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Probabilités conditionnelles

Probabilité sachant, indépendance, arbre

Un test dépiste une maladie qui touche une personne sur cent. Quand quelqu'un est malade, le test le détecte 9595 fois sur 100100 ; quand quelqu'un est sain, il se déclare positif à tort 55 fois sur 100100.

Ton test est positif. Quelle est la probabilité que tu sois réellement malade ?

Écris ton estimation quelque part avant de lire la suite. La très grande majorité des gens — y compris des médecins, l'expérience a été faite — répondent « environ 95%95\% ».

La bonne réponse est d'environ 16%16\%. Sur 10001000 personnes testées, 1010 sont malades et environ 99 d'entre elles auront un test positif ; mais parmi les 990990 personnes saines, environ 5050 seront positives à tort. Sur la cinquantaine de tests positifs, moins d'un sur six correspond donc à un vrai malade.

Ce n'est pas une subtilité de calcul : c'est que les deux questions « quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que je suis malade ? » et « quelle est la probabilité que je sois malade sachant que le test est positif ? » n'ont aucune raison d'avoir la même réponse. Confondre les deux porte un nom, l'erreur du procureur, et elle a fait condamner des innocents.

Tout ce chapitre sert à ne plus la commettre. L'outil s'appelle la probabilité conditionnelle, et il tient en une idée : on ne calcule plus sur la population entière, mais seulement sur ceux qui vérifient la condition.

📖 Vocabulaire clé

Probabilité conditionnelle : P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} : la probabilité de AA sachant que BB est réalisé. On restreint l'univers à BB.
Indépendance : Deux événements AA et BB sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B), ce qui équivaut à P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A) : savoir que BB s'est produit ne change rien.
Formule des probabilités totales : Si BB et Bˉ\bar{B} forment une partition : P(A)=P(A∣B)×P(B)+P(A∣Bˉ)×P(Bˉ)P(A) = P(A|B) \times P(B) + P(A|\bar{B}) \times P(\bar{B}). C'est la somme des "chemins" menant à AA.
Formule de Bayes : P(B∣A)=P(A∣B)×P(B)P(A)P(B|A) = \dfrac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)}. Elle permet d'"inverser" une probabilité conditionnelle, typiquement en diagnostic médical.

📋 Utiliser un arbre de probabilité

  1. 1 Arbre de probabilité : représenter les événements en branches, les probabilités sur chaque branche.
  2. 2 Multiplication des branches : P(A∩B)=P(B)×P(A∣B)P(A\cap B) = P(B)\times P(A|B).
  3. 3 Normalisation : la somme des probabilités à chaque nœud est 11.
  4. 4 Somme des chemins : additionner les branches favorables pour obtenir P(A)P(A).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un lycée, 40%40\% des élèves pratiquent un sport (SS). Parmi les sportifs, 70%70\% ont la moyenne en maths (MM). Parmi les non-sportifs, 50%50\% ont la moyenne. Calculer P(M)P(M) et P(S∣M)P(S|M).
Démarche :
  1. Données : P(S)=0,4P(S) = 0{,}4, P(Sˉ)=0,6P(\bar{S}) = 0{,}6, P(M∣S)=0,7P(M|S) = 0{,}7, P(M∣Sˉ)=0,5P(M|\bar{S}) = 0{,}5.
  2. Probabilités totales : P(M)=P(M∣S)×P(S)+P(M∣Sˉ)×P(Sˉ)=0,7×0,4+0,5×0,6=0,28+0,30=0,58P(M) = P(M|S) \times P(S) + P(M|\bar{S}) \times P(\bar{S}) = 0{,}7 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}28 + 0{,}30 = 0{,}58.
  3. Bayes : P(S∣M)=P(M∣S)×P(S)P(M)=0,280,58≈0,483P(S|M) = \dfrac{P(M|S) \times P(S)}{P(M)} = \dfrac{0{,}28}{0{,}58} \approx 0{,}483.
Réponse : P(M)=0,58P(M) = 0{,}58 et P(S∣M)≈0,483P(S|M) \approx 0{,}483. Un élève qui a la moyenne a environ 48%48\% de chances d'être sportif.

