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Vecteurs 2D et Projection Orthogonale

Composantes, projection, signe et sens

🔬 Application physique-chimie : 2ème loi de Newton, plan incliné, bilan des forces
Deux randonneurs partent du même refuge et marchent chacun exactement 44 km. Le soir, ils sont à 66 km l'un de l'autre.

Leurs deux déplacements ont pourtant la même longueur. Si tu ne notes que « 44 km », tu perds définitivement ce qui les sépare : la direction suivie et le sens dans lequel elle est parcourue. Un nombre seul ne peut pas décrire un déplacement.

C'est précisément ce qu'un vecteur vient combler. Il retient trois informations à la fois — une direction, un sens et une longueur appelée norme — là où un nombre n'en retenait qu'une.

Et voici ce qui surprend le plus au début : un vecteur ne dit pas où l'on est, il dit comment on se déplace. Deux randonneurs partis d'endroits différents mais qui marchent dans la même direction, dans le même sens et sur la même distance effectuent le même déplacement, donc portent le même vecteur. C'est le point qui déroute toute l'année, et tout le chapitre consiste à s'y habituer.

Une fois l'objet en main, on apprend à le lire en composantes dans un repère, ce qui transforme chaque question de géométrie en calcul — et, en physique, permet de projeter forces et vitesses sur des axes.

📖 Vocabulaire clé

Vecteur : Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (valeur). Notation : F⃗\vec{F}.
Norme : Valeur (longueur) du vecteur : ∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}. Toujours positive ou nulle.
Composante : Projection d'un vecteur sur un axe. FxF_x est la composante horizontale, FyF_y la composante verticale.
Projection orthogonale : Opération qui décompose un vecteur oblique en deux composantes perpendiculaires, une sur chaque axe du repère.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Le signe : regarder le sens du vecteur par rapport à l'axe. S'il pointe dans le sens positif de l'axe, la composante est positive. S'il pointe en sens inverse, elle est négative. Exemple : Une force F⃗\vec{F} pointe vers la gauche (sens négatif de OxOx) → Fx<0F_x < 0.
  2. 2 L'angle : repérer l'angle θ\theta entre le vecteur et l'axe de référence. Le côté "qui touche" l'angle θ\theta est adjacent (lié au cosinus). L'autre est opposé (lié au sinus). Exemple : Si θ=30°\theta = 30° entre F⃗\vec{F} et OxOx, le côté le long de OxOx est adjacent → on utilise cos⁡(30°)\cos(30°) pour FxF_x.
  3. 3 La formule : Fx=±F⋅cos⁡(θ)F_x = \pm F \cdot \cos(\theta) et Fy=±F⋅sin⁡(θ)F_y = \pm F \cdot \sin(\theta) si θ\theta est l'angle avec l'axe OxOx. Exemple : F=10F = 10 N, θ=60°\theta = 60° → Fx=10cos⁡(60°)=5F_x = 10\cos(60°) = 5 N, Fy=10sin⁡(60°)≈8,66F_y = 10\sin(60°) \approx 8{,}66 N.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un câble tire un traîneau avec une force T⃗\vec{T} de norme T=50T = 50 N, inclinée de θ=30°\theta = 30° au-dessus de l'horizontale. Déterminer les composantes TxT_x et TyT_y.
Démarche :
  1. Le vecteur pointe vers la droite et le haut → les deux composantes sont positives.
  2. Tx=Tcos⁡(θ)=50×cos⁡(30°)=50×0,866≈43,3T_x = T \cos(\theta) = 50 \times \cos(30°) = 50 \times 0{,}866 \approx 43{,}3 N (composante horizontale qui fait avancer le traîneau).
  3. Ty=Tsin⁡(θ)=50×sin⁡(30°)=50×0,5=25T_y = T \sin(\theta) = 50 \times \sin(30°) = 50 \times 0{,}5 = 25 N (composante verticale qui allège le traîneau).
Réponse : Tx≈43,3T_x \approx 43{,}3 N et Ty=25T_y = 25 N.

