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Produit scalaire

Définition, calcul, travail d'une force

🔬 Application physique-chimie : Travail d'une force W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}, puissance P=F⃗⋅v⃗P = \vec{F} \cdot \vec{v}
Tu sais additionner deux vecteurs, et tu sais en multiplier un par un nombre. Mais peux-tu multiplier deux vecteurs entre eux ?

La question n'a rien d'artificiel. Un traîneau est tiré par une corde oblique : la force ne pointe pas dans la direction du déplacement, et pourtant elle le fait avancer. De combien ? Une partie seulement de cette force sert à avancer, l'autre tire vers le haut et ne sert à rien. Comment séparer les deux ?

Autre impasse, purement géométrique cette fois : deux rues partent d'un même carrefour, tu connais les coordonnées de leurs extrémités, et tu voudrais savoir si elles sont perpendiculaires. Avec les seuls outils de seconde, tu n'as aucun moyen de trancher sans sortir un rapporteur.

Ces deux questions — quelle part d'une force travaille, et quel angle font deux directions — n'en font qu'une. Le produit scalaire y répond d'un seul calcul, et il rend un nombre, jamais un vecteur.

📖 Vocabulaire clé

Produit scalaire : Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est le nombre réel u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta. C'est un scalaire (nombre), jamais un vecteur.
Norme d'un vecteur : La norme de u⃗(x ; y)\vec{u}(x\,;\,y) est ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}. On la retrouve via ∥u⃗∥2=u⃗⋅u⃗\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}.
Orthogonalité : Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux (u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}) si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. C'est le critère algébrique de la perpendicularité.
Travail d'une force : Le travail d'une force F⃗\vec{F} sur un déplacement d⃗\vec{d} est W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta. Il peut être positif (moteur), nul (perpendiculaire) ou négatif (résistant).

📋 Méthode

  1. 1 Définition angulaire : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(θ)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta).
  2. 2 Définition par coordonnées : si u⃗(x1,y1)\vec{u}(x_1, y_1) et v⃗(x2,y2)\vec{v}(x_2, y_2), alors u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2.
  3. 3 Orthogonalité : u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Auto-produit : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6). Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis déterminer si les vecteurs sont orthogonaux.
Démarche :
  1. u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2=3×2+(−1)×6=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 3 \times 2 + (-1) \times 6 = 6 - 6 = 0.
  2. Puisque u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, les vecteurs sont orthogonaux : u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}.
  3. Vérification géométrique : ∥u⃗∥=10\|\vec{u}\| = \sqrt{10}, ∥v⃗∥=40\|\vec{v}\| = \sqrt{40}, cos⁡θ=0/(1040)=0\cos\theta = 0/(\sqrt{10}\sqrt{40}) = 0 donc θ=90°\theta = 90°.
Réponse : u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 : les vecteurs u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6) sont bien orthogonaux.

📐 Formules clés

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta
u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos\theta (travail d'une force)
u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

🎨 Illustrations

Deux vecteurs orthogonaux
Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} (exemple du cours) : une projection nulle

Les vecteurs u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6) (exemple du cours) sont tracés depuis l'origine OO.

Le petit carré en OO marque l'angle droit entre eux ; le cercle en pointillés autour de OO représente la projection orthogonale de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v}, réduite au point OO.

Deux vecteurs orthogonaux et leur projection nulle Repere orthonorme montrant les vecteurs u(3;-1) et v(2;6) traces depuis l'origine O. Un marqueur d'angle droit en O indique leur perpendicularite. La projection orthogonale de u sur v est marquee par un cercle en pointilles autour de O, car elle est le vecteur nul. x y -1 4 -1 7 O v (2 ; 6) u (3 ; -1) 90° projection reduite au point O
  • 1 u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2=3×2+(−1)×6=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 = 3\times2 + (-1)\times6 = 6 - 6 = 0 : le produit scalaire est nul, donc u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}.
  • 2 Le projeté orthogonal de u⃗\vec{u} sur la droite portée par v⃗\vec{v} est le point HH tel que OH→=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗=040v⃗=0⃗\overrightarrow{OH} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\vec{v} = \dfrac{0}{40}\vec{v} = \vec{0} : HH coïncide avec OO, c'est le cercle en pointillés.
  • 3 Vérification géométrique du cours : ∥u⃗∥=10\|\vec{u}\| = \sqrt{10}, ∥v⃗∥=40\|\vec{v}\| = \sqrt{40}, donc cos⁡θ=010×40=0\cos\theta = \dfrac{0}{\sqrt{10}\times\sqrt{40}} = 0 et θ=90°\theta = 90°.
  • 4 Une projection nulle est la signature géométrique de l'orthogonalité : c'est le cas particulier où le « pied » de la projection remonte jusqu'à l'origine du vecteur projeté.
Ce qu'il faut lire : Le carré à angle droit en OO et le cercle en pointillés se lisent ensemble : la projection de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v} n'a littéralement aucune longueur, car les deux vecteurs sont perpendiculaires.
Vecteurs u⃗(3 ; −1)\vec{u}(3\,;\,-1) et v⃗(2 ; 6)\vec{v}(2\,;\,6) (exemple du cours) : orthogonaux, donc de projection nulle l'un sur l'autre.
Ce que le produit scalaire mesure
La projection orthogonale, la vraie définition du produit scalaire

Le schéma d'ouverture du chapitre montre une projection nulle, parce que les deux vecteurs y sont perpendiculaires. C'est le cas particulier, pas le cas général : on ne voit pas ce qui est projeté.

