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Variables aléatoires et loi binomiale

Espérance, variance, loi B(n,p)

Tu lances une pièce 1010 fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 33 fois « pile » ?

Tu sais déjà répondre à une question voisine : la probabilité d'obtenir « pile, pile, pile, face, face, face, face, face, face, face » dans cet ordre vaut (12)10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}, soit environ 0,0010{,}001.

Mais la question ne dit pas dans quel ordre. Les trois « pile » peuvent tomber n'importe où, et chacune de ces dispositions a la même probabilité. Il faudrait donc savoir combien il y en a — et les compter une par une n'est pas raisonnable.

C'est tout le problème que ce chapitre résout. Le nombre de dispositions s'appelle le coefficient binomial, il se note (103)\binom{10}{3}, et il vaut 120120. La réponse est donc 120×(12)10≈0,117120 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10} \approx 0{,}117.

Une fois cet outil en main, une même formule répond à toutes les situations du même type : un nombre d'essais fixé, des essais indépendants, et la même probabilité de réussite à chaque fois. C'est ce qu'on appelle une loi binomiale.

📖 Vocabulaire clé

Variable aléatoire : Une variable aléatoire XX est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Exemple : le nombre de 66 obtenus en lançant 55 dés.
Espérance : L'espérance E(X)E(X) est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions. Pour B(n,p)\mathcal{B}(n,p) : E(X)=npE(X) = np.
Variance et écart-type : La variance V(X)V(X) mesure la dispersion autour de l'espérance. V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p) pour B(n,p)\mathcal{B}(n,p). L'écart-type est σ=V(X)\sigma = \sqrt{V(X)}.
Loi binomiale : La loi B(n,p)\mathcal{B}(n,p) modélise le nombre de succès dans nn épreuves indépendantes, chacune de probabilité de succès pp. P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.

📋 Calculer avec la loi binomiale

  1. 1 Conditions : expériences indépendantes, même probabilité pp, nn répétitions.
  2. 2 Probabilité binomiale : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
  3. 3 Espérance : E(X)=npE(X)=np.
  4. 4 Variance et écart-type : V(X)=np(1−p)V(X)=np(1-p), écart-type σ=np(1−p)\sigma=\sqrt{np(1-p)}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : On lance une pièce équilibrée 66 fois. Soit XX le nombre de "Pile". Calculer P(X=4)P(X = 4), E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X).
Démarche :
  1. X∼B(6 ; 0,5)X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}5). Coefficient binomial : (64)=6!4!×2!=6×52=15\binom{6}{4} = \dfrac{6!}{4! \times 2!} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15.
  2. P(X=4)=(64)×(0,5)4×(0,5)2=15×164=1564≈0,234P(X = 4) = \binom{6}{4} \times (0{,}5)^4 \times (0{,}5)^2 = 15 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{15}{64} \approx 0{,}234.
  3. E(X)=6×0,5=3E(X) = 6 \times 0{,}5 = 3. V(X)=6×0,5×0,5=1,5V(X) = 6 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}5. σ=1,5≈1,22\sigma = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22.
Réponse : P(X=4)≈0,234P(X = 4) \approx 0{,}234. En moyenne on obtient 33 "Pile" sur 66 lancers, avec un écart-type d'environ 1,221{,}22.

📐 Formules clés

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
E(X)=npE(X) = np
V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p)
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

🎨 Illustrations

Diagramme en bâtons — B(6 ; 0,5)\mathcal{B}(6\,;\,0{,}5)
Loi de XX = nombre de "Pile" en 66 lancers, avec E(X)E(X) repéré

Reprise de l'exemple du cours : une pièce équilibrée lancée 66 fois, X∼B(6 ; 0,5)X\sim\mathcal{B}(6\,;\,0{,}5). Chaque bâton donne P(X=k)=(6k)×(0,5)6P(X=k)=\binom{6}{k}\times(0{,}5)^6, recalculée indépendamment pour k=0k=0 à 66 ; le repère vertical marque E(X)=np=3E(X)=np=3, qui tombe exactement sur le bâton le plus haut.

