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Équations et inéquations du 1er degré

Résoudre et représenter les solutions

Dans un ascenseur, une plaque annonce une charge maximale de 525525 kg. Chaque personne pèse en moyenne 7575 kg.

Combien de personnes peuvent monter ?

Tu trouves sept sans difficulté, parce que 7×75=5257 \times 75 = 525. Mais regarde ce que tu viens vraiment de répondre : sept personnes ou moins. Six conviennent aussi, et cinq, et quatre. La plaque n'annonce pas un nombre à atteindre, elle annonce une limite à ne pas dépasser.

C'est là que ce chapitre se sépare de tout ce que tu as fait jusqu'ici. Une équation demande quel nombre rend une égalité vraie, et elle a en général une seule réponse. Une inéquation demande quels nombres respectent une contrainte, et elle en a presque toujours une infinité.

La réponse change alors de nature : ce n'est plus un nombre, c'est un ensemble de nombres. Il faut donc une écriture capable de désigner d'un seul coup tous les nombres inférieurs ou égaux à sept — c'est ce que fait la notation en intervalle.

Tu sais déjà résoudre une équation depuis la quatrième, et les techniques sont les mêmes ici. Une seule règle est nouvelle, et elle surprend tout le monde la première fois : multiplier ou diviser par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité. Tu verras d'où cela vient, et pourquoi ce n'est pas une bizarrerie.

📖 Vocabulaire clé

Équation du 1er degré : Relation ax+b=0ax + b = 0 où a≠0a \neq 0. Elle admet une unique solution : x=−b/ax = -b/a.
Inéquation : Relation d'ordre portant sur une inconnue (ax+b<0ax + b < 0, ≥\geq, etc.). L'ensemble des solutions est un intervalle.
Ensemble solution : L'ensemble de toutes les valeurs de xx qui vérifient l'équation ou l'inéquation. Noté sous forme d'intervalle pour les inéquations.
Valeur test : Valeur numérique substituée dans l'inéquation pour vérifier que la solution est correcte.

📋 Résoudre une inéquation

  1. 1 Isoler l'inconnue en appliquant les mêmes opérations des deux côtés. Exemple : 3x+7>13x + 7 > 1 → 3x>−63x > -6.
  2. 2 Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Exemple : −2x>6-2x > 6 → on divise par −2-2 et on inverse : x<−3x < -3.
  3. 3 Exprimer la solution en notation intervalle. Exemple : x<−3x < -3 s'écrit ]−∞;−3[]-\infty ; -3[.
  4. 4 Vérifier avec une valeur test. Exemple : Prendre x=−5x = -5 (dans ]−∞;−3[]-\infty ; -3[) : −2×(−5)=10>6-2 \times (-5) = 10 > 6 ✓.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'inéquation −5x+3≥18-5x + 3 \geq 18.
Démarche :
  1. Isoler le terme en xx : −5x≥18−3-5x \geq 18 - 3, soit −5x≥15-5x \geq 15.
  2. Diviser par −5-5 (négatif !) et inverser le sens : x≤15−5=−3x \leq \dfrac{15}{-5} = -3.
  3. Ensemble solution : ]−∞;−3]]-\infty ; -3].
  4. Vérification : pour x=−4x = -4 (dans l'intervalle) : −5×(−4)+3=23≥18-5 \times (-4) + 3 = 23 \geq 18 ✓.
Réponse : S=]−∞;−3]S = ]-\infty ; -3].

📐 Formules clés

ax+b=0⇒x=−baax + b = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a} (si a≠0a \ne 0)
Si a>0a > 0 : ax<c⇒x<caax < c \Rightarrow x < \dfrac{c}{a}
Si a<0a < 0 : ax<c⇒x>caax < c \Rightarrow x > \dfrac{c}{a} (inversion !)

🎨 Illustrations

Droite graduée
L'ensemble solution de −5x + 3 ≥ 18

La solution de l'inéquation résolue dans l'exemple du cours (x≤−3x \leq -3) représentée sur une droite graduée : cercle rempli en −3-3 (borne incluse) et zone hachurée vers −∞-\infty.

