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Information chiffrée

Pourcentages, évolutions, indices

Un magasin affiche une promotion de $30\%$ , puis, deux semaines plus tard, une seconde promotion de $20\%$ sur les prix déjà réduits.

La réduction totale est-elle de $50\%$ ?

Vérifie-le sur un prix rond. Un article à $100$ € passe d'abord à $70$ €. La seconde promotion retire $20\%$ de $70$ €, c'est-à-dire $14$ €, et non $20$ € : le prix final est $56$ €.

La réduction totale est donc de $44\%$ , et pas de $50\%$ .

Ce n'est pas une subtilité : le second pourcentage ne porte pas sur la même somme que le premier. Un pourcentage n'est jamais un nombre tout seul, c'est toujours un pourcentage de quelque chose, et cette base change à chaque étape.

Tout ce chapitre sert à ne plus se faire piéger. L'outil s'appelle le coefficient multiplicateur : au lieu de manipuler des taux qui ne s'additionnent pas, on manipule des nombres qui, eux, se multiplient sans jamais mentir.

📖 Vocabulaire clé

Taux d'évolution : Le taux d'évolution entre une valeur initiale

V_i

et une valeur finale

V_f

est

t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}

. Il s'exprime en décimal ou en pourcentage.

Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur (CM) est

1 + t

(avec

t

en décimal). On a

V_f = V_i \times CM

. Hausse de

20\%

CM = 1{,}2

; baisse de

15\%

CM = 0{,}85

Évolutions successives : Pour des évolutions successives, on multiplie les CM :

CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots

Attention : on n'additionne jamais les taux !

Taux réciproque : Le taux réciproque est celui qui ramène au prix initial :

CM_{\text{réciproque}} = \dfrac{1}{CM}

. Après

+25\%

(

CM = 1{,}25

), il faut une baisse de

1 - 1/1{,}25 = 20\%

📋 Calculer un taux d'évolution

1 Taux d'évolution : $t = \dfrac{V_{final} - V_{initial}}{V_{initial}}$ .
2 Coefficient multiplicateur : $CM = 1 + t$ (si $t$ en décimal).
3 Évolutions successives : multiplier les CM ( $CM_{total} = CM_1 \times CM_2$ ).
4 Taux réciproque : $t_{reciproque} = \dfrac{1}{CM}-1$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un abonnement coûte

50

€ en 2023. Il augmente de

8\%

en 2024, puis de

5\%

en 2025. Calculer le prix en 2025 et le taux d'évolution global entre 2023 et 2025.

Démarche :

Prix en 2024 : on multiplie par le coefficient multiplicateur associé à la hausse de $8\%$ , soit $CM_1 = 1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08$ .

$P_{2024} = 50 \times 1{,}08 = 54$ €.
Prix en 2025 : on applique le second coefficient, associé à la hausse de $5\%$ , soit $CM_2 = 1{,}05$ .

$P_{2025} = 54 \times 1{,}05 = 56{,}7$ €.
Coefficient multiplicateur global : pour des évolutions successives, on multiplie les CM (on n'additionne jamais les taux).

$CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = 1{,}08 \times 1{,}05 = 1{,}134$ .
Taux d'évolution global : $t_{global} = CM_{global} - 1 = 1{,}134 - 1 = 0{,}134$ , soit $+13{,}4\%$ .

Vérification directe : $50 \times 1{,}134 = 56{,}7$ € ✓.

Réponse : Le prix en 2025 est

56{,}7

€, ce qui correspond à une hausse globale de

+13{,}4\%

entre 2023 et 2025 — et non

8\% + 5\% = 13\%

, qui serait l'erreur classique de l'addition des taux.

📐 Formules clés

t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}

CM = 1 + t

CM_{total} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots

Taux réciproque :

CM_{reciproque} = \dfrac{1}{CM}

🎨 Illustration

Évolutions successives

Frise multiplicative — les coefficients se composent par multiplication

Sur l'exemple du cours : un abonnement de $50$ € en 2023 augmente de $8\%$ en 2024 puis de $5\%$ en 2025. Chaque flèche multiplie par un coefficient multiplicateur ; le lien direct entre $V_i$ et $V_f$ est le produit des deux coefficients, jamais leur somme.

1 $V_i = 50$ € (2023) $\times\, CM_1 = 1{,}08 \Rightarrow V_{interm} = 54$ € (2024).
2 $V_{interm} = 54$ € $\times\, CM_2 = 1{,}05 \Rightarrow V_f = 56{,}7$ € (2025).
3 Coefficient global : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = 1{,}08 \times 1{,}05 = 1{,}134$ , soit $+13{,}4\%$ — et non $8\% + 5\% = 13\%$ .

Ce qu'il faut lire : Suis la frise de gauche à droite : chaque flèche pleine multiplie par le coefficient indiqué. L'arc en pointillés en dessous rappelle que le lien direct entre

V_i

V_f

est le produit

CM_1 \times CM_2

, jamais la somme des taux.

Frise de l'exemple du cours : abonnement à

50

€ (2023)

\to

54

€ (2024,

+8\%

)

\to

56{,}7

€ (2025,

+5\%

). Coefficient global

CM_{global} = 1{,}134

, soit

+13{,}4\%

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Une hausse de $20\%$ puis une baisse de $20\%$ ne revient pas au point de départ !

En effet : $CM = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ , soit une baisse globale de $4\%$ .

✅ La suggestion

Les taux ne s'additionnent pas, les CM se multiplient.

💡 À retenir

Le coefficient multiplicateur se calcule toujours par $CM = 1 + t$ , avec $t$ en décimal (positif pour une hausse, négatif pour une baisse).
Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots$ — on n'additionne jamais les taux entre eux.
Pour retrouver une valeur initiale, on divise par le CM (et non on soustrait le pourcentage du prix final, dont la base de référence n'est plus la même).
Le taux réciproque, qui compense exactement une évolution, se calcule avec $CM_{réciproque} = \dfrac{1}{CM}$ : il n'est jamais égal à l'opposé du taux initial.

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