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La Dérivation

Taux de variation, dérivées usuelles, extremums

🔬 Application physique-chimie : Cinématique : v = dx/dt, cinétique chimique
Un radar te flashe à 9292 km/h. Il n'a pourtant pas pu mesurer ta vitesse « à cet instant » : mesurer une vitesse, c'est diviser une distance par une durée, et à un instant précis la durée est nulle.

On ne peut pas diviser par zéro. Comment une vitesse instantanée peut-elle alors exister ?

La sortie est la suivante : au lieu de calculer sur une durée nulle, on calcule sur une durée de plus en plus petite — un dixième de seconde, un centième, un millième — et on regarde vers quel nombre le résultat se dirige. Ce nombre-là existe, même si le calcul « à durée nulle » n'existe pas.

Ce nombre s'appelle le nombre dérivé, et il se note f′(x0)f'(x_0).

Sur un graphique, il a une lecture très simple : c'est la pente de la tangente à la courbe au point considéré. Une pente positive, la courbe monte ; une pente négative, elle descend ; une pente nulle, elle est au sommet ou au creux.

C'est de cette lecture que vient toute l'utilité du chapitre — et c'est aussi elle qu'il ne faut jamais perdre de vue derrière les formules de calcul.

📖 Vocabulaire clé

Taux de variation : Le taux de variation de ff entre x0x_0 et x0+hx_0 + h est le quotient f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. Il mesure la pente moyenne de la courbe sur cet intervalle.
Nombre dérivé : Le nombre dérivé de ff en x0x_0, noté f′(x0)f'(x_0), est la limite du taux de variation quand h→0h \to 0. C'est un nombre réel : la pente de la tangente en ce point.
Fonction dérivée : La fonction dérivée f′f' est la fonction qui à tout xx associe f′(x)f'(x). Elle donne la pente de la tangente en chaque point de la courbe.
Tangente : La tangente à la courbe de ff en x0x_0 est la droite d'équation y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Elle "effleure" la courbe en ce point.

📋 Règles de dérivation usuelles

  1. 1 Fonction constante : si f(x)=kf(x) = k alors f′(x)=0f'(x) = 0.
  2. 2 Fonction puissance : si f(x)=xnf(x) = x^n alors f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}. Exemple : (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2.
  3. 3 Combinaisons linéaires : (af+bg)′=af′+bg′(af + bg)' = af' + bg' (linéarité). Exemple : f(x)=3x2+5x−2⇒f′(x)=6x+5f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \Rightarrow f'(x) = 6x + 5.
  4. 4 Produit de deux fonctions : (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Exemple : pour g(x)=x2exg(x) = x^2 e^x, on pose u=x2u = x^2 (u′=2xu' = 2x) et v=exv = e^x (v′=exv' = e^x), donc g′(x)=2x ex+x2ex=(2x+x2)exg'(x) = 2x\,e^x + x^2 e^x = (2x + x^2)e^x.
  5. 5 Composée avec l'exponentielle : si uu est une fonction dérivable, (eu)′=u′⋅eu(e^{u})' = u' \cdot e^{u}. Exemple : pour u(x)=2xu(x) = 2x (u′=2u' = 2), (e2x)′=2e2x(e^{2x})' = 2e^{2x}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit f(x)=2x3−5x2+4x−1f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1. Déterminer f′(x)f'(x), puis l'équation de la tangente à la courbe en x0=1x_0 = 1.
Démarche :
  1. On dérive terme à terme : f′(x)=2×3x2−5×2x+4=6x2−10x+4f'(x) = 2 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 4 = 6x^2 - 10x + 4.
  2. On calcule f′(1)=6×1−10×1+4=0f'(1) = 6 \times 1 - 10 \times 1 + 4 = 0 et f(1)=2−5+4−1=0f(1) = 2 - 5 + 4 - 1 = 0.
  3. L'équation de la tangente est y=f′(1)(x−1)+f(1)=0×(x−1)+0=0y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 0 \times (x - 1) + 0 = 0.
Réponse : La tangente en x0=1x_0 = 1 est la droite y=0y = 0 (l'axe des abscisses). Le point (1 ; 0)(1\,;\,0) est un extremum local car f′(1)=0f'(1) = 0.

📐 Formules clés

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}
(axn)′=a⋅n⋅xn−1(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}
(ex)′=ex(e^x)' = e^x
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' (produit)
(eu)′=u′⋅eu(e^{u})' = u' \cdot e^u (composée avec l'exponentielle)

🎨 Illustrations

Tangente et extremum
Lire une tangente horizontale sur la courbe de ff

La courbe de f(x)=2x3−5x2+4x−1f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1 (l'exemple du cours) calculée point par point entre x=−0,3x=-0{,}3 et x=1,8x=1{,}8.

En x0=1x_0 = 1, la tangente est horizontale : elle est confondue avec l'axe des abscisses, car f′(1)=0f'(1)=0 et f(1)=0f(1)=0.

