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Fonctions de référence

Carré, inverse, racine carrée

🔬 Application physique-chimie : Chute libre (fonction carré), lois en 1/x en électricité (fonction inverse), période d'un pendule (fonction racine carrée)

Les trois fonctions de référence ( $x\mapsto x^2$ , $x\mapsto 1/x$ , $x\mapsto \sqrt{x}$ ) sont les briques de base de l'analyse.

La fonction carré est paire ( $f(-x) = f(x)$ ), atteint son minimum $0$ en $x=0$ , et est définie sur $\mathbb{R}$ . La fonction inverse est impaire et n'est jamais nulle : son domaine exclut $0$ . La racine carrée n'est définie que pour $x \geq 0$ et est toujours croissante.

Ces domaines sont fondamentaux : $\sqrt{x-2}$ n'existe que si $x \geq 2$ , $1/(x-3)$ est interdite en $x = 3$ .

Enfin, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ est vraie pour un produit — mais $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

📖 Vocabulaire clé

Fonction carré : Fonction

f(x) = x^2

. Définie sur

\mathbb{R}

, paire, minimum en

0

. Sa courbe est une parabole tournée vers le haut.

Fonction inverse : Fonction

g(x) = \dfrac{1}{x}

. Définie sur

\mathbb{R} \setminus \{0\}

, impaire, jamais nulle. Sa courbe est une hyperbole.

Fonction racine carrée : Fonction

h(x) = \sqrt{x}

. Définie sur

[0 ; +\infty[

, toujours croissante,

h(0) = 0

Parité : Une fonction est paire si

f(-x) = f(x)

(symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ; impaire si

f(-x) = -f(x)

(symétrie par rapport à l'origine).

📋 Caractéristiques des trois fonctions

1 Fonction carré $f(x)=x^2$ : domaine $\mathbb{R}$ , décroissante sur $]-\infty;0]$ , croissante sur $[0;+\infty[$ , minimum $0$ en $x=0$ . Exemple : $f(-3) = 9$ et $f(3) = 9$ (parité : $f(-x) = f(x)$ ).
2 Fonction inverse $g(x)=\frac{1}{x}$ : domaine $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ . Exemple : $g(2) = 0{,}5$ et $g(4) = 0{,}25$ : quand $x$ augmente, $g(x)$ diminue.
3 Racine carrée $h(x)=\sqrt{x}$ : domaine $[0;+\infty[$ , croissante, $h(0)=0$ . Exemple : $\sqrt{9} = 3$ , $\sqrt{16} = 4$ : quand $x$ augmente, $\sqrt{x}$ augmente aussi.
4 Comparer des racines : $a > b \ge 0 \Rightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}$ . Exemple : $25 > 16 \Rightarrow \sqrt{25} = 5 > \sqrt{16} = 4$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Déterminer le domaine de définition de

f(x) = \sqrt{2x - 6} + \dfrac{1}{x - 1}

Démarche :

Pour $\sqrt{2x - 6}$ : il faut $2x - 6 \geq 0$ , soit $x \geq 3$ . Domaine partiel : $[3 ; +\infty[$ .
Pour $\dfrac{1}{x - 1}$ : il faut $x - 1 \neq 0$ , soit $x \neq 1$ . Domaine partiel : $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Le domaine de $f$ est l'intersection : $[3 ; +\infty[ \cap \mathbb{R} \setminus \{1\} = [3 ; +\infty[$ (car $1 \notin [3 ; +\infty[$ ).

Réponse : Le domaine de définition de

f

est

[3 ; +\infty[

📐 Formules clés

\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

(pour

a,b\ge 0

)

\left(\sqrt{a}\right)^2 = a

(pour

a\ge 0

)

\sqrt{a^2}=|a|

🎨 Illustration

Trois fonctions de référence, trois échelles

Comparer carré, inverse et racine carrée

Chaque courbe est calculée point par point à partir de sa définition, avec les valeurs remarquables du cours ( $f(3)=9$ , $g(2)=0{,}5$ , $h(9)=3$ ).

1 La fonction carré (à gauche) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un minimum $0$ en $x=0$ .
2 La fonction inverse (au centre) est impaire : ses deux branches sont symétriques par rapport à l'origine, et $x=0$ est exclu du domaine.
3 La fonction racine carrée (à droite) n'existe que pour $x \geq 0$ et croît sur tout son domaine.

Ce qu'il faut lire : Chaque panneau utilise sa propre échelle : les trois fonctions ont des vitesses de croissance très différentes (le carré explose, l'inverse s'écrase près de

0

, la racine ralentit).

Les trois fonctions de référence tracées point par point : carré

x^2

, inverse

1/x

et racine

\sqrt{x}

, avec les valeurs remarquables citées dans le cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$\sqrt{4+9} \ne \sqrt{4}+\sqrt{9}$ : on ne peut pas séparer une somme sous un radical !

💡 À retenir

Fonction carré : parabole, paire, minimum $0$ en $x = 0$ , décroissante puis croissante.
Fonction inverse : hyperbole, impaire, décroissante sur chaque intervalle, jamais nulle, interdite en $0$ .
Fonction racine carrée : définie pour $x \geq 0$ , toujours croissante.
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ✓ mais $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ✗.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Chute libre (fonction carré), lois en 1/x en électricité (fonction inverse), période d'un pendule (fonction racine carrée)

Mots-clés associés : Fonction carréFonction inverseRacine carréeParité

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