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Géométrie repérée

Vecteurs colinéaires, équations de droites

La géométrie repérée traduit les relations géométriques en calculs algébriques.

Deux vecteurs u⃗(a ; b)\vec{u}(a\,;\,b) et v⃗(c ; d)\vec{v}(c\,;\,d) sont colinéaires si leur déterminant ad−bc=0ad - bc = 0 : c'est le critère d'alignement de trois points.

Une droite d'équation ax+by+c=0ax + by + c = 0 possède un vecteur normal (a ; b)(a\,;\,b) (perpendiculaire à la droite) et un vecteur directeur (−b ; a)(-b\,;\,a) (parallèle à la droite).

L'erreur très courante : lire les coefficients (a ; b)(a\,;\,b) et les appeler "vecteur directeur" alors qu'ils forment le vecteur normal. On passe de l'un à l'autre en échangeant les coordonnées et changeant un signe.

📖 Vocabulaire clé

Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u⃗(a ; b)\vec{u}(a\,;\,b) et v⃗(c ; d)\vec{v}(c\,;\,d) sont colinéaires si ad−bc=0ad - bc = 0 (déterminant nul). Ils sont alors parallèles (même direction).
Déterminant : Le déterminant de u⃗(a ; b)\vec{u}(a\,;\,b) et v⃗(c ; d)\vec{v}(c\,;\,d) est det⁡(u⃗,v⃗)=ad−bc\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Vecteur directeur : Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur parallèle à cette droite. Pour ax+by+c=0ax + by + c = 0, un vecteur directeur est (−b ; a)(-b\,;\,a).
Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est perpendiculaire à celle-ci. Pour ax+by+c=0ax + by + c = 0, le vecteur normal est (a ; b)(a\,;\,b) (les coefficients de xx et yy).

📋 Tester la colinéarité et écrire l'équation d'une droite

  1. 1 Colinéarité : u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') colinéaires ⇔xy′−x′y=0\Leftrightarrow xy'-x'y=0 (déterminant nul).
  2. 2 Équation de droite passant par A(x0;y0)A(x_0;y_0) de vecteur directeur u⃗(a;b)\vec{u}(a;b) : b(x−x0)−a(y−y0)=0b(x-x_0)-a(y-y_0)=0.
  3. 3 Forme simple : utiliser y=mx+py=mx+p si la droite n'est pas verticale.
  4. 4 Alignement : trois points AA, BB, CC sont alignés si AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Déterminer l'équation de la droite passant par A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et B(4 ; −1)B(4\,;\,-1) sous la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0.
Démarche :
  1. Vecteur directeur : AB⃗=(4−1 ; −1−3)=(3 ; −4)\vec{AB} = (4-1\,;\,-1-3) = (3\,;\,-4).
  2. Un vecteur normal est (4 ; 3)(4\,;\,3) (on échange et on change un signe). L'équation est 4x+3y+c=04x + 3y + c = 0.
  3. On remplace par A(1 ; 3)A(1\,;\,3) : 4×1+3×3+c=04 \times 1 + 3 \times 3 + c = 0, soit 13+c=013 + c = 0, d'où c=−13c = -13.
Réponse : L'équation de la droite (AB)(AB) est 4x+3y−13=04x + 3y - 13 = 0. Vérification en BB : 4×4+3×(−1)−13=16−3−13=04 \times 4 + 3 \times (-1) - 13 = 16 - 3 - 13 = 0 ✓.

