Matières › 📐 Mathématiques › Lycée › Géométrie repérée
📌

Géométrie repérée

Vecteurs colinéaires, équations de droites

Voici trois points : A(0 ; 1)A(0\,;\,1), B(3 ; 3)B(3\,;\,3) et C(6 ; 6)C(6\,;\,6). Sont-ils alignés ?

Place-les sur un quadrillage et regarde : ils semblent l'être. Trace la droite au crayon, elle passe à un cheveu du troisième point. Mais « à un cheveu » n'est pas une réponse mathématique, et l'épaisseur de ton trait suffirait à cacher l'écart.

Reprends alors avec C(6 ; 5)C(6\,;\,5) : le dessin est presque identique, et cette fois les points sont vraiment alignés. Deux figures que l'œil ne distingue pas, et deux réponses opposées.

Aucun dessin, si soigné soit-il, ne tranchera jamais cette question. Il faut un calcul qui réponde par oui ou par non — et qui, en prime, dise de combien on s'écarte de l'alignement. C'est tout l'objet de ce chapitre.

📖 Vocabulaire clé

Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u⃗(a ; b)\vec{u}(a\,;\,b) et v⃗(c ; d)\vec{v}(c\,;\,d) sont colinéaires si ad−bc=0ad - bc = 0 (déterminant nul). Ils sont alors parallèles (même direction).
Déterminant : Le déterminant de u⃗(a ; b)\vec{u}(a\,;\,b) et v⃗(c ; d)\vec{v}(c\,;\,d) est det⁡(u⃗,v⃗)=ad−bc\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Vecteur directeur : Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur parallèle à cette droite. Pour ax+by+c=0ax + by + c = 0, un vecteur directeur est (−b ; a)(-b\,;\,a).
Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est perpendiculaire à celle-ci. Pour ax+by+c=0ax + by + c = 0, le vecteur normal est (a ; b)(a\,;\,b) (les coefficients de xx et yy).

📋 Tester la colinéarité et écrire l'équation d'une droite

  1. 1 Colinéarité : u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') colinéaires ⇔xy′−x′y=0\Leftrightarrow xy'-x'y=0 (déterminant nul).
  2. 2 Équation de droite passant par A(x0;y0)A(x_0;y_0) de vecteur directeur u⃗(a;b)\vec{u}(a;b) : b(x−x0)−a(y−y0)=0b(x-x_0)-a(y-y_0)=0.
  3. 3 Forme simple : utiliser y=mx+py=mx+p si la droite n'est pas verticale.
  4. 4 Alignement : trois points AA, BB, CC sont alignés si AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Déterminer l'équation de la droite passant par A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et B(4 ; −1)B(4\,;\,-1) sous la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0.
Démarche :
  1. Vecteur directeur : AB⃗=(4−1 ; −1−3)=(3 ; −4)\vec{AB} = (4-1\,;\,-1-3) = (3\,;\,-4).
  2. Un vecteur normal est (4 ; 3)(4\,;\,3) (on échange et on change un signe). L'équation est 4x+3y+c=04x + 3y + c = 0.
  3. On remplace par A(1 ; 3)A(1\,;\,3) : 4×1+3×3+c=04 \times 1 + 3 \times 3 + c = 0, soit 13+c=013 + c = 0, d'où c=−13c = -13.
Réponse : L'équation de la droite (AB)(AB) est 4x+3y−13=04x + 3y - 13 = 0. Vérification en BB : 4×4+3×(−1)−13=16−3−13=04 \times 4 + 3 \times (-1) - 13 = 16 - 3 - 13 = 0 ✓.

📐 Formules clés

u⃗(a;b)\vec{u}(a;b) et v⃗(c;d)\vec{v}(c;d) colinéaires ⇔ad−bc=0\Leftrightarrow ad-bc=0
Droite de vecteur directeur (a;b)(a;b) passant par (x0;y0)(x_0;y_0) : b(x−x0)=a(y−y0)b(x-x_0)=a(y-y_0)

🎨 Illustrations

Droite, vecteur normal et vecteur directeur
La droite 4x+3y−13=04x + 3y - 13 = 0 : vecteur normal n⃗\vec{n} et vecteur directeur u⃗\vec{u} (exemple du cours)

La droite (AB)(AB) d'équation 4x+3y−13=04x+3y-13=0 (exemple du cours) passe par A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et B(4 ; −1)B(4\,;\,-1).
Son vecteur normal n⃗(4 ; 3)\vec{n}(4\,;\,3) et son vecteur directeur u⃗(−3 ; 4)\vec{u}(-3\,;\,4) sont tracés depuis AA, perpendiculaires entre eux.

