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Signe d'un trinôme du second degré

Tableau de signe, inéquations du second degré

Le chapitre précédent t'a appris à répondre à la question « pour quelle valeur de xx le bénéfice est-il nul ? ». Tu calcules Δ\Delta, tu trouves les racines, c'est fini.

Un gérant se moque pourtant de savoir quand son bénéfice est nul. Ce qu'il veut savoir, c'est « pour quelles valeurs est-il positif ? » — autrement dit, entre quelles quantités produites son atelier gagne-t-il de l'argent.

La différence entre ces deux questions a l'air minime. Elle est énorme.

La première a pour réponse deux nombres. La seconde a pour réponse tout un intervalle — une infinité de valeurs, qu'il faut pourtant décrire en une ligne. Et rien de ce que tu as appris ne dit lesquelles.

Essaie sur B(x)=−x2+6x−5B(x) = -x^2 + 6x - 5, dont tu sais déjà trouver les racines 11 et 55. Le bénéfice est-il positif entre ces deux nombres, ou à l'extérieur ? Les deux réponses sont possibles a priori, et une seule est juste.

Tester quelques valeurs au hasard finirait par te renseigner, mais ne prouverait rien. Ce chapitre construit l'outil qui répond d'un coup, pour tous les xx à la fois : le tableau de signe.

📖 Vocabulaire clé

Signe d'un trinôme : Le signe d'un trinôme ax2+bx+cax^2 + bx + c sur un intervalle indique où l'expression est positive, négative ou nulle. Il dépend de aa et Δ\Delta.
Tableau de signe : Le tableau de signe résume les intervalles où le trinôme est positif, négatif ou nul. Les racines (si elles existent) sont les seuls changements de signe.
Inéquation du second degré : Résoudre une inéquation ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 (ou <0< 0, ≥0\geq 0, ≤0\leq 0) revient à lire les intervalles dans le tableau de signe.
Signe de aa : Le coefficient aa détermine l'orientation de la parabole : si a>0a > 0 (parabole vers le haut), le trinôme est du signe de aa à l'extérieur des racines ; si a<0a < 0, c'est l'inverse.

📋 Établir le tableau de signe

  1. 1 Calculer le discriminant Δ\Delta et les racines éventuelles x1<x2x_1 < x_2.
  2. 2 Si Δ<0\Delta < 0 : le signe est celui de aa sur R\mathbb{R} entier.
  3. 3 Si Δ=0\Delta = 0 : le signe est celui de aa, sauf en x0x_0 où il est nul.
  4. 4 Si Δ>0\Delta > 0 : le trinôme est de signe opposé à aa entre x1x_1 et x2x_2, et de même signe que aa en dehors.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'inéquation −x2+4x−3≥0-x^2 + 4x - 3 \geq 0.
Démarche :
  1. On identifie a=−1a = -1, b=4b = 4, c=−3c = -3. Calcul : Δ=16−12=4>0\Delta = 16 - 12 = 4 > 0.
  2. Racines : x1=−4+2−2=1x_1 = \dfrac{-4 + 2}{-2} = 1 et x2=−4−2−2=3x_2 = \dfrac{-4 - 2}{-2} = 3.
  3. a=−1<0a = -1 < 0 : le trinôme est positif entre les racines. Donc −x2+4x−3≥0-x^2 + 4x - 3 \geq 0 pour x∈[1 ; 3]x \in [1\,;\,3].
Réponse : L'ensemble solution est [1 ; 3][1\,;\,3]. Attention : a<0a < 0 inverse la règle habituelle !

📐 Formules clés

a>0,Δ>0a > 0, \Delta > 0 : ax2+bx+c<0⇔x1<x<x2ax^2+bx+c < 0 \Leftrightarrow x_1 < x < x_2
a>0,Δ>0a > 0, \Delta > 0 : ax2+bx+c>0⇔x<x1ax^2+bx+c > 0 \Leftrightarrow x < x_1 ou x>x2x > x_2

🎨 Illustrations

Deux paraboles, deux signes
Comparer le signe d'un trinôme selon a>0a>0 ou a<0a<0

À gauche, f(x)=x2−x−6f(x)=x^2-x-6 (a=1>0a=1>0) : la parabole "sourit", elle est négative entre ses racines. À droite, g(x)=−x2+4x−3g(x)=-x^2+4x-3 (a=−1<0a=-1<0, l'exemple du cours) : la parabole est renversée, elle est positive entre ses racines.

