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Vecteurs 2D et Projection Orthogonale

Composantes, projection, signe et sens

🔬 Application physique-chimie : 2ème loi de Newton, plan incliné, bilan des forces
Un vecteur possède à la fois une valeur (norme), une direction et un sens — contrairement aux grandeurs scalaires.

En physique, toutes les grandeurs vectorielles (force, vitesse, accélération) se projettent sur des axes perpendiculaires pour être exploitées par les lois de Newton.

La projection « décompose » un vecteur oblique en deux composantes indépendantes : Fx=Fcos⁡(θ)F_x = F\cos(\theta) (côté adjacent = cosinus) et Fy=Fsin⁡(θ)F_y = F\sin(\theta) (côté opposé = sinus), où θ\theta est l'angle avec l'axe horizontal.

Le piège du plan incliné est récurrent : le poids est vertical mais les axes sont inclinés, ce qui « retourne » les rôles du sinus et du cosinus par rapport à l'intuition.

📖 Vocabulaire clé

Vecteur : Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (valeur). Notation : F⃗\vec{F}.
Norme : Valeur (longueur) du vecteur : ∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}. Toujours positive ou nulle.
Composante : Projection d'un vecteur sur un axe. FxF_x est la composante horizontale, FyF_y la composante verticale.
Projection orthogonale : Opération qui décompose un vecteur oblique en deux composantes perpendiculaires, une sur chaque axe du repère.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Le signe : regarder le sens du vecteur par rapport à l'axe. S'il pointe dans le sens positif de l'axe, la composante est positive. S'il pointe en sens inverse, elle est négative. Exemple : Une force F⃗\vec{F} pointe vers la gauche (sens négatif de OxOx) → Fx<0F_x < 0.
  2. 2 L'angle : repérer l'angle θ\theta entre le vecteur et l'axe de référence. Le côté "qui touche" l'angle θ\theta est adjacent (lié au cosinus). L'autre est opposé (lié au sinus). Exemple : Si θ=30°\theta = 30° entre F⃗\vec{F} et OxOx, le côté le long de OxOx est adjacent → on utilise cos⁡(30°)\cos(30°) pour FxF_x.
  3. 3 La formule : Fx=±F⋅cos⁡(θ)F_x = \pm F \cdot \cos(\theta) et Fy=±F⋅sin⁡(θ)F_y = \pm F \cdot \sin(\theta) si θ\theta est l'angle avec l'axe OxOx. Exemple : F=10F = 10 N, θ=60°\theta = 60° → Fx=10cos⁡(60°)=5F_x = 10\cos(60°) = 5 N, Fy=10sin⁡(60°)≈8,66F_y = 10\sin(60°) \approx 8{,}66 N.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un câble tire un traîneau avec une force T⃗\vec{T} de norme T=50T = 50 N, inclinée de θ=30°\theta = 30° au-dessus de l'horizontale. Déterminer les composantes TxT_x et TyT_y.
Démarche :
  1. Le vecteur pointe vers la droite et le haut → les deux composantes sont positives.
  2. Tx=Tcos⁡(θ)=50×cos⁡(30°)=50×0,866≈43,3T_x = T \cos(\theta) = 50 \times \cos(30°) = 50 \times 0{,}866 \approx 43{,}3 N (composante horizontale qui fait avancer le traîneau).
  3. Ty=Tsin⁡(θ)=50×sin⁡(30°)=50×0,5=25T_y = T \sin(\theta) = 50 \times \sin(30°) = 50 \times 0{,}5 = 25 N (composante verticale qui allège le traîneau).
Réponse : Tx≈43,3T_x \approx 43{,}3 N et Ty=25T_y = 25 N.

📐 Formules clés

Fx=F⋅cos⁡(θ)F_x = F \cdot \cos(\theta) (si θ\theta est l'angle avec OxOx)
Fy=F⋅sin⁡(θ)F_y = F \cdot \sin(\theta) (si θ\theta est l'angle avec OxOx)
∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} (norme = théorème de Pythagore)
θ=arctan⁡(FyFx)\theta = \arctan\left(\dfrac{F_y}{F_x}\right) (retrouver l'angle depuis les composantes)

🎨 Illustration

Projection d'une force inclinée
Le câble tire le traîneau : T=50T = 50 N à 30°30° (exemple du cours)

Décomposition du vecteur T⃗\vec{T} en ses composantes TxT_x et TyT_y, tracées en pointillés jusqu'aux axes.

Vecteur force incline avec projections Vecteur T de norme 50 newtons incline de 30 degres au-dessus de l'horizontale, avec ses projections Tx = 43,3 N et Ty = 25 N tracees en pointilles jusqu'aux axes. x y O θ = 30° T = 50 N Tx = 43,3 N Ty = 25 N
  • 1 La composante horizontale Tx=Tcos⁡(θ)=50×cos⁡(30°)≈43,3T_x = T\cos(\theta) = 50 \times \cos(30°) \approx 43{,}3 N est le côté adjacent à l'angle θ\theta.
  • 2 La composante verticale Ty=Tsin⁡(θ)=50×sin⁡(30°)=25T_y = T\sin(\theta) = 50 \times \sin(30°) = 25 N est le côté opposé à l'angle θ\theta.
  • 3 Vérification par Pythagore : Tx2+Ty2=43,32+252≈50\sqrt{T_x^2+T_y^2} = \sqrt{43{,}3^2+25^2} \approx 50 N =T= T ✓
  • 4 Le signe des composantes dépend du quadrant visé par le vecteur : I (haut-droite) → +,++,+ ; II (haut-gauche) → −,+-,+ ; III (bas-gauche) → −,−-,- ; IV (bas-droite) → +,−+,-.
Ce qu'il faut lire : Les pointillés horizontaux et verticaux montrent comment le vecteur incliné se « range » sur les deux axes : c'est la projection orthogonale.
Câble tirant un traîneau : T⃗\vec{T} de norme 5050 N, incliné de 30°30° au-dessus de l'horizontale (exemple du cours).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège du plan incliné : si l'angle du plan est α\alpha (avec l'horizontale), et que le poids est vertical, alors la composante du poids PARALLÈLE au plan est P⋅sin⁡(α)P \cdot \sin(\alpha) et PERPENDICULAIRE au plan est P⋅cos⁡(α)P \cdot \cos(\alpha).

✅ La suggestion

L'angle "se retourne" par rapport à l'intuition !

💡 À retenir

  • Un vecteur se décompose en deux composantes perpendiculaires via la projection orthogonale.
  • Côté adjacent à θ\theta → cosinus ; côté opposé → sinus. Le signe dépend du sens par rapport à l'axe.
  • Sur un plan incliné d'angle α\alpha : composante parallèle =Psin⁡(α)= P\sin(\alpha), perpendiculaire =Pcos⁡(α)= P\cos(\alpha).
  • La norme se retrouve par Pythagore : ∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
2ème loi de Newton, plan incliné, bilan des forces

Mots-clés associés : NormeProjectionCoordonnéesBilan des forces
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