Courbe de f et tangente horizontale au point (1;0) Courbe de la fonction cubique f(x) = 2x au cube - 5x au carre + 4x - 1, tracee entre x=-0,3 et x=1,8. La tangente en x=1 est horizontale et confondue avec l'axe des abscisses car f(1)=0 est un minimum local. f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 1 Tangente horizontale en (1 ; 0) 0 0,5 1 1,5 -2 -1 1 x y
  • 1 Le calcul donne f′(x)=6x2−10x+4f'(x) = 6x^2 - 10x + 4, donc f′(1)=6−10+4=0f'(1) = 6 - 10 + 4 = 0 : la pente de la tangente est nulle, la tangente est horizontale.
  • 2 Comme f(1)=0f(1) = 0 également, la tangente horizontale est ici confondue avec l'axe des abscisses — le trait en tirets superposé à l'axe matérialise cette tangente.
  • 3 En étudiant le signe de f′f', on montre que x=1x=1 est un minimum local : f′f' est négative juste avant (entre x=23x=\frac{2}{3} et 11) et positive juste après.
  • 4 Il existe un second point où f′(x)=0f'(x)=0, en x=23x=\frac{2}{3} (un maximum local, f(2/3)=127≈0,04f(2/3)=\frac{1}{27}\approx0{,}04) — non détaillé dans l'exemple du cours, mais visible sur la courbe comme un léger palier juste avant x=1x=1.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le point où la courbe s'aplatit (la tangente devient horizontale) : c'est là que f′(x0)=0f'(x_0)=0. Le signe de f′f' avant et après ce point indique s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum local.
Courbe de f(x)=2x3−5x2+4x−1f(x)=2x^3-5x^2+4x-1 et tangente horizontale au point (1 ; 0)(1\,;\,0), extremum local de l'exemple du cours.
D'où vient la tangente
La sécante bascule, et devient tangente

Le nombre dérivé n'apparaît pas par magie : c'est la limite d'une pente que l'on sait déjà calculer. Sur la courbe de f(x)=x2f(x) = x^2, on relie le point A(1 ; 1)A(1\,;\,1) à un second point BB que l'on fait glisser vers AA.

À chaque fois, la pente de la sécante (AB)(AB) se calcule sans aucune notion nouvelle : c'est f(1+h)−f(1)h\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}.

Trois secantes qui basculent vers la tangente Sur la courbe de la fonction carre, le point A a pour abscisse 1. Trois points B sont places plus loin sur la courbe, aux abscisses 2,5 puis 1,8 puis 1,3. Chaque droite AB est tracee : sa pente vaut 3,5 puis 2,8 puis 2,3. A mesure que le point B se rapproche de A, la droite AB se redresse de moins en moins et se rapproche d'une droite limite, tracee plus epais, dont la pente vaut exactement 2. Cette droite limite est la tangente a la courbe au point A, et sa pente 2 est le nombre derive de f en 1. A B pente 2 0 1 2 1 3 5
  • 1 Pour h=1,5h = 1{,}5 (point BB d'abscisse 2,52{,}5) : la pente vaut f(2,5)−f(1)1,5=6,25−11,5=3,5\dfrac{f(2{,}5)-f(1)}{1{,}5} = \dfrac{6{,}25-1}{1{,}5} = 3{,}5.
  • 2 Pour h=0,8h = 0{,}8 : 3,24−10,8=2,8\dfrac{3{,}24-1}{0{,}8} = 2{,}8. Pour h=0,3h = 0{,}3 : 1,69−10,3=2,3\dfrac{1{,}69-1}{0{,}3} = 2{,}3.
  • 3 Les pentes obtenues, 3,53{,}5 puis 2,82{,}8 puis 2,32{,}3, se rapprochent de 22. Ce nombre 22 est la limite : c'est f′(1)f'(1).
  • 4 Le calcul le confirme : f′(x)=2xf'(x) = 2x, donc f′(1)=2f'(1) = 2. La tangente est bien la droite limite des sécantes.
Ce qu'il faut lire : Suis les trois droites en tirets du haut vers le bas : chacune est un peu moins redressée que la précédente. Elles ne se rapprochent pas de n'importe quoi — elles s'appuient toutes sur AA et convergent vers une seule droite, celle tracée en trait plein. C'est pour cela que la dérivée se définit par une limite : sans le passage à la limite, on n'aurait qu'une pente moyenne de plus.
Sécantes de pentes 3,53{,}5, 2,82{,}8 et 2,32{,}3 à la courbe de f(x)=x2f(x)=x^2, convergeant vers la tangente en A(1 ; 1)A(1\,;\,1) de pente f′(1)=2f'(1)=2.
Le malentendu fondateur
Le nombre dérivé se lit comme une pente

L'erreur qui coûte l'année entière consiste à voir f′(a)f'(a) comme « le résultat d'une formule » et non comme un coefficient directeur. Les trois tangentes ci-dessous sont tracées sur la même courbe, à la même échelle : leur inclinaison se mesure au carreau, et elle donne f′(a)f'(a) sans aucun calcul.

