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Trigonométrie — cercle trigonométrique

Radians, cos, sin, valeurs remarquables

🔬 Application physique-chimie : Mouvement circulaire uniforme, signal sinusoïdal du courant alternatif, décomposition d'une onde
En seconde, tu as défini le cosinus et le sinus dans un triangle rectangle, comme des rapports de longueurs. Cette définition a une limite dont on parle rarement : un angle de triangle rectangle est forcément compris entre 0°0° et 90°90°.

Or une nacelle de grande roue ne s'arrête pas à 90°90°. Elle passe au sommet, redescend de l'autre côté, revient en bas, repart. Quelle est sa hauteur après 210°210° de rotation ? Et après trois tours et demi ?

Aucun triangle rectangle ne contient un angle de 210°210°, et pourtant la nacelle est bien quelque part. Les longueurs ne peuvent pas être négatives, alors que la nacelle passe sous son point de départ.

Il faut donc une définition plus large, qui redonne les anciennes valeurs entre 0°0° et 90°90° mais continue d'avoir un sens au-delà, et qui accepte les nombres négatifs. C'est le cercle trigonométrique, et il apporte au passage une unité d'angle qui va s'imposer pour toute la suite de tes études : le radian.

📖 Vocabulaire clé

Radian : Le radian est l'unité naturelle de mesure d'angle : π\pi rad =180°= 180°. Un tour complet vaut 2π2\pi rad. Conversion : αrad=αdeg×π180\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}.
Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 11. Tout point du cercle a pour coordonnées (cos⁡θ ; sin⁡θ)(\cos\theta\,;\,\sin\theta).
Cosinus et sinus : Pour un angle θ\theta, cos⁡θ\cos\theta est l'abscisse et sin⁡θ\sin\theta l'ordonnée du point associé sur le cercle trigonométrique. On a toujours cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
Valeurs remarquables : Les angles 00, π6\dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4}, π3\dfrac{\pi}{3}, π2\dfrac{\pi}{2} ont des cosinus et sinus exacts à connaître par cœur : ils forment la base de tous les calculs trigonométriques.

📋 Conversion et valeurs remarquables

  1. 1 Conversion : rad=degreˊs×π180\text{rad} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}.
  2. 2 Valeurs remarquables : 0,π6,π4,π3,π20, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}.
  3. 3 Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : un angle du deuxième quadrant s'écrit π−α\pi - \alpha avec α\alpha remarquable. Son point est le symétrique de celui de α\alpha par rapport à l'axe vertical, donc cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha et sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha.

    Exemple : 2π3=π−π3\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}, donc cos⁡2π3=−cos⁡π3=−12\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}.
  4. 4 Les deux autres symétries, une fois la première comprise : π+α\pi + \alpha (troisième quadrant, symétrie par rapport à OO) change les deux signes : cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha et sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha.

    2π−α2\pi - \alpha (quatrième quadrant, symétrie par rapport à l'axe des abscisses) ne change que le signe du sinus : cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha) = \cos\alpha et sin⁡(2π−α)=−sin⁡α\sin(2\pi-\alpha) = -\sin\alpha.

    Dans tous les cas, la valeur absolue est celle de α\alpha : seul le signe se lit sur le cercle.
  5. 5 Périodicité : cos⁡(θ+2π)=cos⁡θ\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta, sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta.
  6. 6 Parité : cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta (pair) ; sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta (impair).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer les coordonnées exactes du point MM sur le cercle trigonométrique pour θ=5π6\theta = \dfrac{5\pi}{6}.
Démarche :
  1. On décompose : 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}. On utilise les formules de symétrie.
  2. cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos\left(\pi - \alpha\right) = -\cos\alpha et sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin\left(\pi - \alpha\right) = \sin\alpha.
  3. cos⁡5π6=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡5π6=sin⁡π6=12\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}.
Réponse : M(−32 ; 12)M\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right). Le point est dans le 2e quadrant (abscisse négative, ordonnée positive).

📐 Formules clés

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta+\sin^2\theta=1
cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha
cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha
cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha, sin⁡(2π−α)=−sin⁡α\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha

🎨 Illustrations

Cercle trigonométrique
Placer un angle et lire directement cosinus et sinus

Le point M associé à l'angle θ a pour abscisse cos θ et pour ordonnée sin θ. Ici θ = 5π/6, l'angle de l'exemple traité dans le cours.

