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Ensembles de nombres et intervalles

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et notation intervalle

Trace un carré de côté 11, puis sa diagonale.

Cette diagonale a bien une longueur : tu peux la mesurer, la reporter, la comparer. Par le théorème de Pythagore, son carré vaut 12+12=21^2 + 1^2 = 2, donc elle mesure 2\sqrt{2}.

Maintenant, écris cette longueur sous forme de fraction.

Tu peux chercher longtemps. 75\dfrac{7}{5} donne 1,41{,}4, c'est un peu court. 141100\dfrac{141}{100} donne 1,411{,}41, c'est encore un peu court. 14141000\dfrac{1414}{1000} s'approche davantage… mais aucune de ces fractions ne tombe exactement juste.

Et ce n'est pas une question de patience : on peut démontrer qu'aucune fraction ne convient, quelle qu'elle soit. Cette découverte a bouleversé les mathématiciens grecs, qui étaient persuadés que tout nombre était un rapport d'entiers.

Il existe donc des longueurs parfaitement constructibles à la règle et au compas que aucune fraction ne peut écrire. On les appelle des nombres irrationnels, et ils sont bien plus nombreux que les autres.

Ce chapitre met de l'ordre dans tout cela : quels nombres s'écrivent en fraction, lesquels non, comment ils s'emboîtent les uns dans les autres, et comment décrire d'un seul coup tous les nombres compris entre deux bornes.

📖 Vocabulaire clé

Entiers naturels N\mathbb{N} : Ensemble {0;1;2;3;…}\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\} : les nombres entiers positifs ou nuls.
Entiers relatifs Z\mathbb{Z} : Ensemble {…;−2;−1;0;1;2;…}\{\ldots ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots\} : les entiers avec leur signe.
Rationnels Q\mathbb{Q} : Ensemble des nombres qui s'écrivent pq\dfrac{p}{q} avec p∈Zp \in \mathbb{Z} et q∈Z∗q \in \mathbb{Z}^*. Inclut tous les décimaux périodiques.
Irrationnel : Réel qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Exemples : 2\sqrt{2}, π\pi, 3\sqrt{3}. Leur écriture décimale est infinie et non périodique.

📋 Lire et écrire un intervalle

  1. 1 Crochet fermé [[ ou ]] : la borne est incluse. Exemple : [3;7][3 ; 7] signifie 3≤x≤73 \le x \le 7 (les bornes 33 et 77 font partie de l'ensemble).
  2. 2 Crochet ouvert ]] ou [[ : la borne est exclue. Exemple : ]2;5[]2 ; 5[ signifie 2<x<52 < x < 5 (ni 22 ni 55 ne font partie de l'ensemble).
  3. 3 Bornes infinies : toujours utiliser un crochet ouvert pour +∞+\infty ou −∞-\infty. Exemple : [3;+∞[[3 ; +\infty[ signifie x≥3x \ge 3.
  4. 4 Intersection ∩\cap = valeurs communes ; union ∪\cup = toutes les valeurs. Exemple : [1;5]∩[3;8]=[3;5][1 ; 5] \cap [3 ; 8] = [3 ; 5] ; [1;5]∪[3;8]=[1;8][1 ; 5] \cup [3 ; 8] = [1 ; 8].

✅ Exemple résolu

Énoncé : Classer les nombres suivants dans les ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q}, irrationnel : 77 ; −3-3 ; 25\dfrac{2}{5} ; 5\sqrt{5}.
Démarche :
  1. 7∈N⊂Z⊂Q⊂R7 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : c'est un entier naturel.
  2. −3∈Z⊂Q⊂R-3 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : entier relatif négatif (pas dans N\mathbb{N}).
  3. 25=0,4∈Q\dfrac{2}{5} = 0{,}4 \in \mathbb{Q} : rationnel (quotient de deux entiers).
  4. 5\sqrt{5} est irrationnel : 55 n'est pas un carré parfait, donc 5\sqrt{5} ne s'écrit pas sous forme p/qp/q.
Réponse : 7∈N7 \in \mathbb{N} ; −3∈Z-3 \in \mathbb{Z} ; 25∈Q\frac{2}{5} \in \mathbb{Q} ; 5∉Q\sqrt{5} \notin \mathbb{Q} (irrationnel).

