, décroissance

🔬 Application physique-chimie : pH = −log[H₃O⁺], décroissance radioactive, décibels
On te dit qu'un échantillon radioactif a une demi-vie de 88 jours : tous les 88 jours, il en reste la moitié. Tu pars de 160160 mg.

Au bout de 88 jours, il en reste 8080. Au bout de 1616, il en reste 4040. Au bout de 2424, 2020. Jusque-là, tu n'as besoin de rien de neuf : tu divises par 22 à chaque palier.

Maintenant la vraie question : combien en reste-t-il au bout de 1212 jours ?

Douze jours, c'est entre le premier et le deuxième palier. La réponse qui vient naturellement, c'est de couper la poire en deux : entre 8080 et 4040, on prendrait 6060.

Teste cette idée, elle se réfute toute seule. Si l'on « coupe la poire en deux » à chaque fois, alors après 44 jours il resterait 120120, puis après 44 jours de plus 8080 — d'accord jusqu'ici. Mais recommence avec des pas de 22 jours : 140140, 120120, 100100, 8080. Puis avec des pas de 11 jour : tu n'obtiens plus les mêmes nombres intermédiaires. Une réponse qui dépend de la façon dont on découpe le temps ne peut pas être la bonne.

Ce qui est constant ici n'est pas ce qu'on enlève, c'est ce par quoi on multiplie. Chaque jour, la masse est multipliée par un même facteur, légèrement inférieur à 11. Sur 88 jours, ces facteurs s'accumulent jusqu'à donner exactement 12\dfrac{1}{2}.

Une grandeur qui se multiplie par un facteur constant à chaque instant, cela porte un nom : c'est une exponentielle. Et pour faire le chemin inverse — retrouver la durée à partir de ce qu'il reste — il faudra son miroir, le logarithme.

📖 Vocabulaire clé

Fonction exponentielle : Unique fonction ff définie sur R\mathbb{R} telle que f′=ff' = f et f(0)=1f(0) = 1. On la note exp⁡\exp ou exe^x. Elle est strictement positive et strictement croissante sur R\mathbb{R}.
Logarithme népérien : Fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Pour tout x>0x > 0 : ln⁡(x)=y⇔ey=x\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x. Sa dérivée est (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}.
Logarithme décimal : Logarithme en base 1010 : log⁡10(x)=ln⁡xln⁡10\log_{10}(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}. Propriété clé : log⁡10(10n)=n\log_{10}(10^n) = n. Utilisé en chimie (pH) et en acoustique (décibels).
Demi-vie (t1/2t_{1/2}) : Durée au bout de laquelle la moitié d'un échantillon radioactif s'est désintégrée. Reliée à la constante de décroissance par λ=ln⁡2t1/2\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}.

📋 Propriétés essentielles

  1. 1 Logarithme décimal et pH : log⁡(a×b)=log⁡a+log⁡b\log(a \times b) = \log a + \log b ; log⁡(10n)=n\log(10^n) = n ; pH=−log⁡[H3O+]pH = -\log[H_3O^+].
  2. 2 Exponentielle naturelle : (ex)′=ex(e^x)' = e^x (unique égale à sa dérivée). Propriété : ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^b.
  3. 3 Croissance exponentielle : demi-vie après kk périodes : m=m0×(1/2)km = m_0 \times (1/2)^k ; continu : m(t)=m0e−λtm(t) = m_0 e^{-\lambda t} où λ=ln⁡2/t1/2\lambda = \ln 2 / t_{1/2}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Le strontium 90 (90^{90}Sr) a une demi-vie t1/2=28,8t_{1/2} = 28{,}8 ans. Un échantillon contient initialement m0=200m_0 = 200 mg. Quelle masse reste après 5050 ans ?
Démarche :
  1. On calcule la constante de décroissance : λ=ln⁡2t1/2=0,69328,8≈0,02407 an−1\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{28{,}8} \approx 0{,}02407\ \text{an}^{-1}.
  2. On applique la loi de décroissance : m(t)=m0e−λt=200×e−0,02407×50m(t) = m_0 e^{-\lambda t} = 200 \times e^{-0{,}02407 \times 50}.
  3. On calcule l'exposant : −0,02407×50=−1,2035-0{,}02407 \times 50 = -1{,}2035, donc e−1,2035≈0,3005e^{-1{,}2035} \approx 0{,}3005.
  4. m(50)=200×0,3005≈60,1m(50) = 200 \times 0{,}3005 \approx 60{,}1 mg.
Réponse : Après 5050 ans, il reste environ 60,160{,}1 mg sur les 200200 mg initiaux, soit 30%30\% de l'échantillon.