Droite avec vecteur normal et vecteur directeur Repere orthonorme montrant la droite d'equation 4x + 3y - 13 = 0, passant par les points A(1;3) et B(4;-1). Le vecteur normal n(4;3) et le vecteur directeur u(-3;4) sont traces depuis A, perpendiculaires entre eux, avec un marqueur d'angle droit. x y O -2 5 -2 8 (d) : 4x + 3y − 13 = 0 A (1 ; 3) B (4 ; -1) n (4 ; 3) u (-3 ; 4) 90°
  • 1 n⃗⋅u⃗=4×(−3)+3×4=−12+12=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 4 \times (-3) + 3 \times 4 = -12 + 12 = 0 : le vecteur normal et le vecteur directeur sont bien orthogonaux, comme pour toute droite ax+by+c=0ax+by+c=0.
  • 2 Le vecteur directeur u⃗(−3 ; 4)\vec{u}(-3\,;\,4) est bien parallèle à la droite : en partant de A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et en ajoutant u⃗\vec{u}, on obtient (−2 ; 7)(-2\,;\,7), qui vérifie 4×(−2)+3×7−13=−8+21−13=04\times(-2)+3\times7-13 = -8+21-13 = 0 ✓.
  • 3 On retrouve aussi AB⃗(3 ; −4)=−u⃗\vec{AB}(3\,;\,-4) = -\vec{u} : AB⃗\vec{AB} et u⃗\vec{u} sont colinéaires (même direction, sens opposé), ce qui confirme que u⃗\vec{u} dirige bien la droite (AB)(AB).
  • 4 Le vecteur normal n⃗(4 ; 3)\vec{n}(4\,;\,3) correspond exactement aux coefficients de xx et yy dans l'équation 4x+3y−13=04x+3y-13=0 — c'est la lecture directe évoquée dans le cours.
Ce qu'il faut lire : Repère l'angle droit marqué en AA : c'est la signature visuelle que n⃗\vec{n} (perpendiculaire à la droite) et u⃗\vec{u} (parallèle à la droite) jouent des rôles opposés.
Droite (AB)(AB) d'équation 4x+3y−13=04x+3y-13=0 (exemple du cours), avec son vecteur normal n⃗(4 ; 3)\vec{n}(4\,;\,3) et son vecteur directeur u⃗(−3 ; 4)\vec{u}(-3\,;\,4).
Ce que mesure le déterminant
Alignés ou presque : ce que l'œil ne voit pas

Le critère « det⁡=0\det = 0 donc alignés » s'apprend vite et ne veut rien dire tant qu'on n'a pas vu ce que le déterminant mesure.

Les deux dessins ci-dessous partagent les mêmes points AA et BB. Seul CC change, et d'un seul carreau. À gauche les trois points sont alignés, à droite ils ne le sont pas — et c'est le calcul, pas le coup d'œil, qui permet de le dire.

