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Fonctions de référence

Carré, inverse, racine carrée

🔬 Application physique-chimie : Chute libre (fonction carré), lois en 1/x en électricité (fonction inverse), période d'un pendule (fonction racine carrée)
Range ces deux nombres : −5-5 et −2-2. Tu réponds sans hésiter que −5-5 est le plus petit.

Maintenant, range leurs carrés.

Si tu appliques le même ordre, tu annonces que (−5)2(-5)^2 est plus petit que (−2)2(-2)^2. Vérifie : (−5)2=25(-5)^2 = 25 et (−2)2=4(-2)^2 = 4. C'est l'inverse.

Recommence avec 22 et 55 : cette fois 22=42^2 = 4 et 52=255^2 = 25, l'ordre est conservé. La même opération respecte donc l'ordre sur les nombres positifs et le renverse sur les négatifs.

Jusqu'ici, toutes les fonctions que tu as rencontrées allaient dans un seul sens : une fonction affine monte partout, ou descend partout. La fonction carré, elle, descend puis remonte, et le point de bascule est en 00.

Ce chapitre étudie trois fonctions de ce genre — le carré, l'inverse et la racine carrée —, qu'on appelle fonctions de référence parce qu'on les retrouvera partout jusqu'en terminale.

Tu y rencontreras une surprise encore plus déroutante que celle-ci : la fonction inverse descend sur chacun de ses deux morceaux, et pourtant on ne peut pas dire qu'elle descend partout. Tu verras pourquoi, et ce n'est pas un détail.

📖 Vocabulaire clé

Fonction carré : Fonction f(x)=x2f(x) = x^2. Définie sur R\mathbb{R}, paire, minimum en 00. Sa courbe est une parabole tournée vers le haut.
Fonction inverse : Fonction g(x)=1xg(x) = \dfrac{1}{x}. Définie sur R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, impaire, jamais nulle. Sa courbe est une hyperbole.
Fonction racine carrée : Fonction h(x)=xh(x) = \sqrt{x}. Définie sur [0;+∞[[0 ; +\infty[, toujours croissante, h(0)=0h(0) = 0.
Parité : Une fonction est paire si f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ; impaire si f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (symétrie par rapport à l'origine).

📋 Caractéristiques des trois fonctions

  1. 1 Fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2 : domaine R\mathbb{R}, décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0], croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[, minimum 00 en x=0x=0. Exemple : f(−3)=9f(-3) = 9 et f(3)=9f(3) = 9 (parité : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)).
  2. 2 Fonction inverse g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x} : domaine R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}, décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Exemple : g(2)=0,5g(2) = 0{,}5 et g(4)=0,25g(4) = 0{,}25 : quand xx augmente, g(x)g(x) diminue.
  3. 3 Racine carrée h(x)=xh(x)=\sqrt{x} : domaine [0;+∞[[0;+\infty[, croissante, h(0)=0h(0)=0. Exemple : 9=3\sqrt{9} = 3, 16=4\sqrt{16} = 4 : quand xx augmente, x\sqrt{x} augmente aussi.
  4. 4 Comparer des racines : a>b≥0⇒a>ba > b \ge 0 \Rightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}. Exemple : 25>16⇒25=5>16=425 > 16 \Rightarrow \sqrt{25} = 5 > \sqrt{16} = 4.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Déterminer le domaine de définition de f(x)=2x−6+1x−1f(x) = \sqrt{2x - 6} + \dfrac{1}{x - 1}.
Démarche :
  1. Pour 2x−6\sqrt{2x - 6} : il faut 2x−6≥02x - 6 \geq 0, soit x≥3x \geq 3. Domaine partiel : [3;+∞[[3 ; +\infty[.
  2. Pour 1x−1\dfrac{1}{x - 1} : il faut x−1≠0x - 1 \neq 0, soit x≠1x \neq 1. Domaine partiel : R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}.
  3. Le domaine de ff est l'intersection : [3;+∞[∩R∖{1}=[3;+∞[[3 ; +\infty[ \cap \mathbb{R} \setminus \{1\} = [3 ; +\infty[ (car 1∉[3;+∞[1 \notin [3 ; +\infty[).
Réponse : Le domaine de définition de ff est [3;+∞[[3 ; +\infty[.

📐 Formules clés

a⋅b=a⋅b\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} (pour a,b≥0a,b\ge 0)
(a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2 = a (pour a≥0a\ge 0)
a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|

🎨 Illustrations

Trois fonctions de référence, trois échelles
Comparer carré, inverse et racine carrée

Chaque courbe est calculée point par point à partir de sa définition, avec les valeurs remarquables du cours (f(3)=9f(3)=9, g(2)=0,5g(2)=0{,}5, h(9)=3h(9)=3).