📐 Formules clés

pH=−log⁡[H3O+]pH = -\log[H_3O^+]
[H3O+]=10−pH[H_3O^+] = 10^{-pH}
m(t)=m0(12)t/t1/2=m0e−λtm(t) = m_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}} = m_0 e^{-\lambda t}
log⁡(10n)=n\log(10^n) = n ; ln⁡(en)=n\ln(e^n) = n

🎨 Illustrations

Décroissance radioactive
m(t)=m0e−λtm(t) = m_0 e^{-\lambda t} avec m0=200m_0 = 200 mg et t1/2=28,8t_{1/2} = 28{,}8 ans (strontium 90, exemple du cours)

Tracé point par point de la masse restante de strontium 90 au cours du temps, avec les paliers de demi-vie (t1/2t_{1/2}, 2t1/22t_{1/2}, 3t1/23t_{1/2}) marqués et vérifiés par calcul.

Decroissance radioactive du strontium 90 Courbe de la masse restante m(t) en fonction du temps pour le strontium 90, avec m0 = 200 mg et une demi-vie de 28,8 ans. Trois paliers de demi-vie sont marques : a 28,8 ans il reste 100 mg (la moitie), a 57,6 ans il reste 50 mg (le quart), a 86,4 ans il reste 25 mg (le huitieme). Le point a t = 50 ans, repris de l'exemple du cours, est egalement marque avec une masse restante d'environ 60 mg. m0 = 200 mg 100 mg (1/2) 50 mg (1/4) 25 mg (1/8) t = 50 ans 0 t½ = 28,8 ans 2t½ = 57,6 ans 3t½ = 86,4 ans t (années) 0 50 150 m (mg)
  • 1 À chaque demi-vie t1/2=28,8t_{1/2}=28{,}8 ans, la masse est divisée par 22 : 200→100→50→25200 \to 100 \to 50 \to 25 mg — c'est la définition même de la demi-vie, vérifiée par λ=ln⁡2/t1/2≈0,02407\lambda = \ln 2 / t_{1/2} \approx 0{,}02407 an−1^{-1}.
  • 2 À t=50t=50 ans (l'exemple du cours, entre 11 et 22 demi-vies), il reste m(50)=200 e−λ×50≈60,0m(50) = 200\,e^{-\lambda \times 50} \approx 60{,}0 mg, soit environ 30%30\% de la masse initiale.
  • 3 La courbe s'aplatit progressivement mais ne touche jamais l'axe m=0m=0 : en théorie, il reste toujours une trace de l'échantillon, aussi petite soit-elle.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les trois paliers régulièrement espacés dans le temps (une demi-vie à chaque fois) : la masse y est systématiquement divisée par 22, ce qui donne la forme caractéristique en "marches qui s'aplatissent" d'une décroissance exponentielle.
Décroissance radioactive du strontium 90 : m(t)=m0 e−λtm(t) = m_0\,e^{-\lambda t}, avec m0=200m_0 = 200 mg et t1/2=28,8t_{1/2} = 28{,}8 ans (mêmes valeurs que l'exemple du cours).
Ce que « réciproque » veut dire
Deux courbes en miroir de part et d'autre de la première bissectrice

La courbe de ln⁡\ln n'est pas une courbe de plus à retenir : c'est exactement celle de exp⁡\exp, retournée. Chaque point (x ; ex)(x\,;\,e^x) de l'une a pour reflet le point (ex ; x)(e^x\,;\,x) de l'autre, par symétrie autour de la droite y=xy = x. Le repère est orthonormé, sans quoi le miroir ne se verrait pas.

