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Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques

🔬 Application physique-chimie : Décroissance radioactive (suite géométrique), intérêts composés, signal numérique
On te propose un travail d'été de 2525 jours, payé selon l'une de ces deux formules, à toi de choisir.

Formule A : 100100 € le premier jour, puis 100100 € de plus chaque jour que la veille.

Formule B : 11 centime le premier jour, puis le double de la veille chaque jour.

La formule B a l'air ridicule, et elle l'est longtemps. Au bout de dix jours, elle ne t'a rapporté que 10,2310{,}23 € en tout, pendant que la formule A t'en a versé 5 5005\,500.

Puis quelque chose bascule. Au dix-neuvième jour, la formule B te verse 2 621,442\,621{,}44 € pour cette seule journée, contre 1 9001\,900 € à la formule A : elle vient de passer devant. Trois jours plus tard, c'est son total qui dépasse celui de la formule A. Et au vingt-cinquième jour, la formule B a rapporté plus de 335 000335\,000 € quand la formule A en est à 32 50032\,500.

Ce renversement n'est pas une curiosité de calcul : c'est toute la différence entre ajouter chaque fois la même chose et multiplier chaque fois par la même chose. Les deux formules avancent régulièrement, mais pas du tout de la même manière — et rien dans les premiers jours ne permet de le deviner.

Ce chapitre te donne de quoi trancher un tel choix sans écrire les vingt-cinq lignes : reconnaître laquelle des deux régularités on a sous les yeux, calculer directement le versement d'un jour donné, et additionner tous les versements d'un coup.

📖 Vocabulaire clé

Suite arithmétique : Une suite (un)(u_n) est arithmétique de raison rr si un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r pour tout nn. La différence entre deux termes consécutifs est constante.
Suite géométrique : Une suite (un)(u_n) est géométrique de raison qq si un+1=un×qu_{n+1} = u_n \times q pour tout nn (avec u0≠0u_0 \neq 0). Le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
Raison : La raison est le nombre qui caractérise la régularité : r=un+1−unr = u_{n+1} - u_n (arithmétique) ou q=un+1/unq = u_{n+1}/u_n (géométrique).
Terme général : Le terme général donne unu_n directement en fonction de nn : un=u0+nru_n = u_0 + nr (arithmétique) ou un=u0×qnu_n = u_0 \times q^n (géométrique).

📋 Méthode

  1. 1 Identifier la nature de la suite : si un+1−unu_{n+1} - u_n est constant, elle est arithmétique ; si un+1/unu_{n+1} / u_n est constant, elle est géométrique.

    Teste toujours les différences d'abord, puis les quotients.
  2. 2 Suite arithmétique (raison rr) : un=u0+n×ru_n = u_0 + n \times r. Terme suivant = terme précédent +r+ r (variation constante).
  3. 3 Suite géométrique (raison qq) : un=u0×qnu_n = u_0 \times q^n. Terme suivant = terme précédent ×q\times q (taux de variation constant).
  4. 4 Sommer les premiers termes : compte d'abord les termes — de u0u_0 à unu_n, il y en a n+1n+1.

    Puis S=(u0+un)(n+1)2S = \dfrac{(u_0 + u_n)(n+1)}{2} pour une arithmétique, S=u0×1−qn+11−qS = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} pour une géométrique.

    Exemple : pour un=2×3nu_n = 2 \times 3^n, la somme u0+u1+u2+u3u_0 + u_1 + u_2 + u_3 compte 44 termes : S=2×1−341−3=2×−80−2=80S = 2 \times \dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{-80}{-2} = 80.

    Vérification terme à terme : 2+6+18+54=802 + 6 + 18 + 54 = 80.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un capital de 1 0001\,000 € est placé à un taux annuel de 3%3\% à intérêts composés. Exprimer le capital CnC_n après nn années et calculer C5C_5.
Démarche :
  1. Chaque année, le capital est multiplié par 1,031{,}03 : c'est une suite géométrique de raison q=1,03q = 1{,}03 et de premier terme C0=1 000C_0 = 1\,000.
  2. Terme général : Cn=C0×qn=1 000×1,03nC_n = C_0 \times q^n = 1\,000 \times 1{,}03^n.
  3. C5=1 000×1,035=1 000×1,15927…≈1 159,27C_5 = 1\,000 \times 1{,}03^5 = 1\,000 \times 1{,}15927\ldots \approx 1\,159{,}27 €.
Réponse : Après 55 ans, le capital vaut environ 1 159,271\,159{,}27 €. La suite (Cn)(C_n) est géométrique de raison 1,031{,}03.