Ici, u⃗(−2 ; 6)\vec{u}(-2\,;\,6) et v⃗(4 ; 3)\vec{v}(4\,;\,3) ne sont pas perpendiculaires. Le point HH est l'ombre de la pointe de u⃗\vec{u} sur la droite portée par v⃗\vec{v}, et c'est la longueur OHOH qui fait tout le produit scalaire.

Projection orthogonale de u sur la direction de v Repere gradue. Deux vecteurs partent de l'origine : u va vers le haut a gauche, jusqu'au point de coordonnees moins deux et six ; v va vers le haut a droite, jusqu'au point quatre et trois. La droite portee par v est prolongee en pointilles. Depuis la pointe de u, un trait descend perpendiculairement jusqu'a cette droite et la rencontre au point H, de coordonnees un virgule six et un virgule deux. Un petit carre marque l'angle droit en H. La longueur du segment allant de l'origine a H vaut deux unites, et la norme de v vaut cinq : leur produit, dix, est exactement le produit scalaire de u par v. x y 0 vecteur u vecteur v longueur 2 pied
  • 1 Le calcul par les coordonnées donne u⃗⋅v⃗=(−2)×4+6×3=−8+18=10\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2) \times 4 + 6 \times 3 = -8 + 18 = 10.
  • 2 La norme de v⃗\vec{v} vaut ∥v⃗∥=42+32=25=5\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5 : c'est le triangle 33-44-55, donc une longueur exacte.
  • 3 Le pied de la projection est H(1,6 ; 1,2)H\left(1{,}6\,;\,1{,}2\right), et la longueur OHOH vaut exactement 22.
  • 4 On retrouve alors le produit scalaire comme un simple produit de deux longueurs : OH×∥v⃗∥=2×5=10OH \times \|\vec{v}\| = 2 \times 5 = 10. C'est la même valeur que par les coordonnées.
  • 5 Le produit scalaire ne mesure donc rien d'autre que ceci : la longueur de l'ombre de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v}, multipliée par la longueur de v⃗\vec{v}.
Ce qu'il faut lire : Suis le trait qui descend de la pointe de u⃗\vec{u} : il tombe à angle droit sur la droite de v⃗\vec{v}, et c'est cet angle droit qui définit la projection. Le morceau qui va de l'origine jusqu'au pied est tout ce que v⃗\vec{v} « voit » de u⃗\vec{u}. Le reste de u⃗\vec{u}, la partie perpendiculaire, ne compte pour rien dans le produit scalaire.
Projection orthogonale de u⃗(−2 ; 6)\vec{u}(-2\,;\,6) sur la direction de v⃗(4 ; 3)\vec{v}(4\,;\,3) : OH=2OH = 2, ∥v⃗∥=5\|\vec{v}\| = 5, et u⃗⋅v⃗=2×5=10\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 5 = 10.
Ce que dit le signe
Le signe du produit scalaire, lu sur la projection

Une règle apprise par cœur — « positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus » — ne se retient pas, parce qu'elle ne s'appuie sur rien.

Les trois dessins ci-dessous ont la même longueur de u⃗\vec{u}, la même longueur de v⃗\vec{v}, et la même origine. Seul l'angle change. Regarde où tombe le pied de la projection : c'est lui, et lui seul, qui donne le signe.

Trois angles, trois signes du produit scalaire Trois dessins cote a cote, a la meme echelle. Dans chacun, un vecteur v est horizontal vers la droite et un vecteur u part de la meme origine avec la meme longueur. A gauche l'angle est aigu, de trente-cinq degres : le pied de la projection tombe a droite de l'origine, sur le vecteur v, et le produit scalaire est positif. Au milieu l'angle est droit : le pied se confond avec l'origine, la projection est nulle et le produit scalaire aussi. A droite l'angle est obtus, de cent quarante degres : le pied tombe a gauche de l'origine, du cote oppose a v, et le produit scalaire est negatif. origine 35° pied a droite produit positif origine 90° pied sur origine produit nul origine 140° pied a gauche produit negatif
  • 1 Dans les trois dessins, ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\| sont identiques : les longueurs ne changent jamais, seul l'angle change.
  • 2 À gauche, l'angle vaut 35°35° : cos⁡(35°)>0\cos(35°) > 0, le pied tombe du même côté que v⃗\vec{v}, et u⃗⋅v⃗>0\vec{u} \cdot \vec{v} > 0.
  • 3 Au milieu, l'angle vaut 90°90° : cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0, le pied remonte jusqu'à l'origine, et u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. C'est exactement le critère d'orthogonalité.
  • 4 À droite, l'angle vaut 140°140° : cos⁡(140°)<0\cos(140°) < 0, le pied passe de l'autre côté de l'origine, et u⃗⋅v⃗<0\vec{u} \cdot \vec{v} < 0.
  • 5 En physique, c'est la même lecture : une force qui tire vers l'avant travaille positivement, une force de frottement, qui tire vers l'arrière, travaille négativement.
Ce qu'il faut lire : Ne regarde ni les flèches ni l'angle : regarde uniquement le gros point, le pied de la projection. S'il est du côté de v⃗\vec{v}, le produit scalaire est positif. S'il est sur l'origine, il est nul. S'il est de l'autre côté, il est négatif. Tu n'as aucune règle à retenir — il suffit de voir de quel côté tombe l'ombre.
Même ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et même ∥v⃗∥\|\vec{v}\|, trois angles : le pied de la projection passe à droite, sur l'origine, puis à gauche — et le produit scalaire change de signe avec lui.
Pourquoi les deux formules se valent
Deux chemins, un seul nombre

