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Équations et inéquations du 1er degré

Résoudre et représenter les solutions

Une équation du premier degré établit une condition d'égalité sur une inconnue $x$ : on cherche la valeur qui la rend vraie.

Une inéquation remplace l'égalité par une relation d'ordre ( $<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ ) — sa solution est généralement un intervalle infini, pas une valeur unique.

Les deux se résolvent par les mêmes opérations élémentaires (ajouter, soustraire, multiplier, diviser des deux côtés). Il existe une seule règle d'or propre aux inéquations : toute multiplication ou division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

En physique et en économie, les inéquations décrivent naturellement des contraintes concrètes : une distance qui doit rester positive, un seuil de rentabilité à atteindre, une condition de validité à respecter.

Exprimer les solutions sous forme d'intervalle ( $]-\infty ; 2[$ , $[3;+\infty[$ …) permet une lecture immédiate de l'ensemble solution.

📖 Vocabulaire clé

Équation du 1er degré : Relation

ax + b = 0

où

a \neq 0

. Elle admet une unique solution :

x = -b/a

Inéquation : Relation d'ordre portant sur une inconnue (

ax + b < 0

\geq

, etc.). L'ensemble des solutions est un intervalle.

Ensemble solution : L'ensemble de toutes les valeurs de

x

qui vérifient l'équation ou l'inéquation. Noté sous forme d'intervalle pour les inéquations.

Valeur test : Valeur numérique substituée dans l'inéquation pour vérifier que la solution est correcte.

📋 Résoudre une inéquation

1 Isoler l'inconnue en appliquant les mêmes opérations des deux côtés. Exemple : $3x + 7 > 1$ → $3x > -6$ .
2 Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Exemple : $-2x > 6$ → on divise par $-2$ et on inverse : $x < -3$ .
3 Exprimer la solution en notation intervalle. Exemple : $x < -3$ s'écrit $]-\infty ; -3[$ .
4 Vérifier avec une valeur test. Exemple : Prendre $x = -5$ (dans $]-\infty ; -3[$ ) : $-2 \times (-5) = 10 > 6$ ✓.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'inéquation

-5x + 3 \geq 18

Démarche :

Isoler le terme en $x$ : $-5x \geq 18 - 3$ , soit $-5x \geq 15$ .
Diviser par $-5$ (négatif !) et inverser le sens : $x \leq \dfrac{15}{-5} = -3$ .
Ensemble solution : $]-\infty ; -3]$ .
Vérification : pour $x = -4$ (dans l'intervalle) : $-5 \times (-4) + 3 = 23 \geq 18$ ✓.

Réponse :

S = ]-\infty ; -3]

📐 Formules clés

ax + b = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a}

(si

a \ne 0

)

a > 0

ax < c \Rightarrow x < \dfrac{c}{a}

a < 0

ax < c \Rightarrow x > \dfrac{c}{a}

(inversion !)

🎨 Illustration

Droite graduée

L'ensemble solution de −5x + 3 ≥ 18

La solution de l'inéquation résolue dans l'exemple du cours ( $x \leq -3$ ) représentée sur une droite graduée : cercle rempli en $-3$ (borne incluse) et zone hachurée vers $-\infty$ .

1 Le cercle est fermé (rempli) en $-3$ car l'inégalité est large ( $\geq$ ) : $-3$ lui-même fait partie de la solution.
2 Les hachures et la flèche s'étendent vers la gauche ( $-\infty$ ) car $x$ doit être inférieur ou égal à $-3$ .
3 Notation : $x \in\, ]-\infty\,;\,-3]$ — le crochet est tourné vers l'intérieur du côté de $-3$ car la borne est incluse.

Ce qu'il faut lire : Repère le cercle rempli en

-3

: il signale une borne incluse. La zone hachurée à sa gauche représente toutes les valeurs solutions.

Ensemble solution de l'inéquation

-5x + 3 \geq 18

résolue dans l'exemple du cours, soit

x \in\, ]-\infty\,;\,-3]

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Diviser par $-2$ transforme $<$ en $>$ .

✅ La suggestion

C'est l'erreur la plus fréquente dans les inéquations !

💡 À retenir

Équation du 1er degré : isoler $x$ par opérations réversibles ; une unique solution.
Inéquation : même méthode, mais inverser le sens si on multiplie/divise par un négatif.
La solution d'une inéquation est un intervalle (souvent infini) à exprimer en notation correcte.
Toujours vérifier avec une valeur test appartenant à l'intervalle trouvé.

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