📐 Formules clés

Fx=F⋅cos⁡(θ)F_x = F \cdot \cos(\theta) (si θ\theta est l'angle avec OxOx)
Fy=F⋅sin⁡(θ)F_y = F \cdot \sin(\theta) (si θ\theta est l'angle avec OxOx)
∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} (norme = théorème de Pythagore)
θ=arctan⁡(FyFx)\theta = \arctan\left(\dfrac{F_y}{F_x}\right) (retrouver l'angle depuis les composantes)

🎨 Illustrations

Projection d'une force inclinée
Le câble tire le traîneau : T=50T = 50 N à 30°30° (exemple du cours)

Décomposition du vecteur T⃗\vec{T} en ses composantes TxT_x et TyT_y, tracées en pointillés jusqu'aux axes.

Vecteur force incline avec projections Vecteur T de norme 50 newtons incline de 30 degres au-dessus de l'horizontale, avec ses projections Tx = 43,3 N et Ty = 25 N tracees en pointilles jusqu'aux axes. x y O θ = 30° T = 50 N Tx = 43,3 N Ty = 25 N
  • 1 La composante horizontale Tx=Tcos⁡(θ)=50×cos⁡(30°)≈43,3T_x = T\cos(\theta) = 50 \times \cos(30°) \approx 43{,}3 N est le côté adjacent à l'angle θ\theta.
  • 2 La composante verticale Ty=Tsin⁡(θ)=50×sin⁡(30°)=25T_y = T\sin(\theta) = 50 \times \sin(30°) = 25 N est le côté opposé à l'angle θ\theta.
  • 3 Vérification par Pythagore : Tx2+Ty2=43,32+252≈50\sqrt{T_x^2+T_y^2} = \sqrt{43{,}3^2+25^2} \approx 50 N =T= T ✓
  • 4 Le signe des composantes dépend du quadrant visé par le vecteur : I (haut-droite) → +,++,+ ; II (haut-gauche) → −,+-,+ ; III (bas-gauche) → −,−-,- ; IV (bas-droite) → +,−+,-.
Ce qu'il faut lire : Les pointillés horizontaux et verticaux montrent comment le vecteur incliné se « range » sur les deux axes : c'est la projection orthogonale.
Câble tirant un traîneau : T⃗\vec{T} de norme 5050 N, incliné de 30°30° au-dessus de l'horizontale (exemple du cours).
Le malentendu fondateur
Un même vecteur, trois endroits différents

Ces trois flèches représentent le même vecteur u⃗\vec{u}. Elles ne partent pourtant pas du même point. Un vecteur décrit un déplacement, pas une position : le lieu d'où on le dessine ne fait pas partie de l'information.

Trois representants du meme vecteur Un quadrillage porte trois fleches identiques. Chacune avance de trois graduations vers la droite et descend de deux graduations. Elles partent de trois endroits differents du quadrillage, mais elles ont exactement la meme longueur, la meme direction et le meme sens. Ce sont donc trois representants d'un seul et meme vecteur, dont les composantes valent trois et moins deux. u u u
  • 1 Chaque flèche avance de 33 graduations vers la droite et descend de 22 graduations : ses composantes sont (3−2)\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}.
  • 2 Les trois flèches ont la même direction, le même sens et la même norme : par définition, elles représentent le même vecteur.
  • 3 Le point de départ n'apparaît nulle part dans les composantes — c'est bien qu'il ne fait pas partie du vecteur.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt au départ de chaque flèche et compte : 33 carreaux vers la droite, puis 22 carreaux vers le bas. Tu comptes la même chose trois fois, alors que tu es parti de trois endroits différents. Voilà pourquoi on dit que c'est un seul vecteur, et non trois.
Trois représentants du même vecteur u⃗\vec{u} de composantes (3 ; −2)(3\,;\,-2).
Le piège du chapitre
Un point dit où ; un vecteur dit comment on bouge

L'erreur la plus coûteuse de l'année consiste à confondre le point AA et le vecteur AB⃗\vec{AB}. Les deux vignettes sont à la même échelle et AA y occupe la même place : la seule différence visible est la nature de l'objet.