Les courbes de exponentielle et de logarithme, symetriques par rapport a la droite y egale x Dans un repere orthonorme, la courbe de la fonction exponentielle monte tres vite a droite et s'aplatit vers la gauche en restant au-dessus de l'axe des abscisses. La courbe du logarithme neperien monte tres lentement a droite et plonge vers le bas pres de l'axe des ordonnees. La droite d'equation y egale x traverse la figure en diagonale : les deux courbes sont l'image l'une de l'autre par symetrie par rapport a cette droite. Deux couples de points en miroir sont marques et relies : le point d'abscisse zero et d'ordonnee un sur l'exponentielle correspond au point d'abscisse un et d'ordonnee zero sur le logarithme. y = x exponentielle logarithme 1 1 x y
  • 1 Les deux courbes sont l'image l'une de l'autre par la symétrie d'axe y=xy = x. Autrement dit, chaque fois que exp⁡\exp passe par (x ; y)(x\,;\,y), ln⁡\ln passe par (y ; x)(y\,;\,x) : c'est la traduction géométrique exacte de ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x.
  • 2 Le premier couple marqué le dit en clair : exp⁡\exp passe par (0 ; 1)(0\,;\,1) — puisque e0=1e^0 = 1 — et ln⁡\ln passe donc par (1 ; 0)(1\,;\,0), puisque ln⁡1=0\ln 1 = 0. Le second couple, (1 ; e)(1\,;\,e) et (e ; 1)(e\,;\,1), dit de même que ln⁡e=1\ln e = 1.
  • 3 La symétrie explique aussi les domaines. L'exponentielle prend toutes les valeurs strictement positives, donc son miroir ne peut être défini que pour des xx strictement positifs : ln⁡\ln n'existe pas en 00 ni pour les négatifs, et ce n'est pas une interdiction arbitraire.
Ce qu'il faut lire : Pose une règle le long de la diagonale et regarde la figure en biais : les deux courbes se superposent. Repère ensuite l'axe vertical — l'exponentielle ne le traverse jamais vers le bas, elle reste au-dessus de l'axe horizontal. Par symétrie, le logarithme ne peut donc jamais franchir l'axe vertical vers la gauche. Quand tu écris ln⁡(−3)\ln(-3), tu demandes à quelle puissance il faut élever ee pour obtenir un nombre négatif : la figure te montre qu'aucune ne convient.
Les courbes de exp⁡\exp et de ln⁡\ln dans un repère orthonormé, symétriques par rapport à la droite y=xy = x.
Ce que « demi-vie » veut dire
Des paliers réguliers dans le temps, une division par deux à chaque fois

Pour l'iode 131, de demi-vie 88 jours, la masse passe de 160160 à 8080, puis à 4040, puis à 2020 mg. Les intervalles de temps sont égaux ; les quantités perdues, elles, ne le sont pas du tout : 8080 mg lors du premier palier, puis 4040, puis 2020. Ce qui se répète n'est pas une soustraction, c'est une division.

Decroissance de l'iode 131 avec quatre paliers de demi-vie Courbe decroissante de la masse d'iode 131 en fonction du temps, partant de cent soixante milligrammes. Quatre paliers de demi-vie sont marques, espaces de huit jours chacun : a huit jours il reste quatre-vingts milligrammes, a seize jours quarante, a vingt-quatre jours vingt, a trente-deux jours dix. Les intervalles de temps sont tous egaux, mais les quantites perdues diminuent a chaque palier : quatre-vingts milligrammes perdus lors du premier, puis quarante, puis vingt, puis dix. 80 40 20 80 mg 40 mg 20 mg 160 mg au départ 8 jours 16 24 32 temps en jours pertes successives
  • 1 Les quatre paliers sont espacés de la même durée, t1/2=8t_{1/2} = 8 jours, et à chacun la masse est divisée par 22 : 160→80→40→20→10160 \to 80 \to 40 \to 20 \to 10 mg.
  • 2 Les quantités perdues, elles, sont toutes différentes : 8080 mg lors du premier palier, puis 4040, puis 2020, puis 1010. Une décroissance exponentielle ne perd pas une quantité fixe par unité de temps — elle perd une proportion fixe.
  • 3 C'est pourquoi la courbe s'aplatit sans jamais toucher l'axe : à chaque palier il reste la moitié de ce qu'il y avait, et la moitié d'un nombre strictement positif reste strictement positive. La masse tend vers 00 sans l'atteindre.
Ce qu'il faut lire : Regarde les trois segments à gauche, sur l'axe vertical : ils mesurent ce qui disparaît à chaque palier, et ils rétrécissent de moitié à chaque fois. Puis regarde les intervalles en bas : ils sont tous identiques. Voilà l'erreur à ne pas faire — croire qu'après 1212 jours il en reste 6060 mg parce que ce serait « à mi-chemin » entre 8080 et 4040. Ce raisonnement suppose une perte régulière, et la figure te montre qu'il n'y en a pas. La vraie valeur est 160×e−λ×12≈56,6160 \times e^{-\lambda \times 12} \approx 56{,}6 mg.
Iode 131, t1/2=8t_{1/2} = 8 jours : quatre paliers réguliers dans le temps, et une masse divisée par 22 à chacun.
Deux logarithmes, un seul facteur
Le logarithme décimal est le népérien, à une constante près

Les deux courbes ont exactement la même allure, et pour cause : log⁡(x)=ln⁡xln⁡10\log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}. Elles s'annulent au même endroit, en x=1x = 1, et l'une est partout 2,3032{,}303 fois plus haute que l'autre. En x=10x = 10, l'écart se lit d'un coup d'œil : ln⁡(10)≈2,30\ln(10) \approx 2{,}30 contre log⁡(10)=1\log(10) = 1.

