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Trigonométrie — cercle trigonométrique

Radians, cos, sin, valeurs remarquables

🔬 Application physique-chimie : Mouvement circulaire uniforme, signal sinusoïdal du courant alternatif, décomposition d'une onde
Le cercle trigonométrique unifie toutes les définitions du cosinus et du sinus : pour tout angle θ\theta en radians, le point M(cos⁡θ ; sin⁡θ)M(\cos\theta\,;\,\sin\theta) se trouve sur le cercle de rayon 11. Cela généralise le triangle rectangle à tous les angles réels.

Le radian est l'unité naturelle : π\pi rad =180°= 180°, un tour complet =2π= 2\pi rad. Les formules de dérivée ((sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x) ne sont valides qu'en radians.

Deux familles de valeurs remarquables sont souvent confondues : cos⁡(π/6)=32\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2} et cos⁡(π/3)=12\cos(\pi/3)=\frac{1}{2}.

Pour les retenir, penser que plus l'angle est grand, plus le cosinus est petit (le cosinus décroît de 00 à π\pi).

📖 Vocabulaire clé

Radian : Le radian est l'unité naturelle de mesure d'angle : π\pi rad =180°= 180°. Un tour complet vaut 2π2\pi rad. Conversion : αrad=αdeg×π180\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}.
Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 11. Tout point du cercle a pour coordonnées (cos⁡θ ; sin⁡θ)(\cos\theta\,;\,\sin\theta).
Cosinus et sinus : Pour un angle θ\theta, cos⁡θ\cos\theta est l'abscisse et sin⁡θ\sin\theta l'ordonnée du point associé sur le cercle trigonométrique. On a toujours cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
Valeurs remarquables : Les angles 00, π6\dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4}, π3\dfrac{\pi}{3}, π2\dfrac{\pi}{2} ont des cosinus et sinus exacts à connaître par cœur : ils forment la base de tous les calculs trigonométriques.

📋 Conversion et valeurs remarquables

  1. 1 Conversion : rad=degreˊs×π180\text{rad} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}.
  2. 2 Valeurs remarquables : 0,π6,π4,π3,π20, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}.
  3. 3 Symétries (pour un angle en dehors du premier quadrant) : on le ramène à un angle remarquable α\alpha en le décomposant sous la forme π−α\pi-\alpha, π+α\pi+\alpha ou 2π−α2\pi-\alpha, puis on applique cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha (formules analogues pour π+α\pi+\alpha et 2π−α2\pi-\alpha, seul le signe change selon le quadrant). Exemple : 2π3=π−π3\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}, donc cos⁡2π3=−cos⁡π3=−12\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}.
  4. 4 Périodicité : cos⁡(θ+2π)=cos⁡θ\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta, sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta.
  5. 5 Parité : cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta (pair) ; sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta (impair).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer les coordonnées exactes du point MM sur le cercle trigonométrique pour θ=5π6\theta = \dfrac{5\pi}{6}.
Démarche :
  1. On décompose : 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}. On utilise les formules de symétrie.
  2. cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos\left(\pi - \alpha\right) = -\cos\alpha et sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin\left(\pi - \alpha\right) = \sin\alpha.
  3. cos⁡5π6=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡5π6=sin⁡π6=12\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}.
Réponse : M(−32 ; 12)M\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right). Le point est dans le 2e quadrant (abscisse négative, ordonnée positive).

📐 Formules clés

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta+\sin^2\theta=1
cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha

🎨 Illustration

Cercle trigonométrique
Placer un angle et lire directement cosinus et sinus

Le point M associé à l'angle θ a pour abscisse cos θ et pour ordonnée sin θ. Ici θ = 5π/6, l'angle de l'exemple traité dans le cours.

Cercle trigonometrique, angle theta = 5 pi/6 Cercle de rayon 1 centre en O. Le point M associe a l'angle 5 pi/6 (150 degres) a pour coordonnees moins racine de 3 sur 2 et un demi. Des pointilles projettent M sur les deux axes pour lire le cosinus et le sinus. x y O 0 π/6 π/4 π/3 π/2 θ M cos θ = -√3/2 sin θ = 1/2
  • 1 θ = 5π/6 se décompose en π − π/6 : on retombe sur l'angle remarquable π/6, mais dans le 2e quadrant (abscisse négative).
  • 2 L'abscisse de M donne directement cos θ = −√3/2 ; l'ordonnée donne sin θ = 1/2 — ce sont les projections en pointillés sur les deux axes.
  • 3 Les 4 points de repère sur le cercle (π/6, π/4, π/3, π/2) sont les angles remarquables du premier quadrant : leurs coordonnées sont à connaître par cœur.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'angle remarquable le plus proche (ici π/6, car 5π/6 = π − π/6), puis applique la symétrie pour placer M dans le bon quadrant.
Point M associé à l'angle θ = 5π/6 sur le cercle trigonométrique, avec projections donnant cos θ et sin θ.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} et cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} : les deux sont souvent intervertis !

Astuce : le cosinus décroît quand l'angle croît.

✅ La suggestion

Donc cos⁡(π/6)>cos⁡(π/3)\cos(\pi/6) > \cos(\pi/3), ce qui donne 32>12\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}.

💡 À retenir

  • Conversion : radians=degreˊs×π180\text{radians} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}. Toujours travailler en radians pour les dérivées.
  • cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 : la relation fondamentale, valide pour tout angle θ\theta.
  • Cosinus est pair (cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta) ; sinus est impair (sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta).
  • Mnémotechnique : quand l'angle croît de 00 à π/2\pi/2, le cosinus décroît et le sinus croît.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Mouvement circulaire uniforme, signal sinusoïdal du courant alternatif, décomposition d'une onde

Mots-clés associés : RadianCercle trigonométriqueCosinusSinusValeurs remarquables
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