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Probabilités conditionnelles

Probabilité sachant, indépendance, arbre

La probabilité conditionnelle $P(A|B)$ répond à : "parmi les cas où $B$ s'est produit, dans quelle fraction $A$ se produit aussi ?" La formule $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$ est un recentrage : on restreint l'univers à $B$ .

En médecine, $P(\text{Test}+|\text{Malade})$ (sensibilité du test) est très différent de $P(\text{Malade}|\text{Test}+)$ (probabilité d'être malade si le test est positif). Confondre $P(A|B)$ et $P(B|A)$ est l'"erreur du procureur".

L'indépendance signifie $P(A|B) = P(A)$ : connaître $B$ n'apporte aucune information sur $A$ .

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

📖 Vocabulaire clé

Probabilité conditionnelle :

P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

: la probabilité de

A

sachant que

B

est réalisé. On restreint l'univers à

B

Indépendance : Deux événements

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

, ce qui équivaut à

P(A|B) = P(A)

: savoir que

B

s'est produit ne change rien.

Formule des probabilités totales : Si

B

\bar{B}

forment une partition :

P(A) = P(A|B) \times P(B) + P(A|\bar{B}) \times P(\bar{B})

. C'est la somme des "chemins" menant à

A

Formule de Bayes :

P(B|A) = \dfrac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)}

. Elle permet d'"inverser" une probabilité conditionnelle, typiquement en diagnostic médical.

📋 Utiliser un arbre de probabilité

1 Arbre de probabilité : représenter les événements en branches, les probabilités sur chaque branche.
2 Multiplication des branches : $P(A\cap B) = P(B)\times P(A|B)$ .
3 Normalisation : la somme des probabilités à chaque nœud est $1$ .
4 Somme des chemins : additionner les branches favorables pour obtenir $P(A)$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un lycée,

40\%

des élèves pratiquent un sport (

S

). Parmi les sportifs,

70\%

ont la moyenne en maths (

M

). Parmi les non-sportifs,

50\%

ont la moyenne. Calculer

P(M)

P(S|M)

Démarche :

Données : $P(S) = 0{,}4$ , $P(\bar{S}) = 0{,}6$ , $P(M|S) = 0{,}7$ , $P(M|\bar{S}) = 0{,}5$ .
Probabilités totales : $P(M) = P(M|S) \times P(S) + P(M|\bar{S}) \times P(\bar{S}) = 0{,}7 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}28 + 0{,}30 = 0{,}58$ .
Bayes : $P(S|M) = \dfrac{P(M|S) \times P(S)}{P(M)} = \dfrac{0{,}28}{0{,}58} \approx 0{,}483$ .

Réponse :

P(M) = 0{,}58

P(S|M) \approx 0{,}483

. Un élève qui a la moyenne a environ

48\%

de chances d'être sportif.

📐 Formules clés

P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

(si

P(B)>0

)

P(A\cap B) = P(B)\times P(A|B)

A

B

indépendants

\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

🎨 Illustration

Arbre pondéré à deux niveaux

Arbre de probabilité — sport et moyenne en maths

Sur l'exemple du cours : $40\%$ des élèves pratiquent un sport ( $S$ ). Parmi les sportifs, $70\%$ ont la moyenne ( $M$ ) ; parmi les non-sportifs, $50\%$ ont la moyenne. Le chemin en couleur (racine $\to S \to M$ ) est celui qui donne $P(S\cap M)$ .

1 Niveau 1 : $P(S) = 0{,}4$ et $P(\bar{S}) = 0{,}6$ — la somme des deux branches vaut bien $1$ .
2 Niveau 2 sous $S$ : $P(M|S) = 0{,}7$ et $P(\bar{M}|S) = 0{,}3$ (somme $=1$ ). Sous $\bar{S}$ : $P(M|\bar{S}) = 0{,}5$ et $P(\bar{M}|\bar{S}) = 0{,}5$ (somme $=1$ ).
3 Chemin mis en évidence : $P(S\cap M) = P(S)\times P(M|S) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28$ — la multiplication le long des branches.
4 Les quatre chemins somment à $1$ : $0{,}28+0{,}12+0{,}30+0{,}30=1$ , ce qui redonne $P(M)=0{,}28+0{,}30=0{,}58$ , retrouvé dans l'exemple du cours.

Ce qu'il faut lire : Multiplie les probabilités le long d'un chemin (racine → branche 1 → branche 2) pour obtenir la probabilité d'une intersection ; le chemin en trait plein coloré, racine →

S

→

M

, donne

P(S\cap M) = 0{,}28

Arbre pondéré à deux niveaux de l'exemple du cours :

P(S)=0{,}4

P(M|S)=0{,}7

P(M|\bar{S})=0{,}5

. Chemin

S\cap M

mis en évidence, avec

P(S\cap M)=0{,}28

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre $P(A|B)$ et $P(B|A)$ : ce n'est pas la même chose !

En médecine par exemple, la probabilité que le test soit positif si on est malade ( $P(T+|M)$ ) est très différente de la probabilité d'être malade si le test est positif ( $P(M|T+)$ ).

✅ La suggestion

Pour "inverser" le conditionnement, il faut la formule de Bayes.

💡 À retenir

$P(A|B) \neq P(B|A)$ en général : ne jamais inverser les conditionnements sans Bayes.
Sur un arbre : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins menant au même événement.
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Tester avant de conclure !
Formule de Bayes : indispensable pour "retourner" un conditionnement (diagnostic, fiabilité, etc.).

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