Trois fonctions de reference juxtaposees Trois reperes cote a cote : la fonction carre x au carre, la fonction inverse 1 sur x, et la fonction racine carree, chacune tracee point par point avec ses valeurs remarquables. Carré : f(x) = x² -3 -2 -1 0 1 2 3 0 3 6 9 f(-3)=9 f(3)=9 Inverse : g(x) = 1/x -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 g(2)=0,5 g(-2)=-0,5 Racine : h(x) = √x 0 1 4 9 0 1 2 3 h(4)=2 h(9)=3
  • 1 La fonction carré (à gauche) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un minimum 00 en x=0x=0.
  • 2 La fonction inverse (au centre) est impaire : ses deux branches sont symétriques par rapport à l'origine, et x=0x=0 est exclu du domaine.
  • 3 La fonction racine carrée (à droite) n'existe que pour x≥0x \geq 0 et croît sur tout son domaine.
Ce qu'il faut lire : Chaque panneau utilise sa propre échelle : les trois fonctions ont des vitesses de croissance très différentes (le carré explose, l'inverse s'écrase près de 00, la racine ralentit).
Les trois fonctions de référence tracées point par point : carré x2x^2, inverse 1/x1/x et racine x\sqrt{x}, avec les valeurs remarquables citées dans le cours.
Le point dur du chapitre
Deux branches, donc deux intervalles

On lit souvent que la fonction inverse « est décroissante ». C'est vrai sur chaque branche prise séparément, et faux si on parle de son domaine entier.

Regarde les deux points marqués : −1-1 est plus petit que 22, et pourtant g(−1)=−1g(-1) = -1 est plus petit que g(2)=0,5g(2) = 0{,}5. Entre ces deux points, la fonction a donc augmenté. Impossible de dire qu'elle décroît partout.

La raison tient en un mot : les deux branches ne se rejoignent jamais, car 00 est interdit.

Les deux branches separees de la fonction inverse Un repere orthonorme porte la courbe de un divise par x. Elle est faite de deux morceaux qui ne se touchent pas. Le morceau de gauche occupe la region situee en bas a gauche de l'origine, le morceau de droite occupe la region situee en haut a droite. Deux points sont marques : le point d'abscisse moins un et d'ordonnee moins un sur la branche de gauche, et le point d'abscisse deux et d'ordonnee un demi sur la branche de droite. Bien que moins un soit plus petit que deux, l'ordonnee du premier point est plus basse que celle du second. x y -4 -2 2 4 1 -1 g(-1) = -1 g(2) = 0,5 -1 < 2 et pourtant -1 < 0,5
  • 1 Sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[, la fonction inverse est bien décroissante. Sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ aussi. Mais un sens de variation ne s'annonce que sur un intervalle, et la réunion des deux n'en est pas un.
  • 2 Le contre-exemple suffit à trancher : −1<2-1 < 2 et pourtant g(−1)<g(2)g(-1) < g(2), alors qu'une fonction décroissante aurait donné g(−1)>g(2)g(-1) > g(2).
  • 3 Écris donc toujours le sens de variation branche par branche : décroissante sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[, décroissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
Ce qu'il faut lire : Repère bien que les deux branches n'occupent pas les mêmes régions : celle de gauche est entièrement sous l'axe, celle de droite entièrement au-dessus. Aucun trait ne les relie, et c'est justement ce vide qui interdit de parler du domaine entier d'un seul coup.
Fonction inverse g(x)=1xg(x) = \dfrac{1}{x} dans un repère orthonormé : décroissante sur chaque branche, mais pas sur la réunion des deux.
Ne perds pas la moitié des solutions
Un carré positif vient toujours de deux nombres

Tu cherches les nombres dont le carré vaut 44. Trace l'horizontale y=4y = 4 : elle coupe la parabole deux fois, en −2-2 et en 22.

C'est la conséquence directe de la symétrie de la courbe : deux nombres opposés ont exactement le même carré, donc la même hauteur sur le dessin. Répondre seulement 22, c'est oublier la moitié de la réponse.

