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Fonctions Affines et Linéaires

Droite y = ax + b, pente, modélisation

🔬 Application physique-chimie : Loi de Beer-Lambert, gaz parfaits, étalonnage
Deux salles d'escalade dans ta ville. La première demande 99 € par séance, sans rien d'autre. La seconde fait payer 6060 € d'adhésion à l'année, puis 33 € seulement par séance.

Laquelle choisir ?

La question n'a pas de réponse tant qu'on ne sait pas combien de fois tu comptes y aller. Pour trois séances, la première revient à 2727 € et la seconde à 6969 € : la première gagne largement. Pour trente séances, la première demande 270270 € et la seconde 150150 € : le classement s'est inversé.

Il existe donc un nombre de séances où les deux se valent exactement, et c'est lui qui décide. Le trouver de tête est pénible ; le trouver une fois pour toutes, en écrivant chaque tarif comme une fonction affine f(x)=ax+bf(x) = ax + b, prend deux lignes.

Dans cette écriture, chacun des deux nombres a un rôle que tu peux lire directement. Le coefficient aa, la pente, dit de combien la dépense monte à chaque séance supplémentaire : c'est lui qui l'emporte quand xx devient grand. Le nombre bb, l'ordonnée à l'origine, dit ce que tu paies avant même la première séance : c'est lui qui pèse au début.

Tu connais déjà ces droites depuis la troisième. Ce que la seconde ajoute, c'est qu'on cesse de les tracer pour les comparer : savoir laquelle finira par passer devant l'autre, et à partir de quand.

📖 Vocabulaire clé

Fonction affine : Fonction de la forme f(x)=ax+bf(x) = ax + b dont la représentation graphique est une droite.
Coefficient directeur : Le nombre aa dans y=ax+by = ax + b. Il mesure la variation de yy quand xx augmente de 11 : a=ΔyΔxa = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}.
Ordonnée à l'origine : Le nombre bb dans y=ax+by = ax + b. C'est la valeur de yy quand x=0x = 0, soit le point (0;b)(0 ; b) sur l'axe des ordonnées.
Fonction linéaire : Cas particulier f(x)=axf(x) = ax (b=0b = 0). La droite passe par l'origine : il y a proportionnalité entre xx et yy.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier la forme : y=ax+by = ax + b (affine) ou y=axy = ax (linéaire, passe par l'origine). La pente aa est le "coefficient directeur". Exemple : y=3x−2y = 3x - 2 est affine (a=3a = 3, b=−2b = -2) ; y=5xy = 5x est linéaire (a=5a = 5, b=0b = 0).
  2. 2 Calculer la pente à partir de deux points (x1,y1)(x_1, y_1) et (x2,y2)(x_2, y_2) : a=y2−y1x2−x1a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Exemple : A(1;4)A(1 ; 4) et B(3;10)B(3 ; 10) → a=10−43−1=62=3a = \dfrac{10 - 4}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3.
  3. 3 Déterminer bb (ordonnée à l'origine) : b=y1−a⋅x1b = y_1 - a \cdot x_1. En physique, bb représente souvent une valeur initiale ou un biais de mesure. Exemple : Avec a=3a = 3 et le point (1;4)(1 ; 4) : b=4−3×1=1b = 4 - 3 \times 1 = 1. Donc y=3x+1y = 3x + 1.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Lors d'un étalonnage en spectrophotométrie, on mesure A=0,25A = 0{,}25 pour c=1,0×10−3c = 1{,}0 \times 10^{-3} mol/L et A=0,75A = 0{,}75 pour c=3,0×10−3c = 3{,}0 \times 10^{-3} mol/L (l=1l = 1 cm). Déterminer la relation A=f(c)A = f(c).
Démarche :
  1. La loi de Beer-Lambert est linéaire (A=εlcA = \varepsilon l c, passe par l'origine), donc b=0b = 0.
  2. Calculer la pente : εl=A2−A1c2−c1=0,75−0,253,0×10−3−1,0×10−3=0,502,0×10−3=250\varepsilon l = \dfrac{A_2 - A_1}{c_2 - c_1} = \dfrac{0{,}75 - 0{,}25}{3{,}0 \times 10^{-3} - 1{,}0 \times 10^{-3}} = \dfrac{0{,}50}{2{,}0 \times 10^{-3}} = 250 L·mol⁻¹·cm⁻¹.
  3. Vérification : A=250×1,0×10−3=0,25A = 250 \times 1{,}0 \times 10^{-3} = 0{,}25 ✓
Réponse : A=250⋅cA = 250 \cdot c avec εl=250\varepsilon l = 250 L·mol⁻¹·cm⁻¹.

