🔵

Second degré

Équations, discriminant, factorisation

🔬 Application physique-chimie : Trajectoire parabolique d'un projectile, étude de la chute libre

Une équation du second degré modélise toute situation où une quantité dépend du carré d'une autre : trajectoire d'un projectile, aire d'un carré, bénéfice d'une entreprise.

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ agit comme un capteur : $\Delta > 0$ signifie que la parabole coupe l'axe des abscisses en 2 points distincts, $\Delta = 0$ en 1 point (sommet sur l'axe), $\Delta < 0$ jamais.

Une erreur très fréquente : résoudre $x^2 = 9$ et n'écrire que $x = 3$ , en oubliant que $(-3)^2 = 9$ aussi — il y a deux solutions $x = 3$ et $x = -3$ .

La forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ est très utile en physique pour trouver les instants où une grandeur s'annule.

📖 Vocabulaire clé

Trinôme du second degré : Un trinôme est un polynôme de la forme

ax^2 + bx + c

avec

a \neq 0

. Sa courbe représentative est une parabole.

Discriminant : Le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

détermine le nombre de racines réelles :

\Delta > 0

(deux racines),

\Delta = 0

(racine double),

\Delta < 0

(aucune racine réelle).

Racine : Une racine (ou zéro) de

ax^2 + bx + c

est une valeur

x_0

telle que

ax_0^2 + bx_0 + c = 0

. Graphiquement, c'est un point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Sommet de la parabole : Le sommet a pour abscisse

x_S = -\dfrac{b}{2a}

et pour ordonnée

f(x_S)

. C'est le maximum si

a < 0

ou le minimum si

a > 0

📋 Résoudre $ax^2+bx+c=0$

1 Calculer le discriminant $\Delta = b^2-4ac$ .
2 Si $\Delta < 0$ : pas de solution réelle.
3 Si $\Delta = 0$ : une solution double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .
4 Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre

2x^2 - 8x + 6 = 0

et donner la forme factorisée.

Démarche :

On identifie $a = 2$ , $b = -8$ , $c = 6$ . Calcul du discriminant : $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 6 = 64 - 48 = 16$ .
$\Delta = 16 > 0$ : deux racines distinctes. $\sqrt{\Delta} = 4$ .
$x_1 = \dfrac{8 - 4}{4} = 1$ et $x_2 = \dfrac{8 + 4}{4} = 3$ .

Réponse : Les solutions sont

x_1 = 1

x_2 = 3

. Forme factorisée :

2(x - 1)(x - 3)

📐 Formules clés

\Delta = b^2-4ac

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

\Delta>0

Forme factorisée :

a(x-x_1)(x-x_2)

\Delta>0

🎨 Illustration

Racines et sommet

Repérer les racines et le sommet sur la parabole

La parabole de $g(x) = 2x^2 - 8x + 6$ (l'exemple du cours), calculée point par point entre $x=-0{,}5$ et $x=4{,}5$ , avec ses deux racines $x_1=1$ et $x_2=3$ et son sommet $S(2\,;\,-2)$ .

1 Le discriminant vaut $\Delta = (-8)^2 - 4\times2\times6 = 64-48=16$ , donc $\sqrt{\Delta}=4$ : il y a deux racines distinctes.
2 Les racines sont $x_1=\dfrac{8-4}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{8+4}{4}=3$ : ce sont les deux points où la parabole coupe l'axe des abscisses (points pleins sur le graphique).
3 Le sommet est en $x_S=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2$ , à mi-chemin entre les deux racines (axe de symétrie en tirets). Son ordonnée est $g(2)=8-16+6=-2$ .
4 Comme $a=2>0$ , la parabole "sourit" vers le haut : le sommet $S(2\,;\,-2)$ est un minimum.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les deux racines (là où la courbe touche l'axe horizontal), puis le sommet exactement à mi-chemin entre elles : c'est l'axe de symétrie de la parabole.

Parabole de

g(x)=2x^2-8x+6

, exemple du cours, avec racines et sommet vérifiés indépendamment (

\Delta=16

x_1=1

x_2=3

S(2\,;\,-2)

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention au signe de $a$ : si $a<0$ le coefficient de $x^2$ est négatif, ne pas oublier de l'inclure dans $\Delta$ .

Autre piège classique : résoudre $x^2 = k$ et ne donner qu'une seule solution.

✅ La suggestion

Il y en a toujours deux si $k > 0$ : $x = \sqrt{k}$ et $x = -\sqrt{k}$ .

💡 À retenir

Toujours calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ en premier : c'est lui qui dicte le nombre de solutions.
$\Delta > 0$ : deux racines ; $\Delta = 0$ : racine double ; $\Delta < 0$ : aucune racine réelle.
Le sommet de la parabole est en $x_S = -b/(2a)$ : c'est l'abscisse de l'extremum.
Si $a > 0$ : parabole "souriante" (minimum). Si $a < 0$ : parabole "triste" (maximum).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Trajectoire parabolique d'un projectile, étude de la chute libre

Mots-clés associés : TrinômeDiscriminantRacineFactorisation

← Produit scalaire 18 / 36 → Signe d'un trinôme du second degré