Droite graduee : ensemble solution de l'inequation Droite graduee de -6 a 0, avec un cercle rempli au point -3 car l'inegalite est large, et une portion hachuree partant de -3 vers la gauche jusqu'a moins l'infini, representant l'ensemble des solutions x inferieur ou egal a -3. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 x ≤ -3 -∞ x
  • 1 Le cercle est fermé (rempli) en −3-3 car l'inégalité est large (≥\geq) : −3-3 lui-même fait partie de la solution.
  • 2 Les hachures et la flèche s'étendent vers la gauche (−∞-\infty) car xx doit être inférieur ou égal à −3-3.
  • 3 Notation : x∈ ]−∞ ; −3]x \in\, ]-\infty\,;\,-3] — le crochet est tourné vers l'intérieur du côté de −3-3 car la borne est incluse.
Ce qu'il faut lire : Repère le cercle rempli en −3-3 : il signale une borne incluse. La zone hachurée à sa gauche représente toutes les valeurs solutions.
Ensemble solution de l'inéquation −5x+3≥18-5x + 3 \geq 18 résolue dans l'exemple du cours, soit x∈ ]−∞ ; −3]x \in\, ]-\infty\,;\,-3].
Le piège du chapitre
Diviser par un négatif retourne l'inégalité

Les deux droites ci-dessous sont identiques : même échelle, même origine, mêmes graduations. Seul change le côté colorié.

En haut, les nombres qui vérifient −2x<6-2x < 6. En bas, ce que l'on obtient en divisant par −2-2 sans retourner le symbole. Les deux zones n'ont aucun point commun : l'une est exactement le contraire de l'autre.

Deux droites graduees identiques, deux zones opposees Deux droites graduees sont superposees, avec la meme echelle et la meme origine, graduees de moins cinq a deux. Sur la droite du haut, la zone coloriee part de moins trois et s'etend vers la droite : ce sont les solutions de moins deux x inferieur a six, c'est-a-dire x superieur a moins trois. Sur la droite du bas, la zone coloriee part de moins trois et s'etend vers la gauche : c'est le resultat que l'on obtient en divisant par moins deux sans retourner le symbole. Les deux zones n'ont aucun point commun et sont exactement complementaires l'une de l'autre. le bon calcul -5 -3 0 2 x > -3 si on oublie de retourner le symbole -5 -3 0 2 x < -3
  • 1 Teste x=0x = 0 dans −2x<6-2x < 6 : on obtient 0<60 < 6, qui est vrai. Donc 00 est bien une solution — et 00 se trouve dans la zone du haut, pas dans celle du bas.
  • 2 Ce test d'une seule valeur suffit à trancher entre les deux dessins, sans refaire le calcul. Prends l'habitude de le faire : il coûte trois secondes.
  • 3 La règle, une fois pour toutes : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif retourne le symbole. Additionner ou soustraire ne le retourne jamais.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur 00 et regarde les deux droites. En haut, 00 est dans la zone coloriée ; en bas, il n'y est pas. Comme x=0x = 0 vérifie bien l'inéquation de départ, c'est le dessin du haut qui dit vrai. Tu viens de vérifier ton résultat sans rien recalculer.
L'inéquation −2x<6-2x < 6 a pour solutions x>−3x > -3 : diviser par −2-2 retourne le symbole.
Deux objets, pas un
La borne est un nombre, la solution est un intervalle

Beaucoup de copies s'arrêtent à « x=4x = 4 » et perdent tous les points de la question.

Or 44 n'est pas la réponse : c'est l'endroit où la réponse commence. La solution, elle, contient 44, mais aussi 4,14{,}1, 77, 250250 — une infinité de nombres.