📐 Formules clés

y=ax+by = ax + b (fonction affine)
a=y2−y1x2−x1a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (pente)
b=y−axb = y - ax (ordonnée à l'origine)
Beer-Lambert : A=ε⋅l⋅cA = \varepsilon \cdot l \cdot c (droite passant par l'origine)

🎨 Illustrations

Pente et ordonnée à l'origine
Tracer la droite y=3x+1y = 3x + 1 à partir de deux points

Reconstruction de l'exemple du cours : A(1;4)A(1 ; 4) et B(3;10)B(3 ; 10) donnent le coefficient directeur a=3a = 3, puis b=1b = 1.

Droite y = 3x + 1 Repere avec la droite y = 3x + 1, passant par les points A(1;4) et B(3;10), le triangle de pente delta x = 2, delta y = 6, et le point (0;1) marquant l'ordonnee a l'origine. x y -1 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 10 Δx = 2 Δy = 6 y = 3x + 1 (0 ; 1) A(1 ; 4) B(3 ; 10)
  • 1 Le point (0;1)(0 ; 1) marque l'ordonnée à l'origine b=1b = 1 : c'est là que la droite coupe l'axe des yy.
  • 2 Le triangle de pente relie A(1;4)A(1 ; 4) à B(3;10)B(3 ; 10) : Δx=2\Delta x = 2 et Δy=6\Delta y = 6, donc a=Δy/Δx=3a = \Delta y / \Delta x = 3.
  • 3 Plus aa est grand, plus la droite est pentue : ici a=3a = 3 signifie que yy augmente de 33 à chaque fois que xx augmente de 11.
Ce qu'il faut lire : Repère la pente en comptant le déplacement horizontal (Δx\Delta x) puis vertical (Δy\Delta y) entre deux points de la droite ; leur rapport donne aa.
Droite y=3x+1y = 3x + 1, reconstruite à partir des points A(1;4)A(1 ; 4) et B(3;10)B(3 ; 10) de l'exemple du cours.
Deux réglages indépendants
Ce que règle a, ce que règle b

Les deux vignettes sont à la même échelle et couvrent le même intervalle : la seule différence visible est donc celle que la figure veut montrer.

À gauche, la pente aa est figée et seule bb change : les trois droites restent parallèles, elles ne font que glisser vers le haut ou vers le bas.

À droite, bb est figé et seule aa change : les trois droites pivotent autour du même point (0 ; 1)(0\,;\,1).

Le role separe de la pente et de l ordonnee a l origine Deux reperes de meme taille et de meme echelle sont places cote a cote. Dans celui de gauche, trois droites de meme inclinaison sont dessinees a des hauteurs differentes : elles sont paralleles entre elles et coupent l'axe vertical en trois endroits distincts. Dans celui de droite, trois droites d'inclinaisons differentes passent toutes par un meme point de l'axe vertical : elles pivotent autour de ce point. même pente a b = 2 b = 0 b = -2 b déplace la droite même ordonnée b b = 1 a incline la droite
  • 1 À gauche, les trois droites ont la même pente a=1a = 1 : elles sont parallèles, et bb ne fait que choisir à quelle hauteur la droite coupe l'axe des ordonnées.
  • 2 À droite, les trois droites ont la même ordonnée à l'origine b=1b = 1 : elles passent toutes par le même point, et aa choisit seulement l'inclinaison.
  • 3 Autrement dit : bb te dit d'où tu pars, aa te dit dans quelle direction tu avances. Les deux réglages ne se marchent jamais dessus.
Ce qu'il faut lire : Repère le point marqué sur chaque vignette. À gauche, il y en a trois, à des hauteurs différentes, sur des droites qui ne se croisent jamais. À droite, il n'y en a qu'un, et les trois droites y passent toutes. Quand tu hésites sur ce que change un coefficient, refais mentalement cette double expérience.
Deux vignettes à la même échelle : à gauche aa est figé et bb varie, à droite bb est figé et aa varie.
Le sens de la fraction
Le triangle de pente, dans le bon ordre

La pente se calcule avec a=ΔyΔxa = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}, et l'erreur la plus fréquente consiste à écrire la fraction à l'envers.

Le triangle ci-dessous te donne le moyen de ne plus te tromper : la montée se lit verticalement, le déplacement se lit horizontalement, et la pente répond à la question « de combien je monte quand j'avance de 11 ». La montée est donc en haut de la fraction.

