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Produit scalaire

Définition, calcul, travail d'une force

🔬 Application physique-chimie : Travail d'une force W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}, puissance P=F⃗⋅v⃗P = \vec{F} \cdot \vec{v}
Le produit scalaire "projette" un vecteur sur un autre et retourne un scalaire (un nombre réel), jamais un vecteur. Sa formule : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta où θ\theta est l'angle entre les deux vecteurs.

En physique, le travail d'une force est exactement ce produit scalaire : W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}. Si θ=90°\theta = 90°, cos vaut 00 donc W=0W = 0 (la réaction normale du sol ne travaille pas). Si θ=180°\theta = 180°, la force s'oppose au mouvement et W<0W < 0 (frottement).

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : c'est le critère algébrique de la perpendicularité.

📖 Vocabulaire clé

Produit scalaire : Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est le nombre réel u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta. C'est un scalaire (nombre), jamais un vecteur.
Norme d'un vecteur : La norme de u⃗(x ; y)\vec{u}(x\,;\,y) est ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}. On la retrouve via ∥u⃗∥2=u⃗⋅u⃗\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}.
Orthogonalité : Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux (u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}) si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. C'est le critère algébrique de la perpendicularité.
Travail d'une force : Le travail d'une force F⃗\vec{F} sur un déplacement d⃗\vec{d} est W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta. Il peut être positif (moteur), nul (perpendiculaire) ou négatif (résistant).

📋 Méthode

  1. 1 Définition angulaire : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(θ)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta).
  2. 2 Définition par coordonnées : si u⃗(x1,y1)\vec{u}(x_1, y_1) et v⃗(x2,y2)\vec{v}(x_2, y_2), alors u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2.
  3. 3 Orthogonalité : u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Auto-produit : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6). Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis déterminer si les vecteurs sont orthogonaux.
Démarche :
  1. u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2=3×2+(−1)×6=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 3 \times 2 + (-1) \times 6 = 6 - 6 = 0.
  2. Puisque u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, les vecteurs sont orthogonaux : u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}.
  3. Vérification géométrique : ∥u⃗∥=10\|\vec{u}\| = \sqrt{10}, ∥v⃗∥=40\|\vec{v}\| = \sqrt{40}, cos⁡θ=0/(1040)=0\cos\theta = 0/(\sqrt{10}\sqrt{40}) = 0 donc θ=90°\theta = 90°.
Réponse : u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 : les vecteurs u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6) sont bien orthogonaux.

📐 Formules clés

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta
u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos\theta (travail d'une force)
u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

🎨 Illustration

Deux vecteurs orthogonaux
Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} (exemple du cours) : une projection nulle

Les vecteurs u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6) (exemple du cours) sont tracés depuis l'origine OO.

Le petit carré en OO marque l'angle droit entre eux ; le cercle en pointillés autour de OO représente la projection orthogonale de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v}, réduite au point OO.

Deux vecteurs orthogonaux et leur projection nulle Repere orthonorme montrant les vecteurs u(3;-1) et v(2;6) traces depuis l'origine O. Un marqueur d'angle droit en O indique leur perpendicularite. La projection orthogonale de u sur v est marquee par un cercle en pointilles autour de O, car elle est le vecteur nul. x y -1 4 -1 7 O v (2 ; 6) u (3 ; -1) 90° H = O (projection nulle)
  • 1 u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2=3×2+(−1)×6=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 = 3\times2 + (-1)\times6 = 6 - 6 = 0 : le produit scalaire est nul, donc u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}.
  • 2 Le projeté orthogonal de u⃗\vec{u} sur la droite portée par v⃗\vec{v} est le point HH tel que OH→=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗=040v⃗=0⃗\overrightarrow{OH} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\vec{v} = \dfrac{0}{40}\vec{v} = \vec{0} : HH coïncide avec OO, c'est le cercle en pointillés.
  • 3 Vérification géométrique du cours : ∥u⃗∥=10\|\vec{u}\| = \sqrt{10}, ∥v⃗∥=40\|\vec{v}\| = \sqrt{40}, donc cos⁡θ=010×40=0\cos\theta = \dfrac{0}{\sqrt{10}\times\sqrt{40}} = 0 et θ=90°\theta = 90°.
  • 4 Une projection nulle est la signature géométrique de l'orthogonalité : c'est le cas particulier où le « pied » de la projection remonte jusqu'à l'origine du vecteur projeté.
Ce qu'il faut lire : Le carré à angle droit en OO et le cercle en pointillés se lisent ensemble : la projection de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v} n'a littéralement aucune longueur, car les deux vecteurs sont perpendiculaires.
Vecteurs u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6) (exemple du cours) : orthogonaux, donc de projection nulle l'un sur l'autre.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le produit scalaire est un nombre (scalaire), pas un vecteur : u⃗⋅v⃗∈R\vec{u} \cdot \vec{v} \in \mathbb{R}.

Il peut être négatif (angle obtus), nul (vecteurs orthogonaux) ou positif (angle aigu).

Un travail négatif signifie que la force s'oppose au déplacement (force de frottement par exemple).

💡 À retenir

  • Le produit scalaire est un nombre réel (jamais un vecteur). Il peut être positif, négatif ou nul.
  • Deux formules : ∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta (angulaire) et x1x2+y1y2x_1 x_2 + y_1 y_2 (coordonnées).
  • Test d'orthogonalité : u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  • En physique : W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}. Travail nul si force perpendiculaire au déplacement.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Travail d'une force W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}, puissance P=F⃗⋅v⃗P = \vec{F} \cdot \vec{v}

Mots-clés associés : Produit scalaireAngleNormeTravailOrthogonalité
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