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Généralités sur les fonctions

Définition, courbe, variations, extremums

Tu lances un ballon en l'air. Il monte, il ralentit, puis il retombe.

Pose-toi maintenant deux questions qui se ressemblent beaucoup.

Première question : deux secondes après le lancer, à quelle hauteur se trouve le ballon ? Il n'y a qu'une seule réponse possible. À un instant donné, le ballon est quelque part, et il n'est qu'à un seul endroit.

Deuxième question : à quel instant le ballon se trouve-t-il à 55 mètres de haut ? Cette fois il y a deux réponses — une fois en montant, une fois en redescendant. Et si tu demandes 5050 mètres, il n'y en a sans doute aucune.

Les deux questions portent pourtant sur le même lancer, avec les mêmes nombres. Ce qui change, c'est le sens de lecture : de l'instant vers la hauteur, ou de la hauteur vers l'instant.

C'est toute l'affaire de ce chapitre. Une fonction associe à chaque nombre de départ une valeur d'arrivée et une seule, qu'on appelle son image. Mais si tu remontes le courant, en partant de l'arrivée pour retrouver les départs possibles — ce qu'on appelle les antécédents —, tu peux en trouver deux, dix, ou pas un seul.

Cette dissymétrie déroute au début, et c'est précisément elle qui oblige à disposer de deux mots différents. Le reste du chapitre — domaine de définition, sens de variation, maximum — sert à décrire proprement ce que fait une fonction, et te servira sans interruption jusqu'en terminale.

📖 Vocabulaire clé

Fonction : Règle qui associe à chaque valeur xx de son domaine de définition une unique image f(x)f(x).
Image : La valeur f(x)f(x) obtenue en appliquant la fonction à xx. Se lit verticalement sur le graphe.
Antécédent : Valeur xx telle que f(x)=yf(x) = y. Un antécédent peut ne pas exister, ou il peut y en avoir plusieurs.
Extremum : Maximum ou minimum de ff sur un intervalle. C'est le point où la fonction atteint sa plus grande (ou plus petite) valeur.
Tableau de variations : Tableau qui résume, intervalle par intervalle, si ff est croissante (flèche qui monte) ou décroissante (flèche qui descend), avec les images aux bornes de chaque intervalle.

Un maximum se lit au sommet d'une flèche montante suivie d'une flèche descendante.

📋 Lire une courbe

  1. 1 Image : partir de xx sur l'axe horizontal, rejoindre la courbe, lire y=f(x)y = f(x). Exemple : Si la courbe passe par (3;7)(3 ; 7), alors f(3)=7f(3) = 7 : l'image de 33 est 77.
  2. 2 Antécédent : partir de yy sur l'axe vertical, rejoindre la courbe, lire xx. Exemple : Si la courbe coupe la droite y=5y = 5 en x=2x = 2 et x=6x = 6, alors 22 et 66 sont les antécédents de 55.
  3. 3 Maximum/minimum : chercher le sommet de la courbe sur l'intervalle donné. Exemple : Si le point le plus haut de la courbe sur [0;8][0 ; 8] est (4;10)(4 ; 10), le maximum est 1010, atteint en x=4x = 4.
  4. 4 Variations : la fonction croît si la courbe monte de gauche à droite. Exemple : Si f(1)=3f(1) = 3 et f(4)=9f(4) = 9 avec la courbe qui monte entre les deux, ff est croissante sur [1;4][1 ; 4].

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5. Calculer f(2)f(2), puis déterminer un antécédent de −5-5.
Démarche :
  1. Image de 22 : f(2)=−(2)2+6×2−5=−4+12−5=3f(2) = -(2)^2 + 6 \times 2 - 5 = -4 + 12 - 5 = 3.
  2. Antécédent de −5-5 : résoudre f(x)=−5f(x) = -5 → −x2+6x−5=−5-x^2 + 6x - 5 = -5 → −x2+6x=0-x^2 + 6x = 0 → x(−x+6)=0x(-x + 6) = 0.
  3. Donc x=0x = 0 ou x=6x = 6 : il y a deux antécédents de −5-5.
Réponse : f(2)=3f(2) = 3. Les antécédents de −5-5 sont x=0x = 0 et x=6x = 6.

