📉

Signe d'un trinôme du second degré

Tableau de signe, inéquations du second degré

Le signe d'un trinôme est entièrement déterminé par deux éléments : le coefficient $a$ et le discriminant $\Delta$ .

L'intuition géométrique : si $a > 0$ , la parabole "sourit" (ouverte vers le haut) — elle est positive aux extrémités et négative dans le creux entre ses racines. Si $a < 0$ , la parabole est renversée : positive entre ses racines, négative à l'extérieur.

C'est le piège le plus fréquent : les élèves appliquent systématiquement la règle "négatif entre les racines" sans vérifier le signe de $a$ .

Si $\Delta < 0$ , la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses : son signe est constant, égal au signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ .

📖 Vocabulaire clé

Signe d'un trinôme : Le signe d'un trinôme

ax^2 + bx + c

sur un intervalle indique où l'expression est positive, négative ou nulle. Il dépend de

a

\Delta

Tableau de signe : Le tableau de signe résume les intervalles où le trinôme est positif, négatif ou nul. Les racines (si elles existent) sont les seuls changements de signe.

Inéquation du second degré : Résoudre une inéquation

ax^2 + bx + c > 0

(ou

< 0

\geq 0

\leq 0

) revient à lire les intervalles dans le tableau de signe.

Signe de $a$ : Le coefficient

a

détermine l'orientation de la parabole : si

a > 0

(parabole vers le haut), le trinôme est du signe de

a

à l'extérieur des racines ; si

a < 0

, c'est l'inverse.

📋 Établir le tableau de signe

1 Calculer le discriminant $\Delta$ et les racines éventuelles $x_1 < x_2$ .
2 Si $\Delta < 0$ : le signe est celui de $a$ sur $\mathbb{R}$ entier.
3 Si $\Delta = 0$ : le signe est celui de $a$ , sauf en $x_0$ où il est nul.
4 Si $\Delta > 0$ : le trinôme est de signe opposé à $a$ entre $x_1$ et $x_2$ , et de même signe que $a$ en dehors.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'inéquation

-x^2 + 4x - 3 \geq 0

Démarche :

On identifie $a = -1$ , $b = 4$ , $c = -3$ . Calcul : $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$ .
Racines : $x_1 = \dfrac{-4 + 2}{-2} = 1$ et $x_2 = \dfrac{-4 - 2}{-2} = 3$ .
$a = -1 < 0$ : le trinôme est positif entre les racines. Donc $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ pour $x \in [1\,;\,3]$ .

Réponse : L'ensemble solution est

[1\,;\,3]

. Attention :

a < 0

inverse la règle habituelle !

📐 Formules clés

a > 0, \Delta > 0

ax^2+bx+c < 0 \Leftrightarrow x_1 < x < x_2

a > 0, \Delta > 0

ax^2+bx+c > 0 \Leftrightarrow x < x_1

x > x_2

🎨 Illustration

Deux paraboles, deux signes

Comparer le signe d'un trinôme selon

a>0

a<0

À gauche, $f(x)=x^2-x-6$ ( $a=1>0$ ) : la parabole "sourit", elle est négative entre ses racines. À droite, $g(x)=-x^2+4x-3$ ( $a=-1<0$ , l'exemple du cours) : la parabole est renversée, elle est positive entre ses racines.

1 Panneau gauche ( $a=1>0$ ) : la parabole "sourit" vers le haut. Elle est négative entre les racines ( $-2 < x < 3$ , zone rouge) et positive à l'extérieur (zones vertes).
2 Panneau droit ( $a=-1<0$ , exemple du cours) : la parabole est renversée. Elle est positive entre les racines ( $1 < x < 3$ , zone verte) et négative à l'extérieur (zones rouges).
3 Dans les deux cas, le sommet $S$ (point le plus bas ou le plus haut) marque l'axe de symétrie de la parabole, à mi-chemin entre les deux racines.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'orientation de la parabole (signe de

a

), puis lis directement la couleur des zones : vert = positif, rouge = négatif. Le changement de couleur se produit exactement aux racines.

Comparaison des deux cas

a>0

a<0

pour un même type de trinôme, avec zones de signe coloriées.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Si $a < 0$ , les inégalités sont inversées !

✅ La suggestion

Le trinôme est alors positif entre les racines et négatif à l'extérieur.

Toujours commencer par vérifier le signe de $a$ avant de dresser le tableau de signe.

💡 À retenir

Première étape : toujours identifier le signe de $a$ (orientation de la parabole).
$\Delta > 0$ : le signe change aux racines. $\Delta = 0$ : nul au sommet. $\Delta < 0$ : signe constant (celui de $a$ ).
Si $a > 0$ : le trinôme est négatif entre les racines. Si $a < 0$ : il est positif entre les racines.
Pour une inéquation, d'abord le tableau de signe, ensuite la lecture des intervalles solutions.

← Second degré 19 / 36 → Trigonométrie — cercle trigonométrique