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La Dérivation

Taux de variation, dérivées usuelles, extremums

🔬 Application physique-chimie : Cinématique : v = dx/dt, cinétique chimique

La dérivée d'une fonction en un point est le taux de variation instantané : $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ .

Géométriquement, $f'(x_0)$ est la pente de la tangente à la courbe en $(x_0, f(x_0))$ .

En physique, la vitesse est la dérivée de la position ( $v = dx/dt$ ) et l'accélération est la dérivée de la vitesse ( $a = dv/dt$ ).

La dérivée est une fonction, pas un nombre : $f'(x) = 6x+5$ donne la pente en tout point ; $f'(2) = 17$ est sa valeur en $x=2$ .

Si $f'(x_0) > 0$ , $f$ est localement croissante ; si $f'(x_0) < 0$ , elle est décroissante.

📖 Vocabulaire clé

Taux de variation : Le taux de variation de

f

entre

x_0

x_0 + h

est le quotient

\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

. Il mesure la pente moyenne de la courbe sur cet intervalle.

Nombre dérivé : Le nombre dérivé de

f

x_0

, noté

f'(x_0)

, est la limite du taux de variation quand

h \to 0

. C'est un nombre réel : la pente de la tangente en ce point.

Fonction dérivée : La fonction dérivée

f'

est la fonction qui à tout

x

associe

f'(x)

. Elle donne la pente de la tangente en chaque point de la courbe.

Tangente : La tangente à la courbe de

f

x_0

est la droite d'équation

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

. Elle "effleure" la courbe en ce point.

📋 Règles de dérivation usuelles

1 Fonction constante : si $f(x) = k$ alors $f'(x) = 0$ .
2 Fonction puissance : si $f(x) = x^n$ alors $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ . Exemple : $(x^3)' = 3x^2$ .
3 Combinaisons linéaires : $(af + bg)' = af' + bg'$ (linéarité). Exemple : $f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \Rightarrow f'(x) = 6x + 5$ .
4 Produit de deux fonctions : $(uv)' = u'v + uv'$ . Exemple : pour $g(x) = x^2 e^x$ , on pose $u = x^2$ ( $u' = 2x$ ) et $v = e^x$ ( $v' = e^x$ ), donc $g'(x) = 2x\,e^x + x^2 e^x = (2x + x^2)e^x$ .
5 Composée avec l'exponentielle : si $u$ est une fonction dérivable, $(e^{u})' = u' \cdot e^{u}$ . Exemple : pour $u(x) = 2x$ ( $u' = 2$ ), $(e^{2x})' = 2e^{2x}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit

f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1

. Déterminer

f'(x)

, puis l'équation de la tangente à la courbe en

x_0 = 1

Démarche :

On dérive terme à terme : $f'(x) = 2 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 4 = 6x^2 - 10x + 4$ .
On calcule $f'(1) = 6 \times 1 - 10 \times 1 + 4 = 0$ et $f(1) = 2 - 5 + 4 - 1 = 0$ .
L'équation de la tangente est $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 0 \times (x - 1) + 0 = 0$ .

Réponse : La tangente en

x_0 = 1

est la droite

y = 0

(l'axe des abscisses). Le point

(1\,;\,0)

est un extremum local car

f'(1) = 0

📐 Formules clés

(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}

(e^x)' = e^x

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

(uv)' = u'v + uv'

(produit)

(e^{u})' = u' \cdot e^u

(composée avec l'exponentielle)

🎨 Illustration

Tangente et extremum

Lire une tangente horizontale sur la courbe de

f

La courbe de $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$ (l'exemple du cours) calculée point par point entre $x=-0{,}3$ et $x=1{,}8$ .

En $x_0 = 1$ , la tangente est horizontale : elle est confondue avec l'axe des abscisses, car $f'(1)=0$ et $f(1)=0$ .

1 Le calcul donne $f'(x) = 6x^2 - 10x + 4$ , donc $f'(1) = 6 - 10 + 4 = 0$ : la pente de la tangente est nulle, la tangente est horizontale.
2 Comme $f(1) = 0$ également, la tangente horizontale est ici confondue avec l'axe des abscisses — le trait en tirets superposé à l'axe matérialise cette tangente.
3 En étudiant le signe de $f'$ , on montre que $x=1$ est un minimum local : $f'$ est négative juste avant (entre $x=\frac{2}{3}$ et $1$ ) et positive juste après.
4 Il existe un second point où $f'(x)=0$ , en $x=\frac{2}{3}$ (un maximum local, $f(2/3)=\frac{1}{27}\approx0{,}04$ ) — non détaillé dans l'exemple du cours, mais visible sur la courbe comme un léger palier juste avant $x=1$ .

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le point où la courbe s'aplatit (la tangente devient horizontale) : c'est là que

f'(x_0)=0

. Le signe de

f'

avant et après ce point indique s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum local.

Courbe de

f(x)=2x^3-5x^2+4x-1

et tangente horizontale au point

(1\,;\,0)

, extremum local de l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

N'oublie pas que la dérivée est une fonction, pas un nombre.

✅ La suggestion

$f'(x) = 6x + 5$ est une fonction.

Pour avoir la valeur de la dérivée en $x = 2$ , on calcule $f'(2) = 6 \times 2 + 5 = 17$ .

💡 À retenir

La dérivée $f'(x_0)$ est la pente de la tangente à la courbe en $x_0$ : c'est un nombre.
La fonction dérivée $f'$ est une fonction : elle associe à chaque $x$ la pente de la tangente en ce point.
$f'(x_0) > 0 \Rightarrow f$ croissante localement ; $f'(x_0) < 0 \Rightarrow f$ décroissante ; $f'(x_0) = 0 \Rightarrow$ extremum possible.
Tangente en $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ . Retenir : pente $\times$ écart $+$ ordonnée du point.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Cinématique : v = dx/dt, cinétique chimique

Mots-clés associés : DérivéeTaux de variationTangented/dt

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