🧮

Calcul algébrique

Développer, factoriser, identités remarquables

Voici deux écritures du même objet :

$A = (x - 3)(x + 5)$ et $A = x^2 + 2x - 15$ .

Développe la première : tu retrouves exactement la seconde. Ce sont donc deux façons d'écrire la même expression, qui donnent la même valeur pour n'importe quel $x$ .

Maintenant, deux questions.

Première question : pour quelles valeurs de $x$ cette expression vaut-elle $0$ ? Sur la forme du haut, tu réponds presque sans calculer : un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est, donc $x = 3$ ou $x = -5$ . Sur la forme du bas, tu es bloqué.

Seconde question : combien vaut cette expression pour $x = 0$ ? Sur la forme du bas, tu lis la réponse directement : $-15$ . Sur la forme du haut, il faut calculer $(-3) \times 5$ .

Aucune des deux écritures n'est meilleure que l'autre. Ce qui décide, c'est la question posée.

C'est tout l'enjeu de ce chapitre, et c'est là que se joue l'erreur la plus fréquente de l'année : on ne développe pas parce qu'on sait développer, on choisit la forme qui répond à la question. Développer et factoriser sont deux chemins opposés entre ces deux écritures, et savoir lequel prendre vaut mieux que savoir les parcourir.

📖 Vocabulaire clé

Développer : Transformer un produit en somme en supprimant les parenthèses :

a(b+c) = ab + ac

Factoriser : Transformer une somme en produit en mettant en facteur un terme commun ou en reconnaissant une identité remarquable.

Identité remarquable : Formule de calcul toujours vraie, comme

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

, qui accélère les développements et factorisations.

Distributivité : Propriété :

a(b+c) = ab + ac

. C'est la base du développement.

📋 Choisir entre développer et factoriser

1 Développer : appliquer la distributivité $a(b+c)=ab+ac$ ou les identités remarquables. Exemple : $3(2x+5) = 6x + 15$ .
2 Trois identités remarquables : $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ , $(a+b)(a-b)$ . Exemple : $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$ (ne pas oublier le $2ab = 8x$ ).
3 Factoriser : repérer un facteur commun ou reconnaître une identité dans l'expression développée. Exemple : $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ (différence de deux carrés).
4 Vérification : redévelopper le résultat factorisé. Exemple : $(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$ ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Factoriser l'expression

A = 4x^2 - 20x + 25

Démarche :

On repère que $4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$ .
On vérifie le double produit : $2 \times 2x \times 5 = 20x$ ✓ — c'est bien l'identité $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Donc $A = (2x - 5)^2$ .

Réponse :

4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2

📐 Formules clés

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

🎨 Illustrations

Identité remarquable —

(a+b)^2

Aire du carré de côté (x + 4) découpée en 4 régions

Preuve géométrique de l'exemple du cours (méthode, étape 2) : $(x+4)^2 = x^2+8x+16$ , obtenue en sommant les 4 aires d'un carré de côté $x+4$ .

1 Le carré de côté $(x+4)$ se découpe en 4 aires : le grand carré $x^2$ , les deux rectangles égaux $4x$ , et le petit carré $16$ .
2 La somme des 4 aires redonne le développement : $x^2 + 4x + 4x + 16 = x^2 + 8x + 16$ , soit l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=x$ et $b=4$ .
3 Ce découpage est une preuve géométrique valable quels que soient $a$ et $b$ — le schéma n'est pas à l'échelle puisque $x$ est une variable.

Ce qu'il faut lire : Repère les deux rectangles du milieu (aire

4x

chacun) : ensemble, ils forment le terme croisé

2ab = 8x

de la formule.

Décomposition géométrique de

(x+4)^2

reprenant l'exemple du cours (méthode, étape 2) :

x^2 + 8x + 16

Pourquoi le signe moins compte

Une somme de carrés ne touche jamais l'axe

L'identité $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ n'a pas de jumelle pour la somme, et ce n'est pas un oubli du programme.

Factoriser en deux facteurs du premier degré, c'est exhiber deux valeurs qui annulent l'expression. Regarde les deux courbes : celle de $x^2 - 9$ coupe l'axe en $-3$ et $3$ — ses deux racines. Celle de $x^2 + 9$ ne le touche nulle part.

1 $x^2 - 9$ s'annule pour $x = -3$ et $x = 3$ . Ces deux racines sont exactement ce que la factorisation $(x+3)(x-3)$ met en évidence : un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est.
2 $x^2 + 9$ est une somme de deux quantités positives ou nulles, dont l'une vaut toujours $9$ . Elle est donc toujours supérieure ou égale à $9$ , et ne s'annule jamais.
3 Si elle se factorisait en $(x+3)(x-3)$ , elle s'annulerait en $3$ . Or $3^2 + 9 = 18$ , et non $0$ . La factorisation proposée est donc fausse, et le contre-exemple tient en une ligne de calcul.

Ce qu'il faut lire : Le réflexe à prendre tient en un geste : après toute factorisation, redéveloppe.

(x+3)(x-3)

redonne

x^2 - 9

, pas

x^2 + 9

. Ce chapitre est le seul de l'année où tu peux vérifier toi-même l'intégralité de ton travail, sans attendre la correction — ce serait dommage de t'en priver.

x^2 - 9

s'annule en

-3

3

;

x^2 + 9

reste toujours supérieure à

9

et ne se factorise pas.

Choisir sa route avant de partir

Développer, ici, mène à une impasse

Pour résoudre $(2x-3)(x+5) = 0$ , deux chemins s'offrent à toi. Ils partent du même endroit et n'arrivent pas au même.

La forme factorisée est déjà la réponse : il ne reste qu'à la lire. La développer, c'est détruire l'information dont tu as besoin.

1 Les deux écritures $(2x-3)(x+5)$ et $2x^2 + 7x - 15$ désignent le même nombre pour chaque valeur de $x$ . Aucune des deux n'est fausse.
2 Elles ne rendent pourtant pas le même service. La forme factorisée affiche les racines ; la forme développée affiche les coefficients. Tu choisis celle qui répond à ta question.
3 Vérifie : $2 \times 1{,}5 - 3 = 0$ , donc $x = 1{,}5$ annule bien le premier facteur. Et $-5 + 5 = 0$ , donc $x = -5$ annule le second. Les deux solutions se lisent sans aucun calcul.

Ce qu'il faut lire : Avant de développer quoi que ce soit, pose-toi la question : qu'est-ce que je cherche ?

Une racine ? La forme factorisée y répond directement. Une valeur en un point, un coefficient, une comparaison ? Développe. On ne développe jamais pour développer, mais pour répondre à une question précise — et ici, développer efface justement la réponse.

La même équation par deux voies : factorisée, elle se résout en trois lignes ; développée, elle sort du programme de seconde.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne jamais écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ : le terme croisé $2ab$ est indispensable !

💡 À retenir

Développer = supprimer les parenthèses (produit → somme) ; factoriser = créer des parenthèses (somme → produit).
Les trois identités remarquables sont les outils centraux : les reconnaître dans les deux sens.
Pour résoudre $f(x) = 0$ , la forme factorisée est indispensable (produit nul ⟺ un facteur nul).
Toujours vérifier en redéveloppant le résultat factorisé pour retrouver l'expression initiale.

← Ensembles de nombres et intervalles 4 / 36 → Équations et inéquations du 1er degré