📐 Formules clés

unarith=u0+n⋅ru_n^{\text{arith}} = u_0 + n \cdot r
ungeˊom=u0×qnu_n^{\text{géom}} = u_0 \times q^n
Snarith=(u0+un)(n+1)2S_n^{\text{arith}} = \dfrac{(u_0 + u_n)(n+1)}{2}
Sngeˊom=u0×1−qn+11−qS_n^{\text{géom}} = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} (si q≠1q \neq 1)

🎨 Illustrations

Nuage de points (n ; un)(n\,;\,u_n)
Même point de départ, deux croissances : un=2+3nu_n = 2+3n contre un=2×3nu_n = 2\times3^n

Reprise de deux exemples déjà utilisés dans le quiz du module : une suite arithmétique u0=2u_0=2, r=3r=3 (dont on a vérifié u5=17u_5=17) et une suite géométrique u0=2u_0=2, q=3q=3 (dont on a vérifié u3=54u_3=54).

Les deux nuages sont tracés côte à côte, avec des échelles verticales différentes : à l'échelle de la suite géométrique, la suite arithmétique serait totalement écrasée contre l'axe.

Comparaison suite arithmetique et suite geometrique de meme depart Deux nuages de points cote a cote. A gauche, la suite arithmetique u(n)=2+3n croit de facon reguliere de 2 a 17 pour n de 0 a 5. A droite, la suite geometrique u(n)=2 fois 3 puissance n croit de 2 a 486 sur le meme intervalle, avec une echelle verticale plus grande et une forme qui s'envole en fin de parcours. 0 6 12 18 0 1 2 3 4 5 Arithmétique : u(n) = 2 + 3n n u(n) u0 = 2 u5 = 17 0 100 200 300 400 500 0 1 2 3 4 5 Géométrique : u(n) = 2 × 3ⁿ n u(n) u0 = 2 u5 = 486
  • 1 Suite arithmétique un=2+3nu_n=2+3n : 2,5,8,11,14,172, 5, 8, 11, 14, 17 pour n=0n=0 à 55. Chaque terme ajoute 33 au précédent — la pente du nuage de points est constante.
  • 2 Suite géométrique un=2×3nu_n=2\times3^n : 2,6,18,54,162,4862, 6, 18, 54, 162, 486 pour n=0n=0 à 55. Chaque terme multiplie le précédent par 33 — l'écart entre deux termes grossit lui-même à chaque étape.
  • 3 Sur 55 pas, l'arithmétique est multipliée par 8,58{,}5 (soit 17/217/2) alors que la géométrique est multipliée par 243243 (soit 486/2=35486/2=3^5) : c'est la signature d'une croissance exponentielle.
Ce qu'il faut lire : Les deux suites partent du même u0=2u_0=2 et utilisent le même nombre 33 (comme raison rr ou comme raison qq) — pourtant leurs profils sont radicalement différents : alignement régulier de points sur une droite (arithmétique) contre courbe qui s'envole (géométrique).

Sur un même graphique à échelle unique, les 66 points de la suite arithmétique seraient quasiment collés à l'axe des abscisses tant 486486 écrase 1717 : c'est pourquoi les deux nuages utilisent des échelles verticales différentes.
Comparaison à u0=2u_0=2 identique : un=2+3nu_n=2+3n (gauche) contre un=2×3nu_n=2\times3^n (droite), pour n=0n=0 à 55.
Le décalage qui fausse les sommes
De u0u_0 à u5u_5, il y a six termes et cinq pas

C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle ne se voit pas : elle ne fait pas échouer le calcul, elle donne un résultat presque juste.

Le rang compte les pas effectués depuis le départ ; la somme, elle, compte les termes. Or il y a toujours un terme de plus que de pas, parce que le premier terme est là avant qu'aucun pas n'ait été fait.

