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Second degré

Équations, discriminant, factorisation

🔬 Application physique-chimie : Trajectoire parabolique d'un projectile, étude de la chute libre
Tu sais résoudre 3x−12=03x - 12 = 0 : tu isoles xx en passant les termes de l'autre côté, et tu tombes sur une réponse. Une seule.

Essaie maintenant avec x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0.

Tu ne peux rien isoler : dès que tu déplaces un terme, xx reste coincé à deux endroits à la fois, une fois au carré et une fois tout seul. Aucune des méthodes que tu connais ne mord sur cette équation.

Un jardinier a pourtant besoin de la résoudre : il dispose de 1212 mètres de grillage et veut enclore une parcelle rectangulaire de 55 mètres carrés. Quelle doit être la largeur ?

Et voici ce qui rend cette équation vraiment différente : la réponse n'est pas unique. Deux largeurs conviennent, 11 mètre et 55 mètres, et elles donnent la même parcelle vue de deux façons. Une équation qui admet deux réponses également valables, c'est un objet que le premier degré ne produit jamais.

Tout le chapitre répond à deux questions : combien de solutions une telle équation possède-t-elle, et comment les trouver sans tâtonner.

📖 Vocabulaire clé

Trinôme du second degré : Un trinôme est un polynôme de la forme ax2+bx+cax^2 + bx + c avec a≠0a \neq 0. Sa courbe représentative est une parabole.
Discriminant : Le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac détermine le nombre de racines réelles : Δ>0\Delta > 0 (deux racines), Δ=0\Delta = 0 (racine double), Δ<0\Delta < 0 (aucune racine réelle).
Racine : Une racine (ou zéro) de ax2+bx+cax^2 + bx + c est une valeur x0x_0 telle que ax02+bx0+c=0ax_0^2 + bx_0 + c = 0. Graphiquement, c'est un point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Sommet de la parabole : Le sommet a pour abscisse xS=−b2ax_S = -\dfrac{b}{2a} et pour ordonnée f(xS)f(x_S). C'est le maximum si a<0a < 0 ou le minimum si a>0a > 0.

📋 Résoudre ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

  1. 1 Calculer le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2-4ac.
  2. 2 Si Δ<0\Delta < 0 : pas de solution réelle.
  3. 3 Si Δ=0\Delta = 0 : une solution double x0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}.
  4. 4 Si Δ>0\Delta > 0 : deux solutions x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre 2x2−8x+6=02x^2 - 8x + 6 = 0 et donner la forme factorisée.
Démarche :
  1. On identifie a=2a = 2, b=−8b = -8, c=6c = 6. Calcul du discriminant : Δ=(−8)2−4×2×6=64−48=16\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 6 = 64 - 48 = 16.
  2. Δ=16>0\Delta = 16 > 0 : deux racines distinctes. Δ=4\sqrt{\Delta} = 4.
  3. x1=8−44=1x_1 = \dfrac{8 - 4}{4} = 1 et x2=8+44=3x_2 = \dfrac{8 + 4}{4} = 3.
Réponse : Les solutions sont x1=1x_1 = 1 et x2=3x_2 = 3. Forme factorisée : 2(x−1)(x−3)2(x - 1)(x - 3).

📐 Formules clés

Δ=b2−4ac\Delta = b^2-4ac
x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} si Δ>0\Delta>0
Forme factorisée : a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) si Δ>0\Delta>0

🎨 Illustrations

Racines et sommet
Repérer les racines et le sommet sur la parabole

La parabole de g(x)=2x2−8x+6g(x) = 2x^2 - 8x + 6 (l'exemple du cours), calculée point par point entre x=−0,5x=-0{,}5 et x=4,5x=4{,}5, avec ses deux racines x1=1x_1=1 et x2=3x_2=3 et son sommet S(2 ; −2)S(2\,;\,-2).