Trois tangentes de pentes 2, 0 et moins 2 La courbe d'une parabole tournee vers le bas monte puis redescend. Trois tangentes y sont tracees. En abscisse 1, la tangente monte : elle avance d'un carreau vers la droite et monte de deux carreaux, sa pente vaut 2. En abscisse 3, au sommet de la courbe, la tangente est parfaitement horizontale : sa pente vaut 0. En abscisse 5, la tangente descend d'autant qu'elle avance deux fois, sa pente vaut moins 2. Les trois pentes lues sur le dessin sont exactement les trois nombres derives de la fonction en ces trois points. pente 2 pente 0 pente −2 1 3 5
  • 1 La fonction est f(x)=−0,5x2+3xf(x) = -0{,}5x^2 + 3x, donc f′(x)=−x+3f'(x) = -x + 3.
  • 2 En a=1a = 1 : f′(1)=2f'(1) = 2. La tangente monte, et de 22 carreaux quand elle en avance 11.
  • 3 En a=3a = 3 : f′(3)=0f'(3) = 0. La tangente est horizontale : la courbe est à son maximum.
  • 4 En a=5a = 5 : f′(5)=−2f'(5) = -2. La tangente descend, de 22 carreaux pour 11 vers la droite.
  • 5 Le signe de f′(a)f'(a) n'est donc pas une convention à retenir : c'est ce que fait la tangente, montrée trois fois sur la même courbe.
Ce qu'il faut lire : Choisis une des trois tangentes, pose ton doigt sur le point rond, avance d'un carreau vers la droite et compte combien de carreaux tu montes ou tu descends pour rester sur la droite. Le nombre que tu comptes est f′(a)f'(a). Si tu descends, tu comptes en négatif : c'est toute la signification du signe.
Trois tangentes à la courbe de f(x)=−0,5x2+3xf(x)=-0{,}5x^2+3x, de pentes f′(1)=2f'(1)=2, f′(3)=0f'(3)=0 et f′(5)=−2f'(5)=-2.
À quoi sert le signe
Le signe de la dérivée pilote les variations

C'est l'usage principal de la dérivée en première, et la raison pour laquelle on l'étudie. On ne regarde plus la valeur de f′f', seulement son signe : là où f′f' est positive, ff monte ; là où elle est négative, ff descend.

Les deux points où f′f' s'annule sont exactement les deux endroits où la courbe change de sens.

Variations de f et signe de sa derivee En haut, la courbe d'une fonction cubique monte jusqu'a l'abscisse moins 1, redescend jusqu'a l'abscisse 3, puis remonte. Deux tangentes horizontales y sont tracees, une au sommet situe en abscisse moins 1 et une au creux situe en abscisse 3. En bas, une bande resume le signe de la derivee sur les memes abscisses : la derivee est positive avant moins 1, negative entre moins 1 et 3, positive apres 3. Les deux changements de signe tombent exactement sous les deux tangentes horizontales. signe de f prime + − + f monte f descend f monte −1 3
  • 1 La fonction est f(x)=x33−x2−3x+4f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 4, donc f′(x)=x2−2x−3=(x−3)(x+1)f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1).
  • 2 f′f' s'annule en x=−1x = -1 et en x=3x = 3 : ce sont les deux abscisses des tangentes horizontales.
  • 3 Entre −1-1 et 33, le produit (x−3)(x+1)(x-3)(x+1) est négatif (un facteur positif, un négatif) : ff y descend.
  • 4 À l'extérieur, les deux facteurs ont le même signe, donc f′f' est positive : ff y monte.
  • 5 On obtient ainsi les variations de ff sans calculer une seule image : seul le signe de f′f' a servi.
Ce qu'il faut lire : Fais glisser ton doigt sur la courbe de la gauche vers la droite, et regarde en même temps la bande du dessous. Tant qu'elle porte un ++, ta main monte. Dès qu'elle porte un −-, ta main descend. Les deux traits verticaux marquent l'instant exact où tu changes de sens, et c'est là que la tangente est horizontale.
Variations de f(x)=x33−x2−3x+4f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+4 et signe de f′(x)=(x−3)(x+1)f'(x)=(x-3)(x+1), qui s'annule en −1-1 et en 33.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

N'oublie pas que la dérivée est une fonction, pas un nombre.

✅ La suggestion

f′(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5 est une fonction.

Pour avoir la valeur de la dérivée en x=2x = 2, on calcule f′(2)=6×2+5=17f'(2) = 6 \times 2 + 5 = 17.

💡 À retenir

  • La dérivée f′(x0)f'(x_0) est la pente de la tangente à la courbe en x0x_0 : c'est un nombre.
  • La fonction dérivée f′f' est une fonction : elle associe à chaque xx la pente de la tangente en ce point.
  • f′(x0)>0⇒ff'(x_0) > 0 \Rightarrow f croissante localement ; f′(x0)<0⇒ff'(x_0) < 0 \Rightarrow f décroissante ; f′(x0)=0⇒f'(x_0) = 0 \Rightarrow extremum possible.
  • Tangente en x0x_0 : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Retenir : pente ×\times écart ++ ordonnée du point.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Cinématique : v = dx/dt, cinétique chimique

Mots-clés associés : DérivéeTaux de variationTangented/dt
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