Six termes mais cinq pas entre eux Six ronds alignes horizontalement representent les termes de rang 0 a 5 d'une suite. Entre deux ronds consecutifs, une fleche represente le passage d'un terme au suivant : il y a cinq fleches pour six ronds. Le compte des ronds donne six termes, celui des fleches donne cinq pas, et la figure montre que ces deux nombres ne sont pas les memes. u0 u1 u2 u3 u4 u5 1 2 3 4 5 six cinq six ronds à compter, cinq écarts entre eux le rang compte les écarts, la somme compte les ronds
  • 1 Les six ronds sont les termes u0u_0, u1u_1, u2u_2, u3u_3, u4u_4 et u5u_5 : ils se comptent en commençant à zéro, ce qui est toute la source du décalage.
  • 2 Les cinq traits du bas sont les passages d'un terme au suivant. Chacun ajoute une fois la raison rr — d'où u5=u0+5ru_5 = u_0 + 5r, avec bien un 55.
  • 3 Dans la formule de somme S=(u0+un)(n+1)2S = \dfrac{(u_0 + u_n)(n+1)}{2}, le facteur n+1n+1 n'est donc pas une correction arbitraire : c'est le nombre de ronds.
  • 4 Vérification sur un=2+3nu_n = 2 + 3n : les six termes sont 2,5,8,11,14,172, 5, 8, 11, 14, 17, de somme 5757, et la formule donne (2+17)×62=57\dfrac{(2+17)\times 6}{2} = 57. Avec un facteur 55 au lieu de 66, on aurait obtenu 47,547{,}5 — un nombre plausible, et faux.
  • 5 Le même décalage vaut pour une suite qui commence à u1u_1 : de u1u_1 à unu_n, il y a alors nn termes. Ce qui compte n'est jamais le rang seul, mais l'écart des rangs augmenté de un.
Ce qu'il faut lire : Compte les ronds à voix haute, puis compte les traits. Tu trouves six d'un côté et cinq de l'autre, et pourtant tu as parcouru la même ligne. C'est ce léger décalage qu'il faut avoir en tête chaque fois qu'une somme apparaît : demande-toi toujours si le nombre que tu écris compte des ronds ou des traits.
Les termes u0u_0 à u5u_5 : six termes séparés par cinq pas, d'où le facteur n+1n+1 dans la formule de somme.
Décroître sans jamais s'annuler
Une raison entre 00 et 11 : la suite diminue toujours et n'atteint jamais zéro

Quand la raison qq vaut 12\dfrac{1}{2}, chaque terme est la moitié du précédent. La suite diminue donc à chaque étape — mais diviser par deux ne donne jamais zéro, aussi longtemps qu'on recommence.

C'est ce que dit le cours à propos de la demi-vie : il reste toujours quelque chose, en théorie.

Une suite geometrique de raison un demi qui n atteint jamais zero Huit barres verticales de hauteurs decroissantes sont posees sur une meme ligne horizontale. La premiere mesure 64 unites, la deuxieme 32, puis 16, 8, 4, 2, 1 et enfin un demi : chaque barre fait exactement la moitie de la precedente. Les dernieres barres deviennent tres basses mais aucune ne disparait : leur sommet reste au-dessus de la ligne. 64 32 16 8 4 2 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 rang chaque barre vaut la moitié de la précédente
  • 1 La suite est un=64×(12)nu_n = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n, donc u0=64u_0 = 64, u1=32u_1 = 32, u2=16u_2 = 16, et ainsi de suite jusqu'à u7=0,5u_7 = 0{,}5.
  • 2 Le quotient de deux barres consécutives vaut toujours 12\dfrac{1}{2} : c'est bien une suite géométrique, même si elle décroît.
  • 3 Une raison peut donc être plus petite que 11 sans être négative : 0<q<10 < q < 1 donne une suite qui diminue, et c'est le cas de toute décroissance radioactive.
  • 4 Les dernières barres sont très basses, mais aucune n'est nulle : la moitié d'un nombre strictement positif reste strictement positive, à chaque étape, sans exception.
  • 5 C'est pourquoi on dit que la suite tend vers 00 sans l'atteindre. Le mot « tend vers » sera défini précisément en terminale ; ici, la figure en montre déjà le sens.
Ce qu'il faut lire : Parcours les barres de la gauche vers la droite et regarde à chaque fois de combien la hauteur a diminué : la chute est énorme au début, minuscule à la fin. Cherche maintenant la première barre de hauteur nulle : il n'y en a pas. La suite s'approche de la ligne autant qu'on veut, mais elle ne s'y pose jamais.
Suite géométrique un=64×(12)nu_n = 64\times\left(\frac{1}{2}\right)^n : chaque terme vaut la moitié du précédent et reste strictement positif.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Confondre le rang et le nombre de termes est l'erreur la plus fréquente.

✅ La suggestion

u0,u1,…,unu_0, u_1, \ldots, u_n contient n+1n+1 termes (pas nn).

Pour la demi-vie : après kk demi-vies, il reste N0×(1/2)kN_0 \times (1/2)^k — c'est un exposant kk, pas k−1k-1 !

💡 À retenir

  • Arithmétique : on ajoute toujours la même quantité rr. Formule : un=u0+nru_n = u_0 + nr.
  • Géométrique : on multiplie toujours par le même facteur qq. Formule : un=u0×qnu_n = u_0 \times q^n.
  • De u0u_0 à unu_n, il y a n+1n+1 termes (piège classique : ne pas confondre rang et nombre de termes).
  • Les sommes utilisent des formules spécifiques : ne jamais additionner terme par terme si nn est grand !

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Décroissance radioactive (suite géométrique), intérêts composés, signal numérique

Mots-clés associés : Suite arithmétiqueSuite géométriqueRaisonTerme généralSomme
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