📐 Formules clés

[a;b]={x∈R∣a≤x≤b}[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}
]a;b[={x∈R∣a<x<b}]a;b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}
[a;+∞[={x∈R∣x≥a}[a;+\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}

🎨 Illustrations

Ensembles de nombres emboîtés
Quatre exemples du cours placés dans l'ensemble le plus restreint

Reprend l'exemple du cours : 7∈N7 \in \mathbb{N}, −3∈Z-3 \in \mathbb{Z}, 25∈Q\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}, 5\sqrt{5} irrationnel (dans R\mathbb{R} seulement), chacun placé dans l'anneau le plus intérieur possible.

Cercles emboites des ensembles de nombres Quatre cercles concentriques centres au meme point, du plus petit au plus grand : N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), Q (rationnels), R (reels). Le nombre 7 est place dans le cercle N, le nombre moins 3 entre les cercles N et Z, la fraction 2 cinquiemes entre les cercles Z et Q, et racine de 5 entre les cercles Q et R, chacun dans l'anneau le plus restreint possible. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ℝ ℚ ℤ ℕ 7 -3 2/5 √5
  • 1 7∈N7 \in \mathbb{N} : entier naturel, c'est l'ensemble le plus restreint possible pour ce nombre.
  • 2 −3∈Z-3 \in \mathbb{Z} mais −3∉N-3 \notin \mathbb{N} (les entiers naturels sont positifs ou nuls).
  • 3 25∈Q\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q} mais 25∉Z\dfrac{2}{5} \notin \mathbb{Z} (ce n'est pas un entier).
  • 4 5\sqrt{5} est irrationnel : il appartient à R\mathbb{R} mais pas à Q\mathbb{Q}, comme le rappelle l'exemple du cours.
Ce qu'il faut lire : Chaque nombre est placé dans l'anneau le plus intérieur possible : c'est cet anneau qui donne son ensemble de référence le plus précis.
Reprend exactement l'exemple du cours : 77, −3-3, 25\dfrac{2}{5}, 5\sqrt{5}, chacun classé dans N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} ou R\mathbb{R} (irrationnel).
Un seul nombre de différence
Le crochet se retourne pour un point

Les deux intervalles ci-dessous occupent la même portion de droite. Ils ne diffèrent que par leurs deux extrémités : incluses en haut, exclues en bas.

C'est peu, et c'est tout. Le rond plein dit « ce nombre en fait partie », le rond vide dit « il s'arrête juste avant ».

Un intervalle ferme compare au meme intervalle ouvert Deux droites graduees de zero a huit, de meme echelle et de meme origine. Sur celle du haut, un segment epais joint deux et cinq, et ses deux extremites portent un rond plein : les bornes font partie de l'intervalle, qui se note crochet fermant deux point-virgule cinq crochet fermant. Sur celle du bas, le segment occupe exactement la meme portion, mais ses extremites portent un rond vide : les bornes sont exclues, et l'intervalle se note crochet ouvrant deux point-virgule cinq crochet ouvrant. La seule difference entre les deux dessins est le remplissage des deux ronds. bornes incluses 0 2 5 8 [2 ; 5] bornes exclues 0 2 5 8 ]2 ; 5[
  • 1 Le nombre 22 appartient à [2 ; 5][2\,;\,5], mais pas à ]2 ; 5[]2\,;\,5[. C'est la seule différence entre les deux intervalles, avec celle qui porte sur 55.
  • 2 Retiens le crochet par son orientation : tourné vers l'intérieur, il retient la borne ; tourné vers l'extérieur, il la laisse dehors.
  • 3 Du côté de +∞+\infty ou de −∞-\infty, le crochet est toujours ouvert. L'infini n'est pas un nombre : il n'y a rien à inclure. On n'écrit donc jamais [2 ; +∞][2\,;\,+\infty].
Ce qu'il faut lire : Demande-toi chaque fois : « le nombre écrit au bord fait-il partie de l'ensemble ? »