Le triangle de pente et le sens de la fraction Une droite montante est tracee dans un repere. Deux de ses points sont marques : le premier a pour coordonnees un et un, le second trois et cinq. Un triangle rectangle relie ces deux points : son cote horizontal mesure deux unites vers la droite, son cote vertical mesure quatre unites vers le haut. Les deux cotes portent leur mesure, posee a l'exterieur du triangle. La pente vaut donc quatre divise par deux, c'est a dire deux. x y 0 1 3 1 5 A(1 ; 1) B(3 ; 5) on avance de 2 on monte de 4 pente = ce qu'on monte divisé par ce qu'on avance soit 4 divisé par 2, donc 2
  • 1 Le côté horizontal vaut Δx=3−1=2\Delta x = 3 - 1 = 2 et le côté vertical Δy=5−1=4\Delta y = 5 - 1 = 4.
  • 2 La pente vaut donc a=ΔyΔx=42=2a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{4}{2} = 2 : quand tu avances de 11, tu montes de 22.
  • 3 Le contrôle qui te sauve : si tu avais écrit 24=0,5\dfrac{2}{4} = 0{,}5, la droite serait presque plate. Or elle est visiblement raide. Un coup d'œil suffit à écarter la fraction inversée.
Ce qu'il faut lire : Relis la définition en français avant de poser la moindre fraction : « de combien je monte quand j'avance de 11 ». La montée est ce qu'on cherche, elle passe donc au numérateur ; le déplacement est ce par quoi on divise, il passe au dénominateur. Cette phrase te suffit, tu n'as pas à retenir la formule.
Triangle de pente sur y=2x−1y = 2x - 1 entre A(1 ; 1)A(1\,;\,1) et B(3 ; 5)B(3\,;\,5) : Δx=2\Delta x = 2, Δy=4\Delta y = 4, donc a=2a = 2.
Affine ou linéaire ?
Le test du doublement, réussi puis raté

Une fonction linéaire vérifie une propriété très pratique : si tu doubles xx, tu doubles f(x)f(x). Beaucoup d'élèves l'appliquent à toutes les fonctions affines, et se trompent.

Les deux droites ci-dessous ont la même pente 22. Seule celle qui passe par l'origine réussit le test.

Une fonction lineaire et une fonction affine de meme pente Deux droites de meme inclinaison sont tracees dans un repere. La premiere part de l'origine du repere : quand on passe de l'abscisse un a l'abscisse deux, son ordonnee passe de deux a quatre, elle double. La seconde coupe l'axe vertical a l'ordonnee trois : quand on passe de l'abscisse un a l'abscisse deux, son ordonnee passe de cinq a sept, elle ne double pas. x y 0 1 2 2 4 5 7 2 4 : doublé 5 7 : pas doublé y = 2x y = 2x + 3
  • 1 Pour f(x)=2xf(x) = 2x : f(1)=2f(1) = 2 et f(2)=4f(2) = 4. On double xx, on double bien f(x)f(x). La fonction est linéaire.
  • 2 Pour g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3 : g(1)=5g(1) = 5 et g(2)=7g(2) = 7. On double xx, et pourtant 77 n'est pas le double de 55. La fonction est affine mais pas linéaire.
  • 3 Le coupable est le +3+3 : il ne double pas quand xx double, il reste 33. Seule une droite passant par l'origine échappe à ce décalage.
Ce qu'il faut lire : Regarde où chaque droite coupe l'axe vertical. Celle qui le coupe en 00 réussit le test ; celle qui le coupe ailleurs le rate. Tu tiens là un contrôle immédiat : linéaire veut dire b=0b = 0, donc passage par l'origine, et rien d'autre.
Deux droites de pente 22 : y=2xy = 2x est linéaire et réussit le test du doublement, y=2x+3y = 2x + 3 est affine et le rate.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre pente et valeur !

✅ La suggestion

Sur un graphe A = f(c) (Beer-Lambert), la pente est εl\varepsilon l (coefficient d'extinction × trajet optique). La concentration inconnue se lit en faisant c=A/(εl)c = A / (\varepsilon l), pas en lisant directement la pente.

💡 À retenir

  • Une fonction affine y=ax+by = ax + b est représentée par une droite ; aa est la pente, bb l'ordonnée à l'origine.
  • Si b=0b = 0, la droite passe par l'origine (proportionnalité directe / fonction linéaire).
  • Deux points suffisent pour déterminer l'équation d'une droite : calculer aa, puis bb.
  • En sciences, la pente a des unités physiques (Δy/Δx\Delta y / \Delta x) qu'il faut toujours interpréter.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Loi de Beer-Lambert, gaz parfaits, étalonnage

Mots-clés associés : DroitePenteCoefficient directeurModélisation
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