Comparaison du logarithme neperien et du logarithme decimal Deux courbes croissantes tracees dans le meme repere entre x egale zero virgule trois et x egale trente. Les deux passent par le meme point d'abscisse un et d'ordonnee zero. La courbe du logarithme neperien est partout plus haute que celle du logarithme decimal : en x egale dix, la premiere vaut environ deux virgule trois tandis que la seconde vaut exactement un. Le rapport entre les deux hauteurs est constant et vaut environ deux virgule trois zero trois, qui est le logarithme neperien de dix. népérien décimal écart en x = 10 2,30 contre 1 1 10 20 30 1 2 3 x
  • 1 Les deux courbes s'annulent au même point, x=1x = 1, parce que ln⁡1=0\ln 1 = 0 et log⁡1=0\log 1 = 0. Aucun logarithme, quelle que soit sa base, ne peut valoir autre chose que 00 en 11.
  • 2 Le rapport entre les deux hauteurs est constant : ln⁡xlog⁡x=ln⁡10≈2,303\dfrac{\ln x}{\log x} = \ln 10 \approx 2{,}303 pour tout x>0x > 0. En x=10x = 10 on lit 2,302{,}30 contre 11 ; en x=100x = 100 on lirait 4,614{,}61 contre 22 ; le rapport ne bouge pas.
  • 3 C'est pourquoi les deux fonctions ne sont pas interchangeables mais se convertissent : log⁡(x)=ln⁡xln⁡10\log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}. Le pH et les décibels emploient le logarithme décimal, parce qu'une unité y doit correspondre à un facteur 1010 exactement ; les équations différentielles emploient le népérien, parce que c'est lui dont la dérivée vaut 1x\dfrac{1}{x}.
Ce qu'il faut lire : Choisis n'importe quelle abscisse et compare les deux hauteurs : la courbe du haut est toujours un peu plus de deux fois plus haute que celle du bas, et ce rapport ne change pas d'un bout à l'autre de la figure. C'est le signe d'un simple facteur multiplicatif, pas de deux fonctions différentes. La conséquence pratique est directe : si tu écris ln⁡(10−4)=−4\ln(10^{-4}) = -4, tu confonds les deux courbes. Le bon résultat est −4×2,303≈−9,21-4 \times 2{,}303 \approx -9{,}21 ; c'est log⁡(10−4)\log(10^{-4}) qui vaut −4-4.
Logarithme népérien et logarithme décimal sur [0,3 ; 30][0{,}3\,;\,30] : mêmes zéros, et un rapport constant ln⁡10≈2,303\ln 10 \approx 2{,}303.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne confonds pas log⁡\log (logarithme base 10) et ln⁡\ln (logarithme naturel, base ee).

En chimie, le pH utilise le log⁡\log base 10.

✅ La suggestion

Dans les équations différentielles de la radioactivité, on utilise ln⁡\ln.

Relation : log⁡(x)=ln⁡(x)/ln⁡(10)≈ln⁡(x)/2,303\log(x) = \ln(x) / \ln(10) \approx \ln(x) / 2{,}303.

💡 À retenir

  • exe^x est l'unique fonction égale à sa propre dérivée, strictement positive, avec e0=1e^0 = 1 et ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^b.
  • ln⁡\ln et exp⁡\exp sont réciproques : ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x et eln⁡x=xe^{\ln x} = x. Ne jamais confondre ln⁡\ln (base ee) et log⁡\log (base 1010).
  • La décroissance radioactive suit m(t)=m0e−λtm(t) = m_0 e^{-\lambda t} avec λ=ln⁡2/t1/2\lambda = \ln 2 / t_{1/2} — après kk demi-vies, il reste m0/2km_0 / 2^k.
  • Le pH utilise le logarithme DÉCIMAL : pH=−log⁡10[H3O+]pH = -\log_{10}[H_3O^+]. Une unité de pH = un facteur 1010 sur la concentration.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
pH = −log[H₃O⁺], décroissance radioactive, décibels

Mots-clés associés : LogarithmepHExponentielleDemi-vie
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