📐 Formules clés

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} (si P(B)>0P(B)>0)
P(A∩B)=P(B)×P(A∣B)P(A\cap B) = P(B)\times P(A|B)
AA et BB indépendants ⇔P(A∩B)=P(A)×P(B)\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

🎨 Illustrations

Arbre pondéré à deux niveaux
Arbre de probabilité — sport et moyenne en maths

Sur l'exemple du cours : 40%40\% des élèves pratiquent un sport (SS). Parmi les sportifs, 70%70\% ont la moyenne (MM) ; parmi les non-sportifs, 50%50\% ont la moyenne. Le chemin en couleur (racine →S→M\to S \to M) est celui qui donne P(S∩M)P(S\cap M).

Arbre pondere a deux niveaux, exemple sport et moyenne en maths Arbre de probabilite a deux niveaux. Niveau 1 : depuis la racine, deux branches, S (sport) avec probabilite 0,4 et non S avec probabilite 0,6. Niveau 2 : sous S, deux branches, M (moyenne) avec probabilite 0,7 et non M avec probabilite 0,3 ; sous non S, deux branches, M avec probabilite 0,5 et non M avec probabilite 0,5. Le chemin racine vers S vers M est mis en evidence en trait plein colore et aboutit a l'intersection S inter M dont la probabilite vaut 0,4 fois 0,7 soit 0,28. Les trois autres chemins sont en pointilles : S inter non M egale 0,12, non S inter M egale 0,30, non S inter non M egale 0,30. La somme des quatre chemins vaut 1. Niveau 1 — sport (S) Niveau 2 — moyenne (M) sachant S 0,4 0,6 0,7 0,3 0,5 0,5 Ω S non S M non M M non M S∩M = 0,28 S∩(non M) = 0,12 (non S)∩M = 0,30 (non S)∩(non M) = 0,30
  • 1 Niveau 1 : P(S)=0,4P(S) = 0{,}4 et P(Sˉ)=0,6P(\bar{S}) = 0{,}6 — la somme des deux branches vaut bien 11.
  • 2 Niveau 2 sous SS : P(M∣S)=0,7P(M|S) = 0{,}7 et P(Mˉ∣S)=0,3P(\bar{M}|S) = 0{,}3 (somme =1=1). Sous Sˉ\bar{S} : P(M∣Sˉ)=0,5P(M|\bar{S}) = 0{,}5 et P(Mˉ∣Sˉ)=0,5P(\bar{M}|\bar{S}) = 0{,}5 (somme =1=1).
  • 3 Chemin mis en évidence : P(S∩M)=P(S)×P(M∣S)=0,4×0,7=0,28P(S\cap M) = P(S)\times P(M|S) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28 — la multiplication le long des branches.
  • 4 Les quatre chemins somment à 11 : 0,28+0,12+0,30+0,30=10{,}28+0{,}12+0{,}30+0{,}30=1, ce qui redonne P(M)=0,28+0,30=0,58P(M)=0{,}28+0{,}30=0{,}58, retrouvé dans l'exemple du cours.
Ce qu'il faut lire : Multiplie les probabilités le long d'un chemin (racine → branche 1 → branche 2) pour obtenir la probabilité d'une intersection ; le chemin en trait plein coloré, racine → SS → MM, donne P(S∩M)=0,28P(S\cap M) = 0{,}28.
Arbre pondéré à deux niveaux de l'exemple du cours : P(S)=0,4P(S)=0{,}4, P(M∣S)=0,7P(M|S)=0{,}7, P(M∣Sˉ)=0,5P(M|\bar{S})=0{,}5. Chemin S∩MS\cap M mis en évidence, avec P(S∩M)=0,28P(S\cap M)=0{,}28.
Deux façons de dire la même chose
Le tableau croisé redonne exactement l'arbre

L'arbre et le tableau croisé ne sont pas deux notions concurrentes : ce sont deux écritures du même énoncé. Le tableau ci-dessous est celui de l'exemple du cours, ramené à 10001000 élèves pour que tout tombe sur des effectifs entiers.