📐 Formules clés

ff croissante sur II : x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)
ff décroissante sur II : x1<x2⇒f(x1)>f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

🎨 Illustrations

Lecture graphique d'une courbe
Courbe de f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5

Reconstruction de l'exemple du cours : lecture des deux antécédents de −5-5 (flèches en pointillés) et maximum de la fonction.

Courbe de f(x) = -x2 + 6x - 5 Repere avec la parabole f(x) = -x2 + 6x - 5, le maximum en (3 ; 4), et la lecture graphique des deux antecedents de -5 (x = 0 et x = 6) par fleches en pointilles. x y 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 f(x) = -x2 + 6x - 5 Maximum (3 ; 4) x = 6 x = 0 y = -5 (2 ; 3)
  • 1 Antécédent de −5-5 : on part de y=−5y=-5 sur l'axe vertical, on rejoint la courbe (flèche horizontale en pointillés), puis on lit l'abscisse (flèche verticale). On trouve deux antécédents : x=0x = 0 et x=6x = 6.
  • 2 Maximum : le sommet de la courbe est en (3;4)(3 ; 4). C'est la plus grande valeur atteinte par ff sur ce domaine : f(x)≤4f(x) \leq 4 pour tout xx.
  • 3 ff est croissante sur [0;3][0 ; 3] (la courbe monte) puis décroissante sur [3;6][3 ; 6] (la courbe descend) — le maximum est exactement au changement de sens.
Ce qu'il faut lire : Pour un antécédent, on part de l'axe des yy et on rejoint horizontalement la courbe avant de redescendre verticalement sur l'axe des xx — c'est l'inverse de la lecture d'une image (verticale puis horizontale).
Courbe de f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5 (exemple du cours) : deux antécédents de −5-5 (x=0x=0 et x=6x=6) et maximum en (3;4)(3 ; 4).
Le malentendu fondateur
Une seule image, mais parfois deux antécédents

Tu cherches l'image de 3,53{,}5 : tu montes à la verticale et tu rencontres la courbe une seule fois. Tu cherches maintenant les antécédents de 33 : tu suis l'horizontale et tu rencontres la courbe deux fois.

Ce n'est pas une bizarrerie de cette courbe : c'est la définition même d'une fonction. À chaque xx correspond un résultat, jamais deux. Rien n'oblige en revanche un résultat à provenir d'un seul xx.

Image unique et antecedents multiples La parabole d'equation x au carre moins quatre x plus trois est tracee dans un repere. Une droite verticale d'abscisse trois et demi monte de l'axe horizontal jusqu'a la courbe et la rencontre en un seul point. Une droite horizontale d'ordonnee trois traverse toute la figure et rencontre la courbe en deux points, d'abscisses zero et quatre. La verticale ne coupe qu'une fois, l'horizontale coupe deux fois. x y 0 1 3 4 3 un seul point deux points
  • 1 La verticale x=3,5x = 3{,}5 ne rencontre la courbe qu'une fois : l'image f(3,5)=1,25f(3{,}5) = 1{,}25 est unique.
  • 2 L'horizontale y=3y = 3 rencontre la courbe deux fois, en x=0x = 0 et en x=4x = 4 : le nombre 33 a deux antécédents.
  • 3 Retiens le geste, il te dit tout de suite de quoi on parle : une image se lit verticalement, un antécédent se lit horizontalement.
Ce qu'il faut lire : Promène mentalement la verticale de gauche à droite : elle ne touche jamais la courbe deux fois. Promène maintenant l'horizontale de haut en bas : selon la hauteur, elle touche la courbe deux fois, une fois, ou pas du tout. C'est exactement la dissymétrie entre image et antécédent.
Sur f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 : la verticale x=3,5x = 3{,}5 coupe une fois, l'horizontale y=3y = 3 coupe deux fois.
Le piège du chapitre
Une fonction peut descendre en restant positive

Voici la confusion que la fiche professeur classe parmi les plus tenaces : croire que « ff décroît » signifie « ff devient négative ».

La courbe ci-dessous descend sur tout l'intervalle, et pourtant elle reste au-dessus de l'axe du début à la fin. Le sens de variation dit comment la valeur évolue ; le signe dit de quel côté de l'axe elle se trouve. Ce sont deux questions différentes.

