🧮

Calcul algébrique

Développer, factoriser, identités remarquables

Le calcul algébrique permet de transformer une expression en une forme équivalente — plus simple ou plus adaptée au problème.

Développer supprime les parenthèses et étale tous les termes ; factoriser fait l'inverse en regroupant sous un produit.

Choisir entre les deux dépend du contexte : pour résoudre $f(x) = 0$ , la forme factorisée permet de trouver directement les racines ( $f(x) = 0 \Leftrightarrow$ chaque facteur $= 0$ ) ; pour comparer ou simplifier, la forme développée est souvent plus lisible.

La vérification consiste à redévelopper le résultat factorisé pour retrouver la forme initiale — indispensable pour éviter les erreurs de signe.

📖 Vocabulaire clé

Développer : Transformer un produit en somme en supprimant les parenthèses :

a(b+c) = ab + ac

Factoriser : Transformer une somme en produit en mettant en facteur un terme commun ou en reconnaissant une identité remarquable.

Identité remarquable : Formule de calcul toujours vraie, comme

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

, qui accélère les développements et factorisations.

Distributivité : Propriété :

a(b+c) = ab + ac

. C'est la base du développement.

📋 Choisir entre développer et factoriser

1 Développer : appliquer la distributivité $a(b+c)=ab+ac$ ou les identités remarquables. Exemple : $3(2x+5) = 6x + 15$ .
2 Trois identités remarquables : $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ , $(a+b)(a-b)$ . Exemple : $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$ (ne pas oublier le $2ab = 8x$ ).
3 Factoriser : repérer un facteur commun ou reconnaître une identité dans l'expression développée. Exemple : $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ (différence de deux carrés).
4 Vérification : redévelopper le résultat factorisé. Exemple : $(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$ ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Factoriser l'expression

A = 4x^2 - 20x + 25

Démarche :

On repère que $4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$ .
On vérifie le double produit : $2 \times 2x \times 5 = 20x$ ✓ — c'est bien l'identité $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Donc $A = (2x - 5)^2$ .

Réponse :

4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2

📐 Formules clés

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

🎨 Illustration

Identité remarquable —

(a+b)^2

Aire du carré de côté (x + 4) découpée en 4 régions

Preuve géométrique de l'exemple du cours (méthode, étape 2) : $(x+4)^2 = x^2+8x+16$ , obtenue en sommant les 4 aires d'un carré de côté $x+4$ .

1 Le carré de côté $(x+4)$ se découpe en 4 aires : le grand carré $x^2$ , les deux rectangles égaux $4x$ , et le petit carré $16$ .
2 La somme des 4 aires redonne le développement : $x^2 + 4x + 4x + 16 = x^2 + 8x + 16$ , soit l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=x$ et $b=4$ .
3 Ce découpage est une preuve géométrique valable quels que soient $a$ et $b$ — le schéma n'est pas à l'échelle puisque $x$ est une variable.

Ce qu'il faut lire : Repère les deux rectangles du milieu (aire

4x

chacun) : ensemble, ils forment le terme croisé

2ab = 8x

de la formule.

Décomposition géométrique de

(x+4)^2

reprenant l'exemple du cours (méthode, étape 2) :

x^2 + 8x + 16

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne jamais écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ : le terme croisé $2ab$ est indispensable !

💡 À retenir

Développer = supprimer les parenthèses (produit → somme) ; factoriser = créer des parenthèses (somme → produit).
Les trois identités remarquables sont les outils centraux : les reconnaître dans les deux sens.
Pour résoudre $f(x) = 0$ , la forme factorisée est indispensable (produit nul ⟺ un facteur nul).
Toujours vérifier en redéveloppant le résultat factorisé pour retrouver l'expression initiale.

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