Chaque case vient d'un chemin de l'arbre, et chaque total de ligne vient d'un nœud.

Tableau croise des effectifs sur mille eleves Un tableau a deux entrees porte en colonnes les eleves qui ont la moyenne et ceux qui ne l'ont pas, et en lignes les sportifs et les non sportifs. La case des sportifs ayant la moyenne contient 280 eleves, celle des sportifs sans la moyenne 120, celle des non sportifs avec la moyenne 300, celle des non sportifs sans la moyenne 300. Le total de la ligne des sportifs vaut 400, celui des non sportifs 600. Le total de la colonne moyenne vaut 580, celui de la colonne sans moyenne 420. Le total general vaut mille. moyenne pas moyenne total sportifs non sportifs total 280 120 400 300 300 600 580 420 1000 meme enonce que l arbre, ecrit en effectifs
  • 1 La case 280280 est le chemin S→MS \to M de l'arbre : 0,4×0,7×1000=2800{,}4 \times 0{,}7 \times 1000 = 280.
  • 2 Le total de ligne 400400 est le nœud SS : P(S)=0,4P(S) = 0{,}4, soit 400400 élèves sur 10001000.
  • 3 Le total de colonne 580580 est P(M)=0,58P(M) = 0{,}58, que l'exemple du cours obtenait par la formule des probabilités totales. On le lit ici sans aucun calcul.
  • 4 Les quatre cases somment à 10001000, exactement comme les quatre chemins de l'arbre somment à 11.
Ce qu'il faut lire : Choisis une case du tableau et retrouve le chemin de l'arbre qui lui correspond : il y en a toujours un, et un seul. Le tableau est plus commode quand on te donne des effectifs, l'arbre quand on te donne des pourcentages — mais tu peux passer de l'un à l'autre quand tu veux, et c'est souvent le moyen le plus rapide de sortir d'un blocage.
Tableau croisé de l'exemple du cours, ramené à 10001000 élèves : chaque case est un chemin de l'arbre.
Le malentendu qui coûte le plus cher
Même numérateur, deux dénominateurs

L'erreur la plus fréquente du chapitre consiste à croire que PS(M)P_S(M) et PM(S)P_M(S) sont le même nombre. Les deux barres ci-dessous sont à la même échelle et leur portion colorée a la même longueur : ce sont les mêmes 280280 élèves.

Ce qui change, c'est ce à quoi on les rapporte.

Deux barres de references differentes Deux barres horizontales sont tracees l'une sous l'autre, a la meme echelle. La premiere represente les 400 sportifs ; la seconde represente les 580 eleves ayant la moyenne, elle est donc plus longue. Sur chacune, une portion coloree de longueur identique represente les 280 eleves qui sont a la fois sportifs et ont la moyenne. Sur la premiere barre cette portion occupe sept dixiemes de la longueur, sur la seconde un peu moins de la moitie. La portion est pourtant la meme dans les deux cas : seule la barre de reference a change. parmi les sportifs 280 sur 400 soit 0,7 parmi ceux qui ont la moyenne 280 sur 580 soit 0,48 la portion coloree est la meme, la barre de reference non
  • 1 PS(M)=280400=0,7P_S(M) = \dfrac{280}{400} = 0{,}7 : parmi les sportifs, 77 sur 1010 ont la moyenne.
  • 2 PM(S)=280580≈0,48P_M(S) = \dfrac{280}{580} \approx 0{,}48 : parmi ceux qui ont la moyenne, un peu moins de la moitié sont sportifs.
  • 3 Le numérateur est le même dans les deux cas : ce sont les 280280 mêmes élèves, comptés une seule fois.
  • 4 Seul le dénominateur change, parce que la population à laquelle on se restreint change. Écrire PS(M)=PM(S)P_S(M) = P_M(S) revient à dire que 400=580400 = 580.
Ce qu'il faut lire : Le trait vertical qui relie les deux barres marque la fin de la portion colorée : elle tombe au même endroit, parce que c'est le même effectif. Regarde maintenant où s'arrête chaque barre — c'est là toute la différence. Quand tu hésites sur un « sachant que », demande-toi toujours : sachant quoi, c'est-à-dire sur quelle barre je me place.
Les mêmes 280280 élèves rapportés à deux populations différentes : PS(M)=0,7P_S(M) = 0{,}7 mais PM(S)≈0,48P_M(S) \approx 0{,}48.
Indépendant n'est pas incompatible
L'indépendance se voit sur la découpe