Diagramme en batons de la loi binomiale B(6;0,5) Sept batons verticaux representant P(X=k) pour k de 0 a 6, avec X le nombre de Pile en 6 lancers d'une piece equilibree. La distribution est symetrique, maximale en k=3 avec une probabilite de 0,3125, ce qui correspond a l'esperance E(X)=3 marquee par un repere vertical. E(X) = 3 0 0,10 0,20 0,30 0 1 2 3 4 5 6 k P(X=k) 0,234 0,234 0,3125
  • 1 Distribution complète recalculée : P(X=0)=P(X=6)≈0,016P(X=0)=P(X=6)\approx0{,}016, P(X=1)=P(X=5)≈0,094P(X=1)=P(X=5)\approx0{,}094, P(X=2)=P(X=4)≈0,234P(X=2)=P(X=4)\approx0{,}234, P(X=3)=0,3125P(X=3)=0{,}3125. La somme des 77 valeurs fait bien 11.
  • 2 Le bâton le plus haut est exactement en k=3k=3 : ce n'est pas une coïncidence — avec p=0,5p=0{,}5, la loi est symétrique et E(X)=np=3E(X)=np=3 tombe sur une valeur entière de kk.
  • 3 La valeur P(X=4)≈0,234P(X=4)\approx0{,}234 est celle calculée dans l'exemple du cours (P(X=4)=(64)×(0,5)4×(0,5)2=15/64P(X=4)=\binom{6}{4}\times(0{,}5)^4\times(0{,}5)^2=15/64) — on la retrouve ici sur le bâton correspondant.
Ce qu'il faut lire : Avec p=0,5p=0{,}5, la loi binomiale est parfaitement symétrique autour de E(X)=npE(X)=np : P(X=k)=P(X=n−k)P(X=k)=P(X=n-k). Le repère vertical (pointillé) tombe exactement sur le bâton central car E(X)=3E(X)=3 est un entier compris entre 00 et 66 — ce ne serait pas toujours aussi net pour d'autres valeurs de pp.
Diagramme en bâtons de B(6 ; 0,5)\mathcal{B}(6\,;\,0{,}5) avec E(X)=3E(X)=3 repéré.
Ce que l'espérance n'est pas
L'espérance ne tombe pas sur le plus grand bâton

Voici la loi du nombre de bonnes réponses d'un élève qui répond au hasard à un questionnaire de 1010 questions à 44 choix, soit B(10 ; 0,25)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25).

Le bâton le plus haut est celui de k=2k = 2 : c'est le résultat le plus probable. L'espérance, elle, vaut 2,52{,}5 et tombe entre deux bâtons.

Ce sont deux nombres différents, et aucun des deux n'est faux.

Diagramme en batons ou l esperance tombe entre deux batons Diagramme en batons de la loi binomiale de parametres dix et zero virgule vingt-cinq. Les batons montent de la gauche jusqu'a un maximum atteint pour la valeur deux, puis redescendent regulierement et deviennent presque invisibles a partir de la valeur six. Un trait vertical en pointilles marque l'esperance, qui vaut deux virgule cinq : il ne tombe sur aucun baton, mais dans l'intervalle qui separe le baton de la valeur deux de celui de la valeur trois. Le baton le plus haut est celui de la valeur deux, qui est donc le resultat le plus probable, alors que l'esperance vaut deux virgule cinq. E(X) = 2,5 le plus probable 0 1 2 3 4 5 6 7 nombre de bonnes reponses
  • 1 La loi est B(10 ; 0,25)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25), donc E(X)=10×0,25=2,5E(X) = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5.
  • 2 Le plus grand bâton est celui de k=2k = 2, avec P(X=2)≈0,282P(X = 2) \approx 0{,}282. C'est le résultat qu'on rencontrera le plus souvent.
  • 3 L'espérance 2,52{,}5 n'est pas ce résultat : c'est la moyenne des résultats obtenus si l'on faisait passer ce questionnaire à des milliers d'élèves répondant au hasard.
  • 4 Les bâtons au-delà de k=7k = 7 ne sont pas dessinés : leur probabilité totale vaut 0,00040{,}0004, soit moins d'une chance sur deux mille, et ils seraient invisibles à l'impression. Les onze probabilités de la loi somment bien à 11.
Ce qu'il faut lire : Cherche le bâton le plus haut, puis cherche le trait en pointillés : ils ne sont pas au même endroit. Retiens-en la formule qui évite l'erreur : l'espérance répond à « combien en moyenne ? », et le plus grand bâton répond à « quel résultat est le plus fréquent ? ». Ce sont deux questions différentes, donc deux réponses différentes.
Loi B(10 ; 0,25)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25) : le mode vaut 22 alors que E(X)=2,5E(X) = 2{,}5.
D'où vient le coefficient
Le coefficient binomial compte des dispositions

