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Variables aléatoires et loi binomiale

Espérance, variance, loi B(n,p)

Une variable aléatoire est une fonction qui transforme les issues d'une expérience aléatoire en nombres : c'est le pont entre le hasard et les mathématiques.

La loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ répond à "combien de succès sur $n$ tentatives indépendantes ?" Ses deux conditions : les essais sont indépendants et chacun a la même probabilité de succès $p$ .

L'espérance $E(X) = np$ est le nombre moyen de succès attendu.

Erreur classique sur la formule $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ : oublier les puissances sur $p$ et $(1-p)$ . Un résultat supérieur à $1$ est impossible pour une probabilité — cela doit alerter immédiatement.

📖 Vocabulaire clé

Variable aléatoire : Une variable aléatoire

X

est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Exemple : le nombre de

6

obtenus en lançant

5

dés.

Espérance : L'espérance

E(X)

est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions. Pour

\mathcal{B}(n,p)

E(X) = np

Variance et écart-type : La variance

V(X)

mesure la dispersion autour de l'espérance.

V(X) = np(1-p)

pour

\mathcal{B}(n,p)

. L'écart-type est

\sigma = \sqrt{V(X)}

Loi binomiale : La loi

\mathcal{B}(n,p)

modélise le nombre de succès dans

n

épreuves indépendantes, chacune de probabilité de succès

p

P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

📋 Calculer avec la loi binomiale

1 Conditions : expériences indépendantes, même probabilité $p$ , $n$ répétitions.
2 Probabilité binomiale : $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .
3 Espérance : $E(X)=np$ .
4 Variance et écart-type : $V(X)=np(1-p)$ , écart-type $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : On lance une pièce équilibrée

6

fois. Soit

X

le nombre de "Pile". Calculer

P(X = 4)

E(X)

\sigma(X)

Démarche :

$X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}5)$ . Coefficient binomial : $\binom{6}{4} = \dfrac{6!}{4! \times 2!} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ .
$P(X = 4) = \binom{6}{4} \times (0{,}5)^4 \times (0{,}5)^2 = 15 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{15}{64} \approx 0{,}234$ .
$E(X) = 6 \times 0{,}5 = 3$ . $V(X) = 6 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}5$ . $\sigma = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22$ .

Réponse :

P(X = 4) \approx 0{,}234

. En moyenne on obtient

3

"Pile" sur

6

lancers, avec un écart-type d'environ

1{,}22

📐 Formules clés

P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

E(X) = np

V(X) = np(1-p)

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

🎨 Illustration

Diagramme en bâtons —

\mathcal{B}(6\,;\,0{,}5)

Loi de

X

= nombre de "Pile" en

6

lancers, avec

E(X)

repéré

Reprise de l'exemple du cours : une pièce équilibrée lancée $6$ fois, $X\sim\mathcal{B}(6\,;\,0{,}5)$ . Chaque bâton donne $P(X=k)=\binom{6}{k}\times(0{,}5)^6$ , recalculée indépendamment pour $k=0$ à $6$ ; le repère vertical marque $E(X)=np=3$ , qui tombe exactement sur le bâton le plus haut.

1 Distribution complète recalculée : $P(X=0)=P(X=6)\approx0{,}016$ , $P(X=1)=P(X=5)\approx0{,}094$ , $P(X=2)=P(X=4)\approx0{,}234$ , $P(X=3)=0{,}3125$ . La somme des $7$ valeurs fait bien $1$ .
2 Le bâton le plus haut est exactement en $k=3$ : ce n'est pas une coïncidence — avec $p=0{,}5$ , la loi est symétrique et $E(X)=np=3$ tombe sur une valeur entière de $k$ .
3 La valeur $P(X=4)\approx0{,}234$ est celle calculée dans l'exemple du cours ( $P(X=4)=\binom{6}{4}\times(0{,}5)^4\times(0{,}5)^2=15/64$ ) — on la retrouve ici sur le bâton correspondant.

Ce qu'il faut lire : Avec

p=0{,}5

, la loi binomiale est parfaitement symétrique autour de

E(X)=np

P(X=k)=P(X=n-k)

. Le repère vertical (pointillé) tombe exactement sur le bâton central car

E(X)=3

est un entier compris entre

0

6

— ce ne serait pas toujours aussi net pour d'autres valeurs de

p

Diagramme en bâtons de

\mathcal{B}(6\,;\,0{,}5)

avec

E(X)=3

repéré.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La loi binomiale suppose des épreuves indépendantes.

✅ La suggestion

Si on tire sans remise, les tirages ne sont plus indépendants et la loi binomiale ne s'applique plus exactement.

Autre piège : oublier les puissances dans la formule $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ . Une probabilité doit toujours être comprise entre $0$ et $1$ .

💡 À retenir

Loi binomiale : $n$ épreuves indépendantes, même probabilité $p$ . Si l'une de ces conditions manque, ce n'est pas binomial.
$E(X) = np$ donne le nombre moyen de succès ; $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ mesure la dispersion.
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ essais.
Une probabilité est toujours entre $0$ et $1$ : si ton résultat dépasse $1$ ou est négatif, c'est une erreur de calcul !

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