Deux événements sont indépendants quand savoir que l'un s'est produit ne change rien à la probabilité de l'autre. Sur un carré d'aire 11 découpé en deux bandes, cela se lit immédiatement : la coupure verticale tombe-t-elle au même endroit dans les deux bandes ?

À gauche oui, à droite non.

Deux decoupes comparees, independance et dependance Deux carres de meme taille sont poses cote a cote. Chacun est coupe horizontalement en deux bandes, la bande du haut occupant six dixiemes de la hauteur. Dans le carre de gauche, chaque bande est coupee verticalement au meme endroit, a la moitie de la largeur : savoir dans quelle bande on se trouve ne renseigne pas sur le cote ou l'on tombe, les deux evenements sont independants. Dans le carre de droite, la bande du haut est coupee aux trois quarts et la bande du bas au quart : les deux coupures ne sont pas alignees, donc savoir dans quelle bande on se trouve renseigne bien, et les deux evenements ne sont pas independants. independants A non A une seule coupure, bien droite non independants A non A deux coupures decalees
  • 1 À gauche : PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5 et PAˉ(B)=0,5P_{\bar{A}}(B) = 0{,}5. La coupure est au même endroit dans les deux bandes, donc savoir si AA est réalisé n'apprend rien sur BB.
  • 2 La vérification chiffrée confirme : P(A∩B)=0,6×0,5=0,3P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3 et P(A)×P(B)=0,6×0,5=0,3P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3. Les deux coïncident.
  • 3 À droite : PA(B)=0,75P_A(B) = 0{,}75 mais PAˉ(B)=0,25P_{\bar{A}}(B) = 0{,}25. Les coupures sont décalées, et P(A∩B)=0,45P(A \cap B) = 0{,}45 alors que P(A)×P(B)=0,6×0,55=0,33P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}55 = 0{,}33.
  • 4 Remarque importante : dans les deux carrés, la zone colorée n'est jamais vide. Indépendant ne veut donc pas dire « qui ne se produisent jamais ensemble » — ce serait incompatible, ce qui est tout autre chose.
Ce qu'il faut lire : Pose une règle verticale sur chacun des deux carrés et essaie de couvrir les deux coupures d'un coup. À gauche tu y arrives : une seule droite suffit. À droite c'est impossible, il en faut deux. Ce simple test « est-ce que la coupure est droite ? » est exactement le test d'indépendance, et il est plus sûr qu'une formule récitée.
Deux découpes d'un carré d'aire 11 : à gauche AA et BB indépendants, à droite non.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre P(A∣B)P(A|B) et P(B∣A)P(B|A) : ce n'est pas la même chose !

En médecine par exemple, la probabilité que le test soit positif si on est malade (P(T+∣M)P(T+|M)) est très différente de la probabilité d'être malade si le test est positif (P(M∣T+)P(M|T+)).

✅ La suggestion

Pour "inverser" le conditionnement, il faut la formule de Bayes.

💡 À retenir

  • P(A∣B)≠P(B∣A)P(A|B) \neq P(B|A) en général : ne jamais inverser les conditionnements sans Bayes.
  • Sur un arbre : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins menant au même événement.
  • Indépendance : P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B). Tester avant de conclure !
  • Formule de Bayes : indispensable pour "retourner" un conditionnement (diagnostic, fiabilité, etc.).
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