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Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques

🔬 Application physique-chimie : Décroissance radioactive (suite géométrique), intérêts composés, signal numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres où chaque terme se construit à partir du précédent.

Quand on ajoute toujours la même quantité $r$ , c'est une suite arithmétique (comme une horloge qui avance d'une seconde à chaque tick). Quand on multiplie toujours par le même facteur $q$ , c'est une suite géométrique (comme la décroissance radioactive : chaque demi-vie divise la quantité par 2).

La distinction clé : arithmétique = variation absolue constante ; géométrique = taux de variation constant.

Attention au comptage des termes : $u_0, u_1, \ldots, u_n$ contient $n+1$ termes — pas $n$ .

Une suite géométrique de raison $q = 1/2$ ne s'annule jamais mais tend vers $0$ : même après 50 demi-vies, il reste un atome en théorie.

📖 Vocabulaire clé

Suite arithmétique : Une suite

(u_n)

est arithmétique de raison

r

u_{n+1} = u_n + r

pour tout

n

. La différence entre deux termes consécutifs est constante.

Suite géométrique : Une suite

(u_n)

est géométrique de raison

q

u_{n+1} = u_n \times q

pour tout

n

(avec

u_0 \neq 0

). Le quotient entre deux termes consécutifs est constant.

Raison : La raison est le nombre qui caractérise la régularité :

r = u_{n+1} - u_n

(arithmétique) ou

q = u_{n+1}/u_n

(géométrique).

Terme général : Le terme général donne

u_n

directement en fonction de

n

u_n = u_0 + nr

(arithmétique) ou

u_n = u_0 \times q^n

(géométrique).

📋 Méthode

1 Suite arithmétique (raison $r$ ) : $u_n = u_0 + n \times r$ . Terme suivant = terme précédent $+ r$ (variation constante).
2 Suite géométrique (raison $q$ ) : $u_n = u_0 \times q^n$ . Terme suivant = terme précédent $\times q$ (taux de variation constant).
3 Identifier le type : si $u_{n+1} - u_n$ est constant → arithmétique. Si $u_{n+1}/u_n$ est constant → géométrique.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un capital de

1\,000

€ est placé à un taux annuel de

3\%

à intérêts composés. Exprimer le capital

C_n

après

n

années et calculer

C_5

Démarche :

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}03$ et de premier terme $C_0 = 1\,000$ .
Terme général : $C_n = C_0 \times q^n = 1\,000 \times 1{,}03^n$ .
$C_5 = 1\,000 \times 1{,}03^5 = 1\,000 \times 1{,}15927\ldots \approx 1\,159{,}27$ €.

Réponse : Après

5

ans, le capital vaut environ

1\,159{,}27

€. La suite

(C_n)

est géométrique de raison

1{,}03

📐 Formules clés

u_n^{\text{arith}} = u_0 + n \cdot r

u_n^{\text{géom}} = u_0 \times q^n

S_n^{\text{arith}} = \dfrac{(u_0 + u_n)(n+1)}{2}

S_n^{\text{géom}} = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

(si

q \neq 1

)

🎨 Illustration

Nuage de points

(n\,;\,u_n)

Même point de départ, deux croissances :

u_n = 2+3n

contre

u_n = 2\times3^n

Reprise de deux exemples déjà utilisés dans le quiz du module : une suite arithmétique $u_0=2$ , $r=3$ (dont on a vérifié $u_5=17$ ) et une suite géométrique $u_0=2$ , $q=3$ (dont on a vérifié $u_3=54$ ). Les deux nuages sont tracés côte à côte, avec des échelles verticales différentes : à l'échelle de la suite géométrique, la suite arithmétique serait totalement écrasée contre l'axe.

1 Suite arithmétique $u_n=2+3n$ : $2, 5, 8, 11, 14, 17$ pour $n=0$ à $5$ . Chaque terme ajoute $3$ au précédent — la pente du nuage de points est constante.
2 Suite géométrique $u_n=2\times3^n$ : $2, 6, 18, 54, 162, 486$ pour $n=0$ à $5$ . Chaque terme multiplie le précédent par $3$ — l'écart entre deux termes grossit lui-même à chaque étape.
3 Sur $5$ pas, l'arithmétique est multipliée par $8{,}5$ (soit $17/2$ ) alors que la géométrique est multipliée par $243$ (soit $486/2=3^5$ ) : c'est la signature d'une croissance exponentielle.

Ce qu'il faut lire : Les deux suites partent du même

u_0=2

et utilisent le même nombre

3

(comme raison

r

ou comme raison

q

) — pourtant leurs profils sont radicalement différents : alignement régulier de points sur une droite (arithmétique) contre courbe qui s'envole (géométrique). Sur un même graphique à échelle unique, les

6

points de la suite arithmétique seraient quasiment collés à l'axe des abscisses tant

486

écrase

17

: c'est pourquoi les deux nuages utilisent des échelles verticales différentes.

Comparaison à

u_0=2

identique :

u_n=2+3n

(gauche) contre

u_n=2\times3^n

(droite), pour

n=0

5

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Confondre le rang et le nombre de termes est l'erreur la plus fréquente.

✅ La suggestion

$u_0, u_1, \ldots, u_n$ contient $n+1$ termes (pas $n$ ).

Pour la demi-vie : après $k$ demi-vies, il reste $N_0 \times (1/2)^k$ — c'est un exposant $k$ , pas $k-1$ !

💡 À retenir

Arithmétique : on ajoute toujours la même quantité $r$ . Formule : $u_n = u_0 + nr$ .
Géométrique : on multiplie toujours par le même facteur $q$ . Formule : $u_n = u_0 \times q^n$ .
De $u_0$ à $u_n$ , il y a $n+1$ termes (piège classique : ne pas confondre rang et nombre de termes).
Les sommes utilisent des formules spécifiques : ne jamais additionner terme par terme si $n$ est grand !

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Décroissance radioactive (suite géométrique), intérêts composés, signal numérique

Mots-clés associés : Suite arithmétiqueSuite géométriqueRaisonTerme généralSomme

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