Signe de deux trinômes selon le signe de a Deux paraboles cote a cote. A gauche a=1 positif, courbe vers le haut, negative entre les racines -2 et 3. A droite a=-1 negatif, courbe vers le bas, positive entre les racines 1 et 3. Les zones de signe positif sont teintees en vert, les zones negatives en rouge. a positif -4 0 5 x₁ = -2 x₂ = 3 S(0,5 ; -6,25) + − + x y a negatif -1 0 5 x₁ = 1 x₂ = 3 S(2 ; 1) − + − x y
  • 1 Panneau gauche (a=1>0a=1>0) : la parabole "sourit" vers le haut. Elle est négative entre les racines (−2<x<3-2 < x < 3, zone rouge) et positive à l'extérieur (zones vertes).
  • 2 Panneau droit (a=−1<0a=-1<0, exemple du cours) : la parabole est renversée. Elle est positive entre les racines (1<x<31 < x < 3, zone verte) et négative à l'extérieur (zones rouges).
  • 3 Dans les deux cas, le sommet SS (point le plus bas ou le plus haut) marque l'axe de symétrie de la parabole, à mi-chemin entre les deux racines.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'orientation de la parabole (signe de aa), puis lis directement la couleur des zones : vert = positif, rouge = négatif. Le changement de couleur se produit exactement aux racines.
Comparaison des deux cas a>0a>0 et a<0a<0 pour un même type de trinôme, avec zones de signe coloriées.
D'où vient le tableau
Le tableau de signe est la courbe recopiée ligne par ligne

Le tableau de signe n'est pas une convention d'écriture qu'il faudrait apprendre à part : c'est la courbe elle-même, résumée en une bande.

Les deux traits verticaux du tableau ne tombent pas n'importe où : ils tombent exactement sous les deux racines, c'est-à-dire sous les deux seuls endroits où la courbe traverse l'axe.

Le tableau de signe aligne sous la courbe En haut, une parabole tournee vers le bas coupe l'axe horizontal aux abscisses moins 2 et 4, et culmine entre les deux. En bas, une bande resume le signe : negatif avant moins 2, positif entre moins 2 et 4, negatif apres 4. Deux traits verticaux en tirets descendent des deux racines jusqu'a la bande, montrant que les separations du tableau tombent exactement sous les points ou la courbe traverse l'axe. − + − signe -2 4 sommet -1 2 3 chaque separation tombe sous une racine
  • 1 La fonction est f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8, avec a=−1a = -1, b=2b = 2 et c=8c = 8.
  • 2 Son discriminant vaut Δ=22−4×(−1)×8=4+32=36>0\Delta = 2^2 - 4\times(-1)\times 8 = 4 + 32 = 36 > 0, donc deux racines : x1=−2x_1 = -2 et x2=4x_2 = 4.
  • 3 Comme a=−1<0a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : elle est positive entre ses racines et négative à l'extérieur — ce que la bande du bas recopie exactement.
  • 4 Les deux traits en tirets ne sont pas décoratifs : ils montrent que les séparations du tableau sont les racines, et rien d'autre.
  • 5 Entre deux racines consécutives, le signe ne peut pas changer : pour changer de signe, une fonction continue doit passer par zéro. C'est la raison profonde pour laquelle un tableau de signe n'a qu'une case par intervalle.
Ce qu'il faut lire : Fais glisser ton doigt le long de la courbe, de la gauche vers la droite, et regarde la bande du dessous en même temps. Tant que la courbe est sous l'axe, la bande porte un −- ; dès qu'elle passe au-dessus, la bande porte un ++. Les deux traits verticaux marquent l'instant exact du basculement — et cet instant, c'est la racine.
Signe de f(x)=−x2+2x+8f(x)=-x^2+2x+8 lu sur sa courbe : les séparations du tableau tombent exactement sous les racines −2-2 et 44.
Quand il n'y a pas de racine
Un discriminant négatif ne veut pas dire « rien à dire »

Quand Δ<0\Delta < 0, il est tentant de conclure « pas de solution, donc pas de signe ». C'est l'inverse : le trinôme a alors un signe parfaitement constant, et c'est le cas le plus simple du chapitre.

Sans racine, la parabole ne traverse jamais l'axe : elle reste entièrement du côté que lui impose le signe de aa.