Si oui, le rond est plein et le crochet se ferme. Si non, le rond est vide et le crochet s'ouvre. Un énoncé qui dit « strictement supérieur à 22 » exclut 22 : rond vide. « Au moins 22 » l'inclut : rond plein.
Les intervalles [2 ; 5][2\,;\,5] et ]2 ; 5[]2\,;\,5[ couvrent la même portion de droite et ne diffèrent que par leurs deux bornes.
Deux opérations, deux résultats
Ce qui est commun, ce qui est réuni

Avec I=[1 ; 6]I = [1\,;\,6] et J=[4 ; 9]J = [4\,;\,9], deux questions différentes se posent.

« Dans les deux à la fois ? » donne l'intersection, qui est plus petite que chacun. « Dans l'un ou l'autre ? » donne la réunion, qui est plus grande que chacun.

Intersection et reunion de deux intervalles Quatre droites graduees de zero a dix, toutes de meme echelle et de meme origine. La premiere porte l'intervalle allant de un a six. La deuxieme porte l'intervalle allant de quatre a neuf. La troisieme porte leur intersection, qui va de quatre a six : c'est la portion ou les deux premiers se chevauchent, et elle est plus courte que chacun d'eux. La quatrieme porte leur reunion, qui va de un a neuf, et elle est plus longue que chacun d'eux. I 1 6 J 4 9 I ∩ J [4 ; 6] dans les deux I ∪ J [1 ; 9] dans l'un ou l'autre
  • 1 L'intersection I∩J=[4 ; 6]I \cap J = [4\,;\,6] se lit sur les bornes : elle commence au plus grand des deux débuts (max⁡(1 ; 4)=4\max(1\,;\,4) = 4) et finit au plus petit des deux fins (min⁡(6 ; 9)=6\min(6\,;\,9) = 6).
  • 2 La réunion I∪J=[1 ; 9]I \cup J = [1\,;\,9] fait l'inverse : elle commence au plus petit début et finit à la plus grande fin. Elle ne se simplifie ainsi que parce que les deux intervalles se chevauchent.
  • 3 Attention : si les intervalles étaient disjoints, comme [2 ; 6][2\,;\,6] et [8 ; 10][8\,;\,10], leur réunion ne serait pas un intervalle et devrait s'écrire avec le symbole ∪\cup tel quel, sans simplification.
Ce qu'il faut lire : Un moyen de ne plus les confondre : compare les longueurs.

L'intersection est toujours plus courte que chacun des deux intervalles, puisqu'elle exige les deux conditions en même temps. La réunion est toujours plus longue, puisqu'il suffit d'une seule. Sur le dessin, le troisième trait est le plus court et le quatrième le plus long : si tu obtiens l'inverse, tu as échangé les deux symboles.
Avec I=[1 ; 6]I = [1\,;\,6] et J=[4 ; 9]J = [4\,;\,9] : I∩J=[4 ; 6]I \cap J = [4\,;\,6] et I∪J=[1 ; 9]I \cup J = [1\,;\,9].

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne jamais écrire [+∞][+\infty] ou [−∞][-\infty] : l'infini n'est pas un nombre, la borne est toujours ouverte de ce côté.

💡 À retenir

  • Les ensembles s'emboîtent : N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
  • Un décimal périodique est toujours rationnel ; un irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique.
  • Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue ; l'infini est toujours exclu.
  • ∩\cap donne les valeurs communes, ∪\cup donne toutes les valeurs des deux intervalles.
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