Cercle trigonometrique, angle theta = 5 pi/6 Cercle de rayon 1 centre en O. Le point M associe a l'angle 5 pi/6 (150 degres) a pour coordonnees moins racine de 3 sur 2 et un demi. Des pointilles projettent M sur les deux axes pour lire le cosinus et le sinus. x y O 0 π/6 π/4 π/3 π/2 θ M cos θ = -√3/2 sin θ = 1/2
  • 1 θ = 5π/6 se décompose en π − π/6 : on retombe sur l'angle remarquable π/6, mais dans le 2e quadrant (abscisse négative).
  • 2 L'abscisse de M donne directement cos θ = −√3/2 ; l'ordonnée donne sin θ = 1/2 — ce sont les projections en pointillés sur les deux axes.
  • 3 Les 4 points de repère sur le cercle (π/6, π/4, π/3, π/2) sont les angles remarquables du premier quadrant : leurs coordonnées sont à connaître par cœur.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'angle remarquable le plus proche (ici π/6, car 5π/6 = π − π/6), puis applique la symétrie pour placer M dans le bon quadrant.
Point M associé à l'angle θ = 5π/6 sur le cercle trigonométrique, avec projections donnant cos θ et sin θ.
Pourquoi le radian existe
Un radian, c'est une longueur

Le radian passe souvent pour une unité bizarre, imposée sans raison à la place des degrés. Il n'a pourtant rien d'arbitraire : sur le cercle de rayon 11, l'angle et la longueur de l'arc sont le même nombre.

C'est ce qui rend l'unité naturelle, et c'est pourquoi les formules d'analyse — les dérivées de sin⁡\sin et cos⁡\cos, notamment — ne fonctionnent qu'en radians.

Un radian est la longueur de l arc egale au rayon Cercle de rayon un, centre en O. Un rayon horizontal part du centre vers la droite. Un second rayon est incline d'un angle d'un radian, soit environ cinquante-sept degres. L'arc du cercle compris entre les deux rayons est mis en evidence : sa longueur vaut exactement un, c'est-a-dire la meme valeur que le rayon. Un rappel indique qu'un tour complet correspond a deux pi radians, soit environ six virgule vingt-huit fois le rayon. x y O rayon 1 arc de longueur 1 1 rad un tour complet parcourt une longueur de 2π soit environ 6,28 fois le rayon : c'est pourquoi un tour vaut 2π radians
  • 1 Sur un cercle de rayon RR, un angle de θ\theta radians découpe un arc de longueur ℓ=R×θ\ell = R \times \theta.
  • 2 Quand R=1R = 1, cette relation devient ℓ=θ\ell = \theta : l'angle et l'arc sont littéralement le même nombre. C'est la définition du radian.
  • 3 Un tour complet a pour longueur le périmètre, 2πR2\pi R. Sur le cercle de rayon 11, cela fait 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28 : un tour vaut donc 2π2\pi radians.
  • 4 Un radian vaut environ 57,3°57{,}3° — un nombre qui ne tombe jamais juste, et c'est bien pourquoi on ne convertit pas : on travaille directement en radians.
  • 5 Le degré, lui, est une convention historique héritée des Babyloniens : diviser le tour en 360360 parts est commode, mais ne mesure aucune longueur.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux traits pleins qui partent du centre avec l'arc épais qui les relie : le rayon et l'arc ont exactement la même longueur. C'est cela, un radian — pas une conversion, une égalité de longueurs. Répète l'opération six fois et il te restera un petit reste : ces 6,286{,}28 tronçons sont le tour complet, c'est-à-dire 2π2\pi.
Sur le cercle de rayon 11, un angle de 11 radian découpe un arc de longueur 11 : l'angle et l'arc sont le même nombre.
Ce qu'il ne faut pas apprendre par cœur
Quatre angles, deux valeurs, rien qu'un signe qui change

Le réflexe le plus coûteux du chapitre consiste à mémoriser une valeur par angle — et il y en a une douzaine.

Les quatre points ci-dessous correspondent aux angles π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6}, 7π6\frac{7\pi}{6} et 11π6\frac{11\pi}{6}. Ils partagent exactement le même cosinus et le même sinus en valeur absolue. Une seule valeur à connaître, celle de π6\frac{\pi}{6} ; le reste se lit sur le dessin.