Une borne isolee comparee a un intervalle entier Deux droites graduees de zero a sept, de meme echelle et de meme origine. Sur la droite du haut, un seul point est marque, a l'abscisse quatre : c'est la borne. Sur la droite du bas, un trait epais part du meme point quatre et s'etend vers la droite jusqu'au bord du dessin, avec une fleche : c'est l'ensemble des solutions. Trois valeurs d'exemple, quatre virgule un, cinq et sept, sont marquees sur ce trait pour montrer qu'elles en font toutes partie. la borne : un seul nombre 0 2 4 6 la solution : tous ces nombres 0 2 4 6 4,1 ; 5 ; 7 ...
  • 1 La borne se trouve en résolvant x−4=0x - 4 = 0. C'est une étape du travail, pas sa conclusion.
  • 2 L'ensemble solution s'écrit S=[4 ; +∞[S = [4\,;\,+\infty[. Le crochet tourné vers l'intérieur en 44 dit que la borne est incluse ; celui du côté de +∞+\infty est toujours tourné vers l'extérieur, car l'infini n'est pas un nombre qu'on pourrait inclure.
  • 3 Une bonne habitude de relecture : si ta réponse à une inéquation tient en un seul nombre, elle est incomplète.
Ce qu'il faut lire : Compte les points marqués sur chaque droite. En haut, il y en a un. En bas, il y en a trois visibles — et le trait continue au-delà du bord de la figure, car les solutions ne s'arrêtent jamais. C'est cette différence de nature que la notation [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[ enregistre.
Pour x−4≥0x - 4 \geq 0, la borne vaut 44 et l'ensemble solution est [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[.
Traduire un énoncé
« Au plus » se lit sur un budget, pas dans une règle

Un club demande 2222 € d'inscription, puis 77 € par séance. Tu disposes de 9090 €.

La dépense s'écrit C=7s+22C = 7s + 22, et « ne pas dépasser le budget » se traduit par 7s+22⩽907s + 22 \leqslant 90. Le dessin montre pourquoi c'est bien ce symbole-là.

Deux depenses comparees a un meme budget Deux barres horizontales partent de la meme origine et sont tracees a la meme echelle, ou chaque euro occupe la meme longueur. Chaque barre commence par une portion sombre representant les vingt-deux euros d'inscription, suivie de portions claires representant les seances a sept euros. La barre du haut compte neuf seances et s'arrete a quatre-vingt-cinq euros, avant le trait vertical du budget place a quatre-vingt-dix euros. La barre du bas compte dix seances et atteint quatre-vingt-douze euros : elle depasse le trait du budget de deux euros. budget : 90 € 9 séances : 85 € 22 € 9 × 7 = 63 € 10 séances : 92 € 22 € 10 × 7 = 70 € +2 €
  • 1 « Au plus 9090 € » signifie « 9090 € ou moins », donc 7s+22⩽907s + 22 \leqslant 90. Le symbole ⩽\leqslant autorise l'égalité : dépenser exactement 9090 € resterait permis.
  • 2 La résolution donne s⩽687s \leqslant \dfrac{68}{7}, c'est-à-dire s⩽9,71s \leqslant 9{,}71 environ. Mais une séance ne se découpe pas : la réponse est 99 séances, et non 9,719{,}71.
  • 3 C'est pour cela qu'on revient toujours à l'énoncé après le calcul. Ici, 99 séances coûtent 8585 € et passent ; 1010 séances coûtent 9292 € et ne passent pas. Le dessin le confirme sans aucune formule.
Ce qu'il faut lire : Regarde où chaque barre s'arrête par rapport au trait vertical. Celle du haut reste en deçà : le budget tient. Celle du bas le franchit de deux euros à peine — et deux euros suffisent à rendre la dépense impossible. C'est exactement ce que dit le symbole ⩽\leqslant, et c'est pourquoi « au plus » ne se traduit jamais par ⩾\geqslant.
Inscription de 2222 € et séances à 77 € : avec 9090 €, on peut suivre au plus 99 séances.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Diviser par −2-2 transforme << en >>.

✅ La suggestion

C'est l'erreur la plus fréquente dans les inéquations !

💡 À retenir

  • Équation du 1er degré : isoler xx par opérations réversibles ; une unique solution.
  • Inéquation : même méthode, mais inverser le sens si on multiplie/divise par un négatif.
  • La solution d'une inéquation est un intervalle (souvent infini) à exprimer en notation correcte.
  • Toujours vérifier avec une valeur test appartenant à l'intervalle trouvé.
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