Parabole de g(x) = 2x carre - 8x + 6 avec racines et sommet Parabole tracee entre x=-0,5 et x=4,5. Elle coupe l'axe des abscisses en x=1 et x=3, et son sommet, minimum de la parabole, est au point (2 ; -2), a mi-chemin entre les deux racines. g(x) = 2x² − 8x + 6 x₁ = 1 x₂ = 3 S(2 ; -2) axe de symétrie (x = 2) 0 1 2 3 4 -2 6 10 x y
  • 1 Le discriminant vaut Δ=(−8)2−4×2×6=64−48=16\Delta = (-8)^2 - 4\times2\times6 = 64-48=16, donc Δ=4\sqrt{\Delta}=4 : il y a deux racines distinctes.
  • 2 Les racines sont x1=8−44=1x_1=\dfrac{8-4}{4}=1 et x2=8+44=3x_2=\dfrac{8+4}{4}=3 : ce sont les deux points où la parabole coupe l'axe des abscisses (points pleins sur le graphique).
  • 3 Le sommet est en xS=−b2a=84=2x_S=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2, à mi-chemin entre les deux racines (axe de symétrie en tirets). Son ordonnée est g(2)=8−16+6=−2g(2)=8-16+6=-2.
  • 4 Comme a=2>0a=2>0, la parabole "sourit" vers le haut : le sommet S(2 ; −2)S(2\,;\,-2) est un minimum.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les deux racines (là où la courbe touche l'axe horizontal), puis le sommet exactement à mi-chemin entre elles : c'est l'axe de symétrie de la parabole.
Parabole de g(x)=2x2−8x+6g(x)=2x^2-8x+6, exemple du cours, avec racines et sommet vérifiés indépendamment (Δ=16\Delta=16, x1=1x_1=1, x2=3x_2=3, S(2 ; −2)S(2\,;\,-2)).
Ce que dit le discriminant
Les trois positions de la parabole selon le signe du discriminant

Le discriminant n'est pas une formule à appliquer pour elle-même : c'est un capteur de position. Il dit où se trouve la parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc combien de fois elle le rencontre.

Les trois paraboles ci-dessous ont le même coefficient a=1a = 1 et le même sommet d'abscisse 33. Seule leur hauteur change — et c'est exactement ce que Δ\Delta mesure.

Trois positions de la parabole selon le signe du discriminant Trois paraboles tournees vers le haut, placees cote a cote a la meme echelle et partageant la meme ligne horizontale. La premiere descend sous cette ligne et la traverse en deux points : son discriminant vaut 16, il est positif, et il y a deux racines. La deuxieme touche la ligne en un seul point, son sommet : son discriminant est nul et il y a une racine double. La troisieme reste entierement au-dessus de la ligne sans jamais la toucher : son discriminant vaut moins 16, il est negatif, et il n'y a aucune racine reelle. delta = 16 deux racines la parabole traverse delta = 0 une racine double la parabole effleure delta = -16 aucune racine reelle la parabole ne touche pas
  • 1 Les trois trinômes sont x2−6x+5x^2-6x+5, x2−6x+9x^2-6x+9 et x2−6x+13x^2-6x+13 : même a=1a=1, même b=−6b=-6, seul cc change.
  • 2 Comme Δ=36−4c\Delta = 36 - 4c, augmenter cc relève la parabole et fait décroître Δ\Delta : Δ=16\Delta = 16, puis 00, puis −16-16.
  • 3 Le sommet est chaque fois en xS=−b2a=3x_S = -\dfrac{b}{2a} = 3, et son ordonnée vaut successivement −4-4, 00 et +4+4 : c'est elle qui décide de tout.
  • 4 Le signe de Δ\Delta et celui de l'ordonnée du sommet sont donc opposés lorsque a>0a>0 : une parabole qui plonge sous l'axe le coupe deux fois, une parabole qui reste au-dessus ne le coupe jamais.
Ce qu'il faut lire : Ne regarde pas d'abord la formule, regarde la ligne horizontale. Pose ton doigt sur le point le plus bas de chaque parabole et demande-toi s'il est sous la ligne, sur la ligne, ou au-dessus. Ces trois réponses sont exactement les trois signes possibles de Δ\Delta — et tu viens de lire le discriminant sans rien calculer.
Trois trinômes de même aa et de même sommet d'abscisse 33 : Δ=16\Delta = 16 (sommet en −4-4), Δ=0\Delta = 0 (sommet sur l'axe), Δ=−16\Delta = -16 (sommet en +4+4).
La solution qu'on oublie
Pourquoi x2=9x^2 = 9 a deux solutions et non une

C'est l'erreur que le cours signale comme la plus fréquente du chapitre, et elle ne se corrige pas en répétant la règle : il faut la voir.

Résoudre x2=9x^2 = 9, c'est chercher les abscisses où la courbe de y=x2y = x^2 atteint la hauteur 99. On trace donc cette hauteur, et on compte les rencontres.

