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Fonctions Affines et Linéaires

Droite y = ax + b, pente, modélisation

🔬 Application physique-chimie : Loi de Beer-Lambert, gaz parfaits, étalonnage

Une fonction affine $f(x) = ax + b$ est représentée par une droite dans le plan.

Le coefficient $a$ , appelé pente (ou coefficient directeur), indique de combien $f(x)$ varie quand $x$ augmente de $1$ .

Le terme $b$ , l'ordonnée à l'origine, est la valeur de $f(0)$ — c'est-à-dire l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.

Cas particulier : si $b = 0$ , la droite passe par l'origine. On parle alors de fonction linéaire : la relation entre $x$ et $y$ est une proportionnalité directe.

En sciences, les lois affines et linéaires sont omniprésentes : loi de Beer-Lambert ( $A = \varepsilon l c$ ), loi d'Ohm ( $U = RI$ ), courbes d'étalonnage...

Dans ces contextes, la pente porte toujours des unités physiques (le rapport $\Delta y / \Delta x$ ) qu'il faut savoir interpréter, pas seulement calculer.

📖 Vocabulaire clé

Fonction affine : Fonction de la forme

f(x) = ax + b

dont la représentation graphique est une droite.

Coefficient directeur : Le nombre

a

dans

y = ax + b

. Il mesure la variation de

y

quand

x

augmente de

1

a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}

Ordonnée à l'origine : Le nombre

b

dans

y = ax + b

. C'est la valeur de

y

quand

x = 0

, soit le point

(0 ; b)

sur l'axe des ordonnées.

Fonction linéaire : Cas particulier

f(x) = ax

(

b = 0

). La droite passe par l'origine : il y a proportionnalité entre

x

y

📋 Méthode en 3 étapes

1 Identifier la forme : $y = ax + b$ (affine) ou $y = ax$ (linéaire, passe par l'origine). La pente $a$ est le "coefficient directeur". Exemple : $y = 3x - 2$ est affine ( $a = 3$ , $b = -2$ ) ; $y = 5x$ est linéaire ( $a = 5$ , $b = 0$ ).
2 Calculer la pente à partir de deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ : $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Exemple : $A(1 ; 4)$ et $B(3 ; 10)$ → $a = \dfrac{10 - 4}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$ .
3 Déterminer $b$ (ordonnée à l'origine) : $b = y_1 - a \cdot x_1$ . En physique, $b$ représente souvent une valeur initiale ou un biais de mesure. Exemple : Avec $a = 3$ et le point $(1 ; 4)$ : $b = 4 - 3 \times 1 = 1$ . Donc $y = 3x + 1$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Lors d'un étalonnage en spectrophotométrie, on mesure

A = 0{,}25

pour

c = 1{,}0 \times 10^{-3}

mol/L et

A = 0{,}75

pour

c = 3{,}0 \times 10^{-3}

mol/L (

l = 1

cm). Déterminer la relation

A = f(c)

Démarche :

La loi de Beer-Lambert est linéaire ( $A = \varepsilon l c$ , passe par l'origine), donc $b = 0$ .
Calculer la pente : $\varepsilon l = \dfrac{A_2 - A_1}{c_2 - c_1} = \dfrac{0{,}75 - 0{,}25}{3{,}0 \times 10^{-3} - 1{,}0 \times 10^{-3}} = \dfrac{0{,}50}{2{,}0 \times 10^{-3}} = 250$ L·mol⁻¹·cm⁻¹.
Vérification : $A = 250 \times 1{,}0 \times 10^{-3} = 0{,}25$ ✓

Réponse :

A = 250 \cdot c

avec

\varepsilon l = 250

L·mol⁻¹·cm⁻¹.

📐 Formules clés

y = ax + b

(fonction affine)

a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

(pente)

b = y - ax

(ordonnée à l'origine)

Beer-Lambert :

A = \varepsilon \cdot l \cdot c

(droite passant par l'origine)

🎨 Illustration

Pente et ordonnée à l'origine

Tracer la droite

y = 3x + 1

à partir de deux points

Reconstruction de l'exemple du cours : $A(1 ; 4)$ et $B(3 ; 10)$ donnent le coefficient directeur $a = 3$ , puis $b = 1$ .

1 Le point $(0 ; 1)$ marque l'ordonnée à l'origine $b = 1$ : c'est là que la droite coupe l'axe des $y$ .
2 Le triangle de pente relie $A(1 ; 4)$ à $B(3 ; 10)$ : $\Delta x = 2$ et $\Delta y = 6$ , donc $a = \Delta y / \Delta x = 3$ .
3 Plus $a$ est grand, plus la droite est pentue : ici $a = 3$ signifie que $y$ augmente de $3$ à chaque fois que $x$ augmente de $1$ .

Ce qu'il faut lire : Repère la pente en comptant le déplacement horizontal (

\Delta x

) puis vertical (

\Delta y

) entre deux points de la droite ; leur rapport donne

a

Droite

y = 3x + 1

, reconstruite à partir des points

A(1 ; 4)

B(3 ; 10)

de l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre pente et valeur !

✅ La suggestion

Sur un graphe A = f(c) (Beer-Lambert), la pente est $\varepsilon l$ (coefficient d'extinction × trajet optique). La concentration inconnue se lit en faisant $c = A / (\varepsilon l)$ , pas en lisant directement la pente.

💡 À retenir

Une fonction affine $y = ax + b$ est représentée par une droite ; $a$ est la pente, $b$ l'ordonnée à l'origine.
Si $b = 0$ , la droite passe par l'origine (proportionnalité directe / fonction linéaire).
Deux points suffisent pour déterminer l'équation d'une droite : calculer $a$ , puis $b$ .
En sciences, la pente a des unités physiques ( $\Delta y / \Delta x$ ) qu'il faut toujours interpréter.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Loi de Beer-Lambert, gaz parfaits, étalonnage

Mots-clés associés : DroitePenteCoefficient directeurModélisation

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