📐 Formules clés

u⃗(a;b)\vec{u}(a;b) et v⃗(c;d)\vec{v}(c;d) colinéaires ⇔ad−bc=0\Leftrightarrow ad-bc=0
Droite de vecteur directeur (a;b)(a;b) passant par (x0;y0)(x_0;y_0) : b(x−x0)=a(y−y0)b(x-x_0)=a(y-y_0)

🎨 Illustration

Droite, vecteur normal et vecteur directeur
La droite 4x+3y−13=04x + 3y - 13 = 0 : vecteur normal n⃗\vec{n} et vecteur directeur u⃗\vec{u} (exemple du cours)

La droite (AB)(AB) d'équation 4x+3y−13=04x+3y-13=0 (exemple du cours) passe par A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et B(4 ; −1)B(4\,;\,-1).
Son vecteur normal n⃗(4 ; 3)\vec{n}(4\,;\,3) et son vecteur directeur u⃗(−3 ; 4)\vec{u}(-3\,;\,4) sont tracés depuis AA, perpendiculaires entre eux.

Droite avec vecteur normal et vecteur directeur Repere orthonorme montrant la droite d'equation 4x + 3y - 13 = 0, passant par les points A(1;3) et B(4;-1). Le vecteur normal n(4;3) et le vecteur directeur u(-3;4) sont traces depuis A, perpendiculaires entre eux, avec un marqueur d'angle droit. x y O -2 5 -2 8 (d) : 4x + 3y − 13 = 0 A (1 ; 3) B (4 ; -1) n (4 ; 3) u (-3 ; 4) 90°
  • 1 n⃗⋅u⃗=4×(−3)+3×4=−12+12=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 4 \times (-3) + 3 \times 4 = -12 + 12 = 0 : le vecteur normal et le vecteur directeur sont bien orthogonaux, comme pour toute droite ax+by+c=0ax+by+c=0.
  • 2 Le vecteur directeur u⃗(−3 ; 4)\vec{u}(-3\,;\,4) est bien parallèle à la droite : en partant de A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et en ajoutant u⃗\vec{u}, on obtient (−2 ; 7)(-2\,;\,7), qui vérifie 4×(−2)+3×7−13=−8+21−13=04\times(-2)+3\times7-13 = -8+21-13 = 0 ✓.
  • 3 On retrouve aussi AB⃗(3 ; −4)=−u⃗\vec{AB}(3\,;\,-4) = -\vec{u} : AB⃗\vec{AB} et u⃗\vec{u} sont colinéaires (même direction, sens opposé), ce qui confirme que u⃗\vec{u} dirige bien la droite (AB)(AB).
  • 4 Le vecteur normal n⃗(4 ; 3)\vec{n}(4\,;\,3) correspond exactement aux coefficients de xx et yy dans l'équation 4x+3y−13=04x+3y-13=0 — c'est la lecture directe évoquée dans le cours.
Ce qu'il faut lire : Repère l'angle droit marqué en AA : c'est la signature visuelle que n⃗\vec{n} (perpendiculaire à la droite) et u⃗\vec{u} (parallèle à la droite) jouent des rôles opposés.
Droite (AB)(AB) d'équation 4x+3y−13=04x+3y-13=0 (exemple du cours), avec son vecteur normal n⃗(4 ; 3)\vec{n}(4\,;\,3) et son vecteur directeur u⃗(−3 ; 4)\vec{u}(-3\,;\,4).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Dans ax+by+c=0ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b)(a\,;\,b) est le vecteur normal (perpendiculaire à la droite), pas le vecteur directeur !

Le vecteur directeur est (−b ; a)(-b\,;\,a) (parallèle à la droite).

✅ La suggestion

Ne pas les confondre dans l'équation.

💡 À retenir

  • Colinéarité : det⁡(u⃗,v⃗)=ad−bc=0\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0. C'est le test d'alignement de trois points.
  • Dans ax+by+c=0ax + by + c = 0 : (a ; b)(a\,;\,b) est le vecteur normal, (−b ; a)(-b\,;\,a) est le vecteur directeur.
  • Pour écrire l'équation d'une droite : trouver un vecteur directeur AB⃗\vec{AB}, en déduire le normal, puis utiliser un point.
  • Pente m=yB−yAxB−xAm = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} (si la droite n'est pas verticale). Droite : y=mx+py = mx + p.
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