Beaucoup d'élèves traversent le chapitre en croyant à deux produits scalaires : « celui avec les coordonnées » et « celui avec le cosinus ». Ils appliquent l'un ou l'autre selon ce que l'énoncé leur donne, sans savoir que c'est le même objet.

Sur un seul couple de vecteurs, u⃗(3 ; 4)\vec{u}(3\,;\,4) et v⃗(8 ; 6)\vec{v}(8\,;\,6), les deux chemins sont parcourus jusqu'au bout. Ils aboutissent au même nombre, et ce n'est pas une coïncidence : c'est un théorème.

Un seul couple de vecteurs, deux calculs concordants Repere gradue montrant deux vecteurs partant de l'origine. Le premier va au point de coordonnees trois et quatre, sa norme vaut cinq. Le second va au point huit et six, sa norme vaut dix. L'angle entre eux est marque par un arc, son cosinus vaut zero virgule quatre-vingt-seize. Deux encadres rappellent les deux calculs : par les coordonnees, trois fois huit plus quatre fois six egale quarante-huit ; par la formule angulaire, cinq fois dix fois zero virgule quatre-vingt-seize egale aussi quarante-huit. x y 0 angle vecteur u (3 ; 4) vecteur v (8 ; 6) par les coordonnees 3×8 + 4×6 = 48 par les normes 5 × 10 × 0,96 = 48 le meme nombre
  • 1 Par les coordonnées : u⃗⋅v⃗=3×8+4×6=24+24=48\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 8 + 4 \times 6 = 24 + 24 = 48.
  • 2 Les deux normes sont exactes, car ce sont des triangles 33-44-55 : ∥u⃗∥=9+16=5\|\vec{u}\| = \sqrt{9+16} = 5 et ∥v⃗∥=64+36=10\|\vec{v}\| = \sqrt{64+36} = 10.
  • 3 On en déduit cos⁡θ=485×10=0,96\cos\theta = \dfrac{48}{5 \times 10} = 0{,}96, ce qui correspond à un angle d'environ 16,3°16{,}3° — les deux vecteurs pointent effectivement dans des directions voisines.
  • 4 Par la formule angulaire : ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ=5×10×0,96=48\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta = 5 \times 10 \times 0{,}96 = 48. Le même nombre, au chiffre près.
  • 5 On choisit donc la formule d'après ce que l'énoncé donne : des coordonnées, ou des normes et un angle. Jamais d'après le résultat souhaité, puisqu'il est le même.
Ce qu'il faut lire : Lis les deux encadrés l'un après l'autre. Le premier n'utilise que les quatre coordonnées, le second n'utilise que deux longueurs et un angle : ils ne partagent aucun nombre de départ, et pourtant ils finissent tous les deux sur 4848. C'est ce qui autorise à passer librement d'une écriture à l'autre, par exemple pour trouver un angle quand on ne connaît que des coordonnées.
Pour u⃗(3 ; 4)\vec{u}(3\,;\,4) et v⃗(8 ; 6)\vec{v}(8\,;\,6) : 3×8+4×6=483 \times 8 + 4 \times 6 = 48 et 5×10×0,96=485 \times 10 \times 0{,}96 = 48 — les deux formules du cours donnent le même produit scalaire.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le produit scalaire est un nombre (scalaire), pas un vecteur : u⃗⋅v⃗∈R\vec{u} \cdot \vec{v} \in \mathbb{R}.

Il peut être négatif (angle obtus), nul (vecteurs orthogonaux) ou positif (angle aigu).

Un travail négatif signifie que la force s'oppose au déplacement (force de frottement par exemple).

💡 À retenir

  • Le produit scalaire est un nombre réel (jamais un vecteur). Il peut être positif, négatif ou nul.
  • Deux formules : ∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta (angulaire) et x1x2+y1y2x_1 x_2 + y_1 y_2 (coordonnées).
  • Test d'orthogonalité : u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  • En physique : W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}. Travail nul si force perpendiculaire au déplacement.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Travail d'une force W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}, puissance P=F⃗⋅v⃗P = \vec{F} \cdot \vec{v}

Mots-clés associés : Produit scalaireAngleNormeTravailOrthogonalité
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