Quatre points symetriques sur le cercle trigonometrique Cercle trigonometrique centre en O. Quatre points y sont marques, un par quadrant, aux angles pi sur six, cinq pi sur six, sept pi sur six et onze pi sur six. Ils forment un rectangle : les deux points du haut ont la meme ordonnee, un demi, les deux du bas ont l'ordonnee opposee ; les deux points de droite ont la meme abscisse, racine de trois sur deux, les deux de gauche l'abscisse opposee. Seuls les signes distinguent les quatre points. x y O π/6 5π/6 7π/6 11π/6 ordonnée 1/2 ordonnée −1/2 abscisses : √3/2 à droite, −√3/2 à gauche
  • 1 Les quatre angles se décomposent tous à partir de π6\dfrac{\pi}{6} : 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}, 7π6=π+π6\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} et 11π6=2π−π6\dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6}.
  • 2 Leurs cosinus valent ±32≈±0,866\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx \pm 0{,}866 et leurs sinus ±12\pm\dfrac{1}{2} : deux valeurs absolues, et rien de plus à retenir.
  • 3 Le point de 5π6\dfrac{5\pi}{6} est le symétrique de celui de π6\dfrac{\pi}{6} par rapport à l'axe des ordonnées : le cosinus change de signe, le sinus est conservé.
  • 4 Celui de 7π6\dfrac{7\pi}{6} est le symétrique par rapport au centre OO : les deux coordonnées changent de signe.
  • 5 Celui de 11π6\dfrac{11\pi}{6} est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : le cosinus est conservé, le sinus change de signe. C'est exactement la parité du cosinus et l'imparité du sinus.
Ce qu'il faut lire : Repère le point du premier quadrant, en haut à droite, et retiens ses deux coordonnées — ce sont les seules à connaître. Pour les trois autres, pose simplement la question du quadrant : l'abscisse est-elle à gauche ou à droite de l'axe vertical, l'ordonnée au-dessus ou en dessous de l'axe horizontal ? Les signes se lisent, ils ne se mémorisent pas.
Les angles π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6}, 7π6\frac{7\pi}{6} et 11π6\frac{11\pi}{6} forment un rectangle : mêmes valeurs absolues, seuls les signes changent.
Le piège du chapitre
Pourquoi le cosinus de π6\frac{\pi}{6} est le grand

La confusion entre cos⁡π6\cos\frac{\pi}{6} et cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3} est signalée dans le piège du cours, et c'est l'erreur la plus fréquente de toute la trigonométrie de première.

Aucun moyen mnémotechnique n'est nécessaire : il suffit de regarder. Quand l'angle grandit, le point monte, donc son ordonnée — le sinus — augmente, et son abscisse — le cosinus — diminue.

Les trois angles remarquables du premier quadrant Quart de cercle de rayon un. Trois points y sont marques, aux angles pi sur six, pi sur quatre et pi sur trois. Chacun est projete verticalement sur l'axe horizontal pour montrer son cosinus. Le point de pi sur six est le plus bas et le plus a droite : son cosinus est le plus grand. Le point de pi sur trois est le plus haut et le plus a gauche : son cosinus est le plus petit. Les trois pieds de projection se succedent de droite a gauche a mesure que l'angle augmente. x y O π/6 π/4 π/3 cos π/6 ≈ 0,87 cos π/4 ≈ 0,71 cos π/3 = 0,5 le cosinus diminue quand l'angle augmente
  • 1 Les trois pieds de projection se succèdent de droite à gauche quand l'angle augmente : c'est toute la démonstration.
  • 2 cos⁡π6=32≈0,866\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 : l'angle est petit, le point reste bas et très à droite.
  • 3 cos⁡π4=22≈0,707\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 : à 45°45°, le point est sur la diagonale, et cosinus et sinus sont égaux.
  • 4 cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} : l'angle est grand, le point est monté et son abscisse a fondu de moitié.
  • 5 Le sinus fait l'inverse, et pour la même raison : sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}, puis 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}, puis 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Les mêmes trois nombres, dans l'ordre inverse.
Ce qu'il faut lire : Si tu hésites un jour entre 12\frac{1}{2} et 32\frac{\sqrt{3}}{2}, ne cherche pas dans ta mémoire : refais ce dessin au brouillon. Place le point du petit angle, tout en bas à droite, et demande-toi si son abscisse est grande ou petite. Elle est grande, donc cos⁡π6\cos\frac{\pi}{6} est le plus grand des deux, c'est-à-dire 32\frac{\sqrt{3}}{2}.
Les trois angles remarquables du premier quadrant : quand l'angle croît, le pied de la projection recule vers la gauche et le cosinus diminue.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} et cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} : les deux sont souvent intervertis !

Astuce : le cosinus décroît quand l'angle croît.

✅ La suggestion

Donc cos⁡(π/6)>cos⁡(π/3)\cos(\pi/6) > \cos(\pi/3), ce qui donne 32>12\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}.

💡 À retenir

  • Conversion : radians=degreˊs×π180\text{radians} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}. Toujours travailler en radians pour les dérivées.
  • cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 : la relation fondamentale, valide pour tout angle θ\theta.
  • Cosinus est pair (cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta) ; sinus est impair (sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta).
  • Mnémotechnique : quand l'angle croît de 00 à π/2\pi/2, le cosinus décroît et le sinus croît.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Mouvement circulaire uniforme, signal sinusoïdal du courant alternatif, décomposition d'une onde

Mots-clés associés : RadianCercle trigonométriqueCosinusSinusValeurs remarquables
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