Un point compare a un vecteur A gauche, le point A de coordonnees quatre et trois est marque par un simple rond : il indique une position dans le plan. A droite, sur un dessin de meme echelle et ou le point A occupe la meme hauteur, une fleche part de A et rejoint le point B de coordonnees sept et un. Cette fleche est le vecteur AB. Elle ne designe aucune position : elle decrit le deplacement qui mene de A vers B, soit trois graduations vers la droite et deux graduations vers le bas. une position A le point A un deplacement A B le vecteur AB
  • 1 À gauche, A(4 ; 3)A(4\,;\,3) : deux nombres qui disent où se trouve un point.
  • 2 À droite, AB⃗\vec{AB} de composantes (3−2)\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} : deux nombres qui disent de combien on se déplace.
  • 3 Les deux objets s'écrivent avec deux nombres, et c'est exactement ce qui rend la confusion si facile. Ce ne sont pourtant pas les mêmes deux nombres, et ils ne répondent pas à la même question.
Ce qu'il faut lire : Déplace mentalement la flèche de droite ailleurs dans le plan : elle reste le même vecteur. Déplace maintenant le rond de gauche : il devient un autre point. C'est là toute la différence, et tu peux t'en servir comme test chaque fois que tu hésites.
Le point A(4 ; 3)A(4\,;\,3) et le vecteur AB⃗\vec{AB} de composantes (3 ; −2)(3\,;\,-2), à la même échelle.
Enchaîner deux déplacements
La relation de Chasles se lit sur le dessin

Aller de AA à BB, puis de BB à CC, revient à aller directement de AA à CC. C'est tout ce que dit la relation AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} — et elle se vérifie ici en comptant des carreaux.

La relation de Chasles sur trois points Trois points A, B et C ne sont pas alignes. Une fleche va de A vers B en avancant de quatre graduations vers la droite et deux vers le haut. Une deuxieme fleche va de B vers C en avancant de deux graduations vers la droite et trois vers le haut. Une troisieme fleche, tracee en tirets, joint directement A a C en avancant de six graduations vers la droite et cinq vers le haut. Les composantes de la troisieme fleche sont exactement la somme des composantes des deux premieres. A B C AB BC AC
  • 1 AB⃗\vec{AB} a pour composantes (42)\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} et BC⃗\vec{BC} a pour composantes (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
  • 2 Leur somme vaut (4+22+3)=(65)\begin{pmatrix} 4+2 \\ 2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}, qui est exactement le couple de composantes de AC⃗\vec{AC}.
  • 3 Remarque la lettre qui disparaît : dans AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}, le BB d'arrivée du premier et le BB de départ du second s'annulent. C'est le repère le plus sûr pour appliquer la relation sans se tromper.
Ce qu'il faut lire : Suis le chemin plein : tu passes par BB. Suis maintenant le chemin en tirets : tu vas droit au but. Tu arrives au même endroit dans les deux cas, et c'est pour cela que les composantes s'additionnent. Attention cependant : les longueurs, elles, ne s'additionnent pas — le détour par BB est plus long que le trajet direct.
Relation de Chasles : AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}, vérifiée sur les composantes.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège du plan incliné : si l'angle du plan est α\alpha (avec l'horizontale), et que le poids est vertical, alors la composante du poids PARALLÈLE au plan est P⋅sin⁡(α)P \cdot \sin(\alpha) et PERPENDICULAIRE au plan est P⋅cos⁡(α)P \cdot \cos(\alpha).

✅ La suggestion

L'angle "se retourne" par rapport à l'intuition !

💡 À retenir

  • Un vecteur se décompose en deux composantes perpendiculaires via la projection orthogonale.
  • Côté adjacent à θ\theta → cosinus ; côté opposé → sinus. Le signe dépend du sens par rapport à l'axe.
  • Sur un plan incliné d'angle α\alpha : composante parallèle =Psin⁡(α)= P\sin(\alpha), perpendiculaire =Pcos⁡(α)= P\cos(\alpha).
  • La norme se retrouve par Pythagore : ∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
2ème loi de Newton, plan incliné, bilan des forces

Mots-clés associés : NormeProjectionCoordonnéesBilan des forces
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