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Ensembles de nombres et intervalles

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et notation intervalle

Les nombres se classent en ensembles emboîtés : N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Un réel est rationnel s'il peut s'écrire p/qp/q (avec p,qp, q entiers, q≠0q \neq 0) — sinon il est irrationnel comme 2\sqrt{2} ou π\pi. Les décimaux périodiques (comme 1,3‾=4/31{,}\overline{3} = 4/3) sont tous rationnels.

Les intervalles décrivent des ensembles continus de réels avec une notation compacte : un crochet fermé [[ inclut la borne, un crochet ouvert ]] l'exclut. L'infini n'est pas un nombre — la borne infinie est toujours ouverte.

Les opérations sur intervalles (∩\cap, ∪\cup) permettent d'exprimer les domaines de définition et les conditions de validité des formules.

📖 Vocabulaire clé

Entiers naturels N\mathbb{N} : Ensemble {0;1;2;3;…}\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\} : les nombres entiers positifs ou nuls.
Entiers relatifs Z\mathbb{Z} : Ensemble {…;−2;−1;0;1;2;…}\{\ldots ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots\} : les entiers avec leur signe.
Rationnels Q\mathbb{Q} : Ensemble des nombres qui s'écrivent pq\dfrac{p}{q} avec p∈Zp \in \mathbb{Z} et q∈Z∗q \in \mathbb{Z}^*. Inclut tous les décimaux périodiques.
Irrationnel : Réel qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Exemples : 2\sqrt{2}, π\pi, 3\sqrt{3}. Leur écriture décimale est infinie et non périodique.

📋 Lire et écrire un intervalle

  1. 1 Crochet fermé [[ ou ]] : la borne est incluse. Exemple : [3;7][3 ; 7] signifie 3≤x≤73 \le x \le 7 (les bornes 33 et 77 font partie de l'ensemble).
  2. 2 Crochet ouvert ]] ou [[ : la borne est exclue. Exemple : ]2;5[]2 ; 5[ signifie 2<x<52 < x < 5 (ni 22 ni 55 ne font partie de l'ensemble).
  3. 3 Bornes infinies : toujours utiliser un crochet ouvert pour +∞+\infty ou −∞-\infty. Exemple : [3;+∞[[3 ; +\infty[ signifie x≥3x \ge 3.
  4. 4 Intersection ∩\cap = valeurs communes ; union ∪\cup = toutes les valeurs. Exemple : [1;5]∩[3;8]=[3;5][1 ; 5] \cap [3 ; 8] = [3 ; 5] ; [1;5]∪[3;8]=[1;8][1 ; 5] \cup [3 ; 8] = [1 ; 8].

✅ Exemple résolu

Énoncé : Classer les nombres suivants dans les ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q}, irrationnel : 77 ; −3-3 ; 25\dfrac{2}{5} ; 5\sqrt{5}.
Démarche :
  1. 7∈N⊂Z⊂Q⊂R7 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : c'est un entier naturel.
  2. −3∈Z⊂Q⊂R-3 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : entier relatif négatif (pas dans N\mathbb{N}).
  3. 25=0,4∈Q\dfrac{2}{5} = 0{,}4 \in \mathbb{Q} : rationnel (quotient de deux entiers).
  4. 5\sqrt{5} est irrationnel : 55 n'est pas un carré parfait, donc 5\sqrt{5} ne s'écrit pas sous forme p/qp/q.
Réponse : 7∈N7 \in \mathbb{N} ; −3∈Z-3 \in \mathbb{Z} ; 25∈Q\frac{2}{5} \in \mathbb{Q} ; 5∉Q\sqrt{5} \notin \mathbb{Q} (irrationnel).

📐 Formules clés

[a;b]={x∈R∣a≤x≤b}[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}
]a;b[={x∈R∣a<x<b}]a;b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}
[a;+∞[={x∈R∣x≥a}[a;+\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}

🎨 Illustration

Ensembles de nombres emboîtés
Quatre exemples du cours placés dans l'ensemble le plus restreint

Reprend l'exemple du cours : 7∈N7 \in \mathbb{N}, −3∈Z-3 \in \mathbb{Z}, 25∈Q\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}, 5\sqrt{5} irrationnel (dans R\mathbb{R} seulement), chacun placé dans l'anneau le plus intérieur possible.

Cercles emboites des ensembles de nombres Quatre cercles concentriques centres au meme point, du plus petit au plus grand : N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), Q (rationnels), R (reels). Le nombre 7 est place dans le cercle N, le nombre moins 3 entre les cercles N et Z, la fraction 2 cinquiemes entre les cercles Z et Q, et racine de 5 entre les cercles Q et R, chacun dans l'anneau le plus restreint possible. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ℝ ℚ ℤ ℕ 7 -3 2/5 √5
  • 1 7∈N7 \in \mathbb{N} : entier naturel, c'est l'ensemble le plus restreint possible pour ce nombre.
  • 2 −3∈Z-3 \in \mathbb{Z} mais −3∉N-3 \notin \mathbb{N} (les entiers naturels sont positifs ou nuls).
  • 3 25∈Q\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q} mais 25∉Z\dfrac{2}{5} \notin \mathbb{Z} (ce n'est pas un entier).
  • 4 5\sqrt{5} est irrationnel : il appartient à R\mathbb{R} mais pas à Q\mathbb{Q}, comme le rappelle l'exemple du cours.
Ce qu'il faut lire : Chaque nombre est placé dans l'anneau le plus intérieur possible : c'est cet anneau qui donne son ensemble de référence le plus précis.
Reprend exactement l'exemple du cours : 77, −3-3, 25\dfrac{2}{5}, 5\sqrt{5}, chacun classé dans N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} ou R\mathbb{R} (irrationnel).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne jamais écrire [+∞][+\infty] ou [−∞][-\infty] : l'infini n'est pas un nombre, la borne est toujours ouverte de ce côté.

💡 À retenir

  • Les ensembles s'emboîtent : N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
  • Un décimal périodique est toujours rationnel ; un irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique.
  • Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue ; l'infini est toujours exclu.
  • ∩\cap donne les valeurs communes, ∪\cup donne toutes les valeurs des deux intervalles.
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