Deux paraboles sans racine, de signes constants opposes Deux paraboles sans racine, cote a cote. Celle de gauche est tournee vers le haut et reste entierement au-dessus de sa ligne horizontale, sans jamais la toucher : le trinome y est toujours positif. Celle de droite est tournee vers le bas et reste entierement en dessous de sa ligne horizontale, sans jamais la toucher non plus : le trinome y est toujours negatif. Les deux ont le meme discriminant negatif, et seul le signe du coefficient devant le carre les distingue. a positif point le plus bas toujours positif la courbe reste au-dessus a negatif point le plus haut toujours negatif la courbe reste en dessous
  • 1 À gauche : f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4, donc Δ=4−16=−12<0\Delta = 4 - 16 = -12 < 0, et a=1>0a = 1 > 0.
  • 2 À droite : g(x)=−x2+2x−4g(x) = -x^2 + 2x - 4, de discriminant Δ=4−16=−12\Delta = 4 - 16 = -12 également, mais avec a=−1<0a = -1 < 0.
  • 3 Les deux ont exactement le même discriminant : ce n'est donc pas lui qui décide du signe, il décide seulement qu'il n'y a pas de changement de signe.
  • 4 Le point extrême de la parabole de gauche est en (1 ; 3)(1\,;\,3), celui de droite en (1 ; −3)(1\,;\,-3) : l'un au-dessus de l'axe, l'autre en dessous. C'est la seule différence, et elle vient du signe de aa.
  • 5 La règle complète tient donc en une phrase : si Δ<0\Delta < 0, le trinôme est du signe de aa sur R\mathbb{R} tout entier.
Ce qu'il faut lire : Cherche sur chaque dessin un endroit où la courbe toucherait la ligne horizontale : il n'y en a pas, et c'est ce que dit Δ<0\Delta < 0. Regarde ensuite de quel côté de la ligne se trouve la courbe. À gauche elle est au-dessus partout, à droite en dessous partout — et tu n'as eu besoin d'aucun calcul, seulement de l'orientation de la parabole.
Deux trinômes de même discriminant Δ=−12\Delta=-12 : x2−2x+4x^2-2x+4 reste positif, −x2+2x−4-x^2+2x-4 reste négatif. Seul le signe de aa les sépare.
Le sens de l'inégalité
Changer le sens de l'inégalité change la forme de la réponse

Un même trinôme, deux inéquations opposées, et deux ensembles solutions qui ne se ressemblent pas du tout : l'un est un intervalle borné, l'autre une réunion de deux demi-droites.

Beaucoup d'élèves écrivent la même forme de réponse dans les deux cas, en changeant seulement les crochets. La figure montre que ce sont deux objets différents.

Deux ensembles solutions de formes differentes Deux droites numeriques identiques, graduees de moins 2 a 4, portant toutes deux les valeurs moins 1 et 3. Sur la droite du haut, deux segments epais sont traces, l'un a gauche de moins 1 et l'autre a droite de 3 : l'ensemble solution est fait de deux morceaux separes. Sur la droite du bas, un seul segment epais relie moins 1 a 3 : l'ensemble solution est d'un seul tenant. solutions de f de x strictement positif -1 3 un morceau et un autre rien ici solutions de f de x strictement negatif -1 3 un seul morceau, borne des deux cotes rien ici rien ici meme trinome, memes racines, deux formes de reponse
  • 1 Le trinôme est f(x)=x2−2x−3=(x−3)(x+1)f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1), de racines −1-1 et 33, avec a=1>0a = 1 > 0.
  • 2 En haut, f(x)>0f(x) > 0 : la solution est ]−∞ ; −1[  ∪  ]3 ; +∞[]-\infty\,;\,-1[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[, faite de deux morceaux disjoints.
  • 3 En bas, f(x)<0f(x) < 0 : la solution est ]−1 ; 3[]-1\,;\,3[, d'un seul tenant et bornée des deux côtés.
  • 4 Les deux ensembles se complètent : réunis, ils couvrent tout R\mathbb{R} sauf les deux racines, où ff est nulle et où aucune des deux inégalités strictes n'est vérifiée.
  • 5 Le symbole ∪\cup n'est donc pas un ornement : il signale qu'il y a vraiment deux intervalles, et l'oublier revient à changer la réponse.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux lignes en ne regardant que les traits épais. En haut, ils sont deux et ils s'éloignent vers les bords ; en bas, il n'y en a qu'un et il est coincé entre les deux racines. Si tu écris la même forme de réponse pour les deux inéquations, tu as forcément décrit l'une des deux lignes à la place de l'autre.
Pour f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3 : f(x)>0f(x)>0 donne deux demi-droites, f(x)<0f(x)<0 donne l'intervalle ]−1 ; 3[]-1\,;\,3[.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Si a<0a < 0, les inégalités sont inversées !

✅ La suggestion

Le trinôme est alors positif entre les racines et négatif à l'extérieur.

Toujours commencer par vérifier le signe de aa avant de dresser le tableau de signe.

💡 À retenir

  • Première étape : toujours identifier le signe de aa (orientation de la parabole).
  • Δ>0\Delta > 0 : le signe change aux racines. Δ=0\Delta = 0 : nul au sommet. Δ<0\Delta < 0 : signe constant (celui de aa).
  • Si a>0a > 0 : le trinôme est négatif entre les racines. Si a<0a < 0 : il est positif entre les racines.
  • Pour une inéquation, d'abord le tableau de signe, ensuite la lecture des intervalles solutions.
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