L'oubli du coefficient (nk)\binom{n}{k} est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle vient de ce qu'on le prend pour un facteur de correction arbitraire. Il n'en est rien : c'est un dénombrement, et sur un petit cas on peut l'écrire à la main.

Voici les (42)=6\binom{4}{2} = 6 façons de placer 22 succès parmi 44 essais.

Les six facons de placer deux succes parmi quatre essais Six lignes de quatre cases chacune sont disposees en deux colonnes de trois. Dans chaque ligne, exactement deux cases sont remplies et deux sont vides, et aucune des six lignes ne repete la disposition d'une autre. Les six dispositions correspondent aux positions un et deux, un et trois, un et quatre, deux et trois, deux et quatre, puis trois et quatre. Ces six lignes epuisent toutes les possibilites, ce qui explique que le coefficient binomial de quatre parmi deux vaut six. deux succes parmi quatre essais six dispositions, donc six chemins et aucune autre n est possible
  • 1 Chaque ligne est une série possible de 44 essais ; les cases pleines sont les succès.
  • 2 Il y en a exactement six, et l'on peut vérifier qu'aucune n'a été oubliée : les deux succès occupent les positions 11-22, 11-33, 11-44, 22-33, 22-44 ou 33-44.
  • 3 Six est donc la valeur de (42)\binom{4}{2} — non par une formule, mais par un comptage qu'on vient de faire.
  • 4 Chacune de ces six séries a exactement la même probabilité, p2(1−p)2p^2(1-p)^2. C'est pour cela qu'on multiplie cette probabilité par 66 : les six cas donnent tous « deux succès », et ils sont incompatibles.
Ce qu'il faut lire : Compte les cases pleines de chaque ligne : il y en a toujours deux, jamais une ni trois. Puis vérifie qu'aucune ligne n'est la copie d'une autre. Tu viens de démontrer que (42)=6\binom{4}{2} = 6, sans aucune formule. Pour n=10n = 10, l'idée est exactement la même — c'est seulement le dessin qui deviendrait trop grand, et c'est à ce moment-là que la calculatrice prend le relais.
Les (42)=6\binom{4}{2} = 6 dispositions de 22 succès parmi 44 essais.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La loi binomiale suppose des épreuves indépendantes.

✅ La suggestion

Si on tire sans remise, les tirages ne sont plus indépendants et la loi binomiale ne s'applique plus exactement.

Autre piège : oublier les puissances dans la formule P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. Une probabilité doit toujours être comprise entre 00 et 11.

💡 À retenir

  • Loi binomiale : nn épreuves indépendantes, même probabilité pp. Si l'une de ces conditions manque, ce n'est pas binomial.
  • E(X)=npE(X) = np donne le nombre moyen de succès ; σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)} mesure la dispersion.
  • Le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} compte le nombre de façons de choisir kk succès parmi nn essais.
  • Une probabilité est toujours entre 00 et 11 : si ton résultat dépasse 11 ou est négatif, c'est une erreur de calcul !
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