Deux triplets de points, alignes a gauche et non alignes a droite Deux dessins cote a cote, a la meme echelle. A gauche, les points A, B et C ont pour coordonnees zero et un, trois et trois, six et cinq : ils sont exactement alignes sur une droite, et le determinant des vecteurs AB et AC vaut zero. A droite, A et B sont les memes mais C se trouve en six et six, soit un carreau plus haut : le point sort legerement de la droite passant par A et B, le determinant vaut trois, et les trois points ne sont pas alignes. L'ecart est trop faible pour se voir avec certitude. A B C determinant nul points alignes A B C determinant 3 points non alignes
  • 1 À gauche : A(0 ; 1)A(0\,;\,1), B(3 ; 3)B(3\,;\,3), C(6 ; 5)C(6\,;\,5), donc AB⃗(3 ; 2)\vec{AB}(3\,;\,2) et AC⃗(6 ; 4)\vec{AC}(6\,;\,4).
  • 2 Le déterminant vaut det⁡(AB⃗,AC⃗)=3×4−2×6=12−12=0\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0 : les points sont alignés.
  • 3 À droite, seul CC change : il passe en (6 ; 6)(6\,;\,6), donc AC⃗(6 ; 5)\vec{AC}(6\,;\,5).
  • 4 Le déterminant vaut alors 3×5−2×6=15−12=3≠03 \times 5 - 2 \times 6 = 15 - 12 = 3 \neq 0 : les points ne sont pas alignés.
  • 5 Un déterminant de 33 pour un écart d'un seul carreau : c'est peu sur le dessin, et pourtant parfaitement net dans le calcul. Le déterminant mesure l'écart à l'alignement, il ne se contente pas de le signaler.
Ce qu'il faut lire : Regarde d'abord les deux dessins sans lire les légendes, et essaie de dire lequel est aligné : tu ne peux pas en être sûr. Puis suis la droite en pointillés du dessin de droite — elle passe juste en dessous du point CC. C'est précisément pour ces cas-là que le déterminant existe : l'œil hésite, le calcul tranche.
Mêmes points A(0 ; 1)A(0\,;\,1) et B(3 ; 3)B(3\,;\,3) ; à gauche C(6 ; 5)C(6\,;\,5) donne det⁡=0\det = 0 (alignés), à droite C(6 ; 6)C(6\,;\,6) donne det⁡=3\det = 3 (non alignés).
Le cercle
L'équation d'un cercle ne dit qu'une chose : une distance

L'écriture (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 s'apprend souvent comme une formule de plus. Elle n'est pourtant que le théorème de Pythagore appliqué à un point courant : la distance au centre vaut le rayon.

Sur le cercle de centre Ω(3 ; 2)\Omega(3\,;\,2) et de rayon 55, quatre points à coordonnées entières permettent de le vérifier de tête, sans aucune racine carrée à poser.

Cercle de centre trois et deux, de rayon cinq Repere gradue portant un cercle de centre omega, de coordonnees trois et deux, et de rayon cinq. Quatre points a coordonnees entieres sont marques sur ce cercle : huit et deux, trois et sept, moins un et cinq, six et moins deux. Pour chacun, l'ecart horizontal et l'ecart vertical au centre forment un triangle rectangle dont l'hypotenuse est le rayon. Un rayon horizontal est trace du centre vers le point huit et deux, cote cinq. x y 0 centre 5 8 ; 2 3 ; 7 -1 ; 5 6 ; -2
  • 1 L'équation du cercle s'écrit (x−3)2+(y−2)2=25(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25, puisque le centre est Ω(3 ; 2)\Omega(3\,;\,2) et le rayon r=5r = 5.
  • 2 Pour (8 ; 2)(8\,;\,2) : (8−3)2+(2−2)2=25+0=25(8-3)^2 + (2-2)^2 = 25 + 0 = 25 ✓. L'écart est purement horizontal.
  • 3 Pour (3 ; 7)(3\,;\,7) : (3−3)2+(7−2)2=0+25=25(3-3)^2 + (7-2)^2 = 0 + 25 = 25 ✓. L'écart est purement vertical.
  • 4 Pour (−1 ; 5)(-1\,;\,5) : (−4)2+32=16+9=25(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 ✓, et pour (6 ; −2)(6\,;\,-2) : 32+(−4)2=9+16=253^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 ✓.
  • 5 Ces deux derniers sont le triangle 33-44-55 : c'est pour cela qu'ils tombent sur des nœuds du quadrillage. Tester si un point appartient au cercle, c'est simplement calculer une distance.
Ce qu'il faut lire : Choisis un des quatre points marqués, puis compte les carreaux jusqu'au centre : d'abord horizontalement, puis verticalement. Élève ces deux nombres au carré, additionne : tu trouves toujours 2525, soit 525^2. Tu viens d'appliquer le théorème de Pythagore, et c'est exactement ce que l'équation du cercle écrit.
Cercle de centre Ω(3 ; 2)\Omega(3\,;\,2) et de rayon 55, d'équation (x−3)2+(y−2)2=25(x-3)^2+(y-2)^2=25, avec quatre de ses points à coordonnées entières.
La droite
Une seule droite, deux écritures

La forme y=mx+py = mx + p vient de la seconde, la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 arrive en première, et beaucoup d'élèves les rangent comme deux objets différents.