Un nombre positif a deux antecedents par la fonction carre La parabole de la fonction carre est tracee dans un repere. Une droite horizontale d'ordonnee quatre traverse la figure et rencontre la parabole en deux points, l'un d'abscisse moins deux, l'autre d'abscisse deux. Les deux points sont a la meme hauteur et places symetriquement de part et d'autre de l'axe vertical. Deux traits verticaux en tirets descendent de ces deux points jusqu'a l'axe horizontal. x y -2 -1 1 2 2 4 8 y = 4 x = -2 x = 2
  • 1 Les deux points marqués sont à la même hauteur : c'est le dessin de l'égalité (−2)2=22=4(-2)^2 = 2^2 = 4.
  • 2 La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc toute horizontale au-dessus de l'axe la coupe en deux points symétriques.
  • 3 L'horizontale y=0y = 0 fait exception : elle ne touche la courbe qu'au sommet. C'est le seul nombre, 00, à n'avoir qu'un antécédent.
Ce qu'il faut lire : Fais glisser l'horizontale vers le haut : les deux points s'écartent, mais ils restent deux. Fais-la glisser sous l'axe : elle ne rencontre plus rien, et c'est normal, aucun carré n'est négatif. Chaque fois que tu résous x2=kx^2 = k avec kk positif, attends-toi donc à deux réponses opposées.
Fonction carré : l'horizontale y=4y = 4 coupe la parabole en x=−2x = -2 et x=2x = 2, les deux antécédents de 44.
Avant de calculer, regarde où la courbe existe
À gauche de la borne, il n'y a rien à lire

Soit f(x)=3x−12f(x) = \sqrt{3x - 12}. Beaucoup calculent f(1)f(1) sans hésiter et annoncent −3-3 ou 33.

Or regarde le dessin : au-dessus de x=1x = 1, aucune courbe. Il n'y a pas de valeur à lire, parce qu'il n'y en a pas. f(1)f(1) n'existe tout simplement pas.

Une courbe qui ne commence qu a partir de sa borne Un repere porte la courbe de la fonction racine de trois x moins douze. La courbe ne commence qu'a l'abscisse quatre, ou elle touche l'axe horizontal, puis elle monte lentement vers la droite. A gauche de l'abscisse quatre, la zone est vide : aucune courbe n'y est tracee. Une verticale en tirets marque cette frontiere, et une mention indique que la fonction n'existe pas dans cette region. Un point remarquable est marque a l'abscisse sept et a l'ordonnee trois. x y 1 4 7 10 1 3 f(7) = 3 aucune courbe ici f(1) n'existe pas domaine : x ≥ 4
  • 1 La condition d'existence s'écrit 3x−12≥03x - 12 \geq 0, c'est-à-dire x≥4x \geq 4. Le domaine de définition est donc [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[, et la courbe commence exactement à la borne.
  • 2 Pour x=1x = 1, on aurait 3×1−12=−93 \times 1 - 12 = -9. Or aucun nombre élevé au carré ne donne −9-9 : 32=93^2 = 9 et (−3)2=9(-3)^2 = 9 également. La racine d'un nombre négatif n'existe pas — ce n'est pas une interdiction, c'est une impossibilité.
  • 3 En seconde, deux situations seulement imposent de chercher un domaine : une racine, dont le contenu doit être positif ou nul, et un dénominateur, qui ne doit pas s'annuler. Deux cas, donc une vérification rapide.
Ce qu'il faut lire : Prends l'habitude d'écrire le domaine avant la première image demandée, même quand l'énoncé ne le réclame pas.

Cela coûte une ligne, et cela t'évite l'erreur la plus coûteuse du chapitre : produire un nombre pour une valeur où la fonction n'existe pas. Le dessin te le rappelle mieux qu'une règle — là où il n'y a pas de trait, il n'y a pas de résultat.
La courbe de f(x)=3x−12f(x) = \sqrt{3x - 12} ne commence qu'en x=4x = 4 : à gauche de cette borne, la fonction n'est pas définie.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

4+9≠4+9\sqrt{4+9} \ne \sqrt{4}+\sqrt{9} : on ne peut pas séparer une somme sous un radical !

💡 À retenir

  • Fonction carré : parabole, paire, minimum 00 en x=0x = 0, décroissante puis croissante.
  • Fonction inverse : hyperbole, impaire, décroissante sur chaque intervalle, jamais nulle, interdite en 00.
  • Fonction racine carrée : définie pour x≥0x \geq 0, toujours croissante.
  • a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} ✓ mais a+b≠a+b\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} ✗.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Chute libre (fonction carré), lois en 1/x en électricité (fonction inverse), période d'un pendule (fonction racine carrée)

Mots-clés associés : Fonction carréFonction inverseRacine carréeParité
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