Une courbe decroissante qui reste positive Dans un repere, une courbe part du point d'abscisse zero et d'ordonnee dix, puis descend regulierement jusqu'au point d'abscisse six et d'ordonnee un. Elle ne franchit jamais l'axe horizontal : elle reste entierement au-dessus. La fonction est donc decroissante et pourtant strictement positive sur tout l'intervalle. x y 0 2 4 6 2 6 10 f(0) = 10 f(6) = 1 elle descend et pourtant elle reste au-dessus de zéro
  • 1 La fonction est décroissante : quand xx augmente, f(x)f(x) diminue, de 1010 jusqu'à 11.
  • 2 La fonction est strictement positive : sa courbe ne touche jamais l'axe des abscisses, donc f(x)>0f(x) > 0 partout sur l'intervalle.
  • 3 Les deux affirmations sont vraies en même temps, et c'est bien la preuve qu'elles ne parlent pas de la même chose.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur la courbe et suis-la de gauche à droite : ton doigt descend sans interruption. Regarde maintenant si ton doigt passe sous l'axe : jamais. Décroissante ne veut donc pas dire négative, et tu peux refaire ce double contrôle sur n'importe quelle courbe.
Une fonction décroissante sur [0 ; 6][0\,;\,6] et pourtant strictement positive : signe et variation sont indépendants.
La valeur interdite
Là où la courbe se coupe en deux

Pour f(x)=6x−2f(x) = \dfrac{6}{x-2}, le nombre 22 est interdit : il annulerait le dénominateur. Ce n'est pas une convention d'écriture, cela se voit sur le dessin.

La courbe n'est pas trouée en un point : elle est faite de deux morceaux séparés, qui s'approchent de la droite verticale x=2x = 2 sans jamais la toucher. Le domaine de définition est R\mathbb{R} privé de 22.

La valeur interdite coupe la courbe en deux morceaux La courbe de six divise par x moins deux est tracee dans un repere. Elle se compose de deux morceaux totalement separes. Le morceau de gauche occupe la partie situee sous l'axe horizontal et plonge vers le bas quand on approche de l'abscisse deux. Le morceau de droite occupe la partie situee au-dessus de l'axe et monte tres haut quand on approche de l'abscisse deux par la droite. Une droite verticale en tirets marque l'abscisse deux : aucun des deux morceaux ne la touche. x y 0 1 4 6 4 -4 x = 2 interdit f(5) = 2 f(-1) = -2
  • 1 Remplacer xx par 22 donnerait 60\dfrac{6}{0}, qui n'est pas un nombre : c'est pour cela que 22 est écarté du domaine.
  • 2 Le domaine s'écrit Df=]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[\mathcal{D}_f = ]-\infty\,;\,2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[ — deux intervalles, exactement comme il y a deux morceaux de courbe.
  • 3 Les deux points marqués te permettent de contrôler l'échelle : f(5)=63=2f(5) = \dfrac{6}{3} = 2 et f(−1)=6−3=−2f(-1) = \dfrac{6}{-3} = -2.
Ce qu'il faut lire : Essaie de suivre la courbe du crayon sans le lever : tu n'y arrives pas, il faut sauter par-dessus la droite en tirets. Ce saut, c'est la valeur interdite. Prends le réflexe de chercher ce qui annule un dénominateur avant de calculer quoi que ce soit.
Courbe de f(x)=6x−2f(x) = \dfrac{6}{x-2} : deux branches séparées par la valeur interdite x=2x = 2.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Un antécédent peut ne pas exister ou ne pas être unique.

✅ La suggestion

L'image d'un xx donné, elle, est toujours unique (sinon ce n'est pas une fonction).

💡 À retenir

  • Une fonction associe à chaque xx une unique image f(x)f(x) ; un antécédent peut ne pas être unique.
  • Croissante = la courbe monte (de gauche à droite) ; décroissante = la courbe descend.
  • Le maximum sur un intervalle est la plus grande valeur atteinte par f(x)f(x) sur cet intervalle.
  • Image = lecture verticale du graphe ; antécédent = lecture horizontale.
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