C'est la même droite, et ses points le prouvent : ils vérifient les deux équations. La forme générale a seulement l'avantage de savoir décrire aussi les droites verticales, que y=mx+py = mx+p ne peut pas écrire.

Une droite et ses points a coordonnees entieres Repere gradue portant une droite descendante qui passe par les points zero et quatre, trois et deux, six et zero. Un vecteur normal, de coordonnees deux et trois, est trace depuis le point zero et quatre, perpendiculairement a la droite ; un petit carre marque cet angle droit. La droite a pour equation generale deux x plus trois y moins douze egale zero, et pour equation reduite y egale moins deux tiers x plus quatre. x y 0 0 ; 4 3 ; 2 6 ; 0 normal (2 ; 3) 2x + 3y − 12 = 0 soit y = −2/3 x + 4
  • 1 Les trois points marqués vérifient la forme générale : pour (0 ; 4)(0\,;\,4), 2×0+3×4−12=02 \times 0 + 3 \times 4 - 12 = 0 ✓ ; pour (3 ; 2)(3\,;\,2), 6+6−12=06 + 6 - 12 = 0 ✓ ; pour (6 ; 0)(6\,;\,0), 12+0−12=012 + 0 - 12 = 0 ✓.
  • 2 Ils vérifient aussi la forme réduite : −23×3+4=2-\dfrac{2}{3} \times 3 + 4 = 2 ✓, et −23×6+4=0-\dfrac{2}{3} \times 6 + 4 = 0 ✓.
  • 3 Pour passer de l'une à l'autre, on isole yy : 3y=−2x+123y = -2x + 12, donc y=−23x+4y = -\dfrac{2}{3}x + 4. La pente m=−23m = -\dfrac{2}{3} et l'ordonnée à l'origine p=4p = 4 se lisent alors directement.
  • 4 Le vecteur normal n⃗(2 ; 3)\vec{n}(2\,;\,3) se lit sur les coefficients de la forme générale, et un vecteur directeur est u⃗(−3 ; 2)\vec{u}(-3\,;\,2).
  • 5 Contrôle : n⃗⋅u⃗=2×(−3)+3×2=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = 0 — ils sont bien perpendiculaires, comme le marque le carré de l'angle droit.
Ce qu'il faut lire : Prends un des trois points marqués et teste-le dans les deux équations écrites sur la figure : les deux sont vérifiées. C'est la preuve qu'il n'y a qu'une droite, décrite de deux façons. Choisis ensuite l'écriture selon ce que tu cherches : la forme réduite si tu veux la pente, la forme générale si tu veux un vecteur normal.
La droite 2x+3y−12=02x+3y-12=0, c'est-à-dire y=−23x+4y = -\frac{2}{3}x + 4, avec trois de ses points et son vecteur normal n⃗(2 ; 3)\vec{n}(2\,;\,3).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Dans ax+by+c=0ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b)(a\,;\,b) est le vecteur normal (perpendiculaire à la droite), pas le vecteur directeur !

Le vecteur directeur est (−b ; a)(-b\,;\,a) (parallèle à la droite).

✅ La suggestion

Ne pas les confondre dans l'équation.

💡 À retenir

  • Colinéarité : det⁡(u⃗,v⃗)=ad−bc=0\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0. C'est le test d'alignement de trois points.
  • Dans ax+by+c=0ax + by + c = 0 : (a ; b)(a\,;\,b) est le vecteur normal, (−b ; a)(-b\,;\,a) est le vecteur directeur.
  • Pour écrire l'équation d'une droite : trouver un vecteur directeur AB⃗\vec{AB}, en déduire le normal, puis utiliser un point.
  • Pente m=yB−yAxB−xAm = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} (si la droite n'est pas verticale). Droite : y=mx+py = mx + p.
← Trigonométrie — cercle trigonométrique 21 / 36 → Probabilités conditionnelles