La droite de hauteur 9 coupe la parabole en deux points La courbe de la fonction carre forme une vallee symetrique par rapport a l'axe vertical. Une droite horizontale de hauteur 9 la traverse et la rencontre en deux points, l'un a l'abscisse moins 3, l'autre a l'abscisse 3. Deux traits verticaux descendent de ces deux points jusqu'a l'axe des abscisses, montrant que les deux abscisses sont a la meme distance de zero, l'une a gauche et l'autre a droite. hauteur 9 x = -3 x = 3 -2 -1 1 2 4 9 deux abscisses, une seule hauteur
  • 1 La courbe tracée est celle de y=x2y = x^2, et la droite horizontale est celle de y=9y = 9.
  • 2 Elles se rencontrent en deux points, (−3 ; 9)(-3\,;\,9) et (3 ; 9)(3\,;\,9) : il y a donc deux valeurs de xx dont le carré vaut 99.
  • 3 Le calcul le confirme des deux côtés : 32=93^2 = 9 et (−3)2=9(-3)^2 = 9, car le carré d'un nombre négatif est positif.
  • 4 La touche « racine carrée » de la calculatrice ne rend qu'une seule de ces deux valeurs, la positive. C'est elle, et non la parabole, qui fait oublier l'autre.
  • 5 On retrouve ici, sous une autre forme, le schéma des trois positions : la droite y=9y=9 joue le rôle de l'axe, et elle est franchement traversée — donc deux solutions.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur la droite horizontale et fais-le glisser de la gauche vers la droite. Tu croises la courbe une première fois, puis une seconde. Chacune de ces deux rencontres est une solution, et il n'y a aucune raison de n'en retenir qu'une : la parabole est symétrique, donc elle atteint chaque hauteur exactement deux fois.
La droite y=9y=9 coupe la parabole y=x2y=x^2 en x=−3x=-3 et en x=3x=3 : l'équation x2=9x^2=9 a bien deux solutions.
Où se cache le sommet
Le sommet est toujours à mi-chemin entre les racines

Le sommet n'est pas un quatrième nombre à mémoriser à côté de Δ\Delta, x1x_1 et x2x_2 : il se déduit des deux racines, parce que la parabole est symétrique.

Sur f(x)=x2−8x+12f(x) = x^2 - 8x + 12, les racines sont 22 et 66, et le sommet tombe exactement entre les deux.

Le sommet de la parabole a mi-chemin entre ses deux racines Une parabole tournee vers le haut coupe l'axe horizontal en deux points, aux abscisses 2 et 6. Un trait vertical en tirets descend depuis l'axe jusqu'au point le plus bas de la courbe, situe a l'abscisse 4. Deux fleches horizontales, de meme longueur, relient chacune une racine a ce trait vertical : la distance de la racine 2 au trait vaut 2, et la distance du trait a la racine 6 vaut aussi 2. Le sommet se trouve donc exactement au milieu des deux racines. racine 2 racine 6 sommet en 4 2 2 axe de symetrie -4 4 memes ecarts de part et d autre
  • 1 La fonction est f(x)=x2−8x+12f(x) = x^2 - 8x + 12, de discriminant Δ=64−48=16\Delta = 64 - 48 = 16 et de racines x1=2x_1 = 2 et x2=6x_2 = 6.
  • 2 La moyenne des racines vaut 2+62=4\dfrac{2+6}{2} = 4, et la formule donne xS=−b2a=82=4x_S = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{2} = 4 : les deux chemins mènent au même nombre.
  • 3 Les deux écarts marqués sur la figure valent exactement 22 chacun : c'est ce que signifie « à mi-chemin ».
  • 4 L'ordonnée du sommet se calcule ensuite en une ligne : f(4)=16−32+12=−4f(4) = 16 - 32 + 12 = -4.
  • 5 Cette symétrie sert aussi de vérification : si le sommet trouvé ne tombe pas entre les deux racines, c'est qu'une des trois valeurs est à revoir.
Ce qu'il faut lire : Repère les deux points où la courbe touche la ligne horizontale, puis place ton doigt exactement au milieu de ces deux points. Descends tout droit : tu tombes sur le point le plus bas de la parabole. Ce n'est pas une coïncidence de cet exemple — la parabole est symétrique par rapport à cette verticale, donc c'est toujours vrai.
Sur f(x)=x2−8x+12f(x)=x^2-8x+12, les racines 22 et 66 encadrent le sommet d'abscisse 44, à distance 22 de chacune.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention au signe de aa : si a<0a<0 le coefficient de x2x^2 est négatif, ne pas oublier de l'inclure dans Δ\Delta.

Autre piège classique : résoudre x2=kx^2 = k et ne donner qu'une seule solution.

✅ La suggestion

Il y en a toujours deux si k>0k > 0 : x=kx = \sqrt{k} et x=−kx = -\sqrt{k}.

💡 À retenir

  • Toujours calculer Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac en premier : c'est lui qui dicte le nombre de solutions.
  • Δ>0\Delta > 0 : deux racines ; Δ=0\Delta = 0 : racine double ; Δ<0\Delta < 0 : aucune racine réelle.
  • Le sommet de la parabole est en xS=−b/(2a)x_S = -b/(2a) : c'est l'abscisse de l'extremum.
  • Si a>0a > 0 : parabole "souriante" (minimum). Si a<0a < 0 : parabole "triste" (maximum).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Trajectoire parabolique d'un projectile, étude de la chute libre

Mots-clés associés : TrinômeDiscriminantRacineFactorisation
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