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Généralités sur les fonctions

Définition, courbe, variations, extremums

Une fonction est une règle qui associe à chaque $x$ de son domaine de définition une image unique $f(x)$ . Son graphe est la courbe des points $(x ; f(x))$ dans le plan — la courbe ne peut pas se « dédoubler » verticalement.

La notion de variation décrit l'évolution de $f(x)$ quand $x$ augmente : croissante (graphe monte), décroissante (graphe descend). Un extremum est un point où la fonction change de sens.

Lire un graphe nécessite de distinguer clairement abscisse ( $x$ , entrée) et ordonnée ( $f(x)$ , sortie) : image → lecture verticale, antécédent → lecture horizontale.

📖 Vocabulaire clé

Fonction : Règle qui associe à chaque valeur

x

de son domaine de définition une unique image

f(x)

Image : La valeur

f(x)

obtenue en appliquant la fonction à

x

. Se lit verticalement sur le graphe.

Antécédent : Valeur

x

telle que

f(x) = y

. Un antécédent peut ne pas exister, ou il peut y en avoir plusieurs.

Extremum : Maximum ou minimum de

f

sur un intervalle. C'est le point où la fonction atteint sa plus grande (ou plus petite) valeur.

📋 Lire une courbe

1 Image : partir de $x$ sur l'axe horizontal, rejoindre la courbe, lire $y = f(x)$ . Exemple : Si la courbe passe par $(3 ; 7)$ , alors $f(3) = 7$ : l'image de $3$ est $7$ .
2 Antécédent : partir de $y$ sur l'axe vertical, rejoindre la courbe, lire $x$ . Exemple : Si la courbe coupe la droite $y = 5$ en $x = 2$ et $x = 6$ , alors $2$ et $6$ sont les antécédents de $5$ .
3 Maximum/minimum : chercher le sommet de la courbe sur l'intervalle donné. Exemple : Si le point le plus haut de la courbe sur $[0 ; 8]$ est $(4 ; 10)$ , le maximum est $10$ , atteint en $x = 4$ .
4 Variations : la fonction croît si la courbe monte de gauche à droite. Exemple : Si $f(1) = 3$ et $f(4) = 9$ avec la courbe qui monte entre les deux, $f$ est croissante sur $[1 ; 4]$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit

f(x) = -x^2 + 6x - 5

. Calculer

f(2)

, puis déterminer un antécédent de

-5

Démarche :

Image de $2$ : $f(2) = -(2)^2 + 6 \times 2 - 5 = -4 + 12 - 5 = 3$ .
Antécédent de $-5$ : résoudre $f(x) = -5$ → $-x^2 + 6x - 5 = -5$ → $-x^2 + 6x = 0$ → $x(-x + 6) = 0$ .
Donc $x = 0$ ou $x = 6$ : il y a deux antécédents de $-5$ .

Réponse :

f(2) = 3

. Les antécédents de

-5

sont

x = 0

x = 6

📐 Formules clés

f

croissante sur

I

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

f

décroissante sur

I

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

🎨 Illustration

Lecture graphique d'une courbe

Courbe de

f(x) = -x^2 + 6x - 5

Reconstruction de l'exemple du cours : lecture des deux antécédents de $-5$ (flèches en pointillés) et maximum de la fonction.

1 Antécédent de $-5$ : on part de $y=-5$ sur l'axe vertical, on rejoint la courbe (flèche horizontale en pointillés), puis on lit l'abscisse (flèche verticale). On trouve deux antécédents : $x = 0$ et $x = 6$ .
2 Maximum : le sommet de la courbe est en $(3 ; 4)$ . C'est la plus grande valeur atteinte par $f$ sur ce domaine : $f(x) \leq 4$ pour tout $x$ .
3 $f$ est croissante sur $[0 ; 3]$ (la courbe monte) puis décroissante sur $[3 ; 6]$ (la courbe descend) — le maximum est exactement au changement de sens.

Ce qu'il faut lire : Pour un antécédent, on part de l'axe des

y

et on rejoint horizontalement la courbe avant de redescendre verticalement sur l'axe des

x

— c'est l'inverse de la lecture d'une image (verticale puis horizontale).

Courbe de

f(x) = -x^2 + 6x - 5

(exemple du cours) : deux antécédents de

-5

(

x=0

x=6

) et maximum en

(3 ; 4)

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Un antécédent peut ne pas exister ou ne pas être unique.

✅ La suggestion

L'image d'un $x$ donné, elle, est toujours unique (sinon ce n'est pas une fonction).

💡 À retenir

Une fonction associe à chaque $x$ une unique image $f(x)$ ; un antécédent peut ne pas être unique.
Croissante = la courbe monte (de gauche à droite) ; décroissante = la courbe descend.
Le maximum sur un intervalle est la plus grande valeur atteinte par $f(x)$ sur cet intervalle.
Image = lecture verticale du graphe ; antécédent = lecture horizontale.

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