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Repérage dans le plan

Distances, milieux, coordonnées

On te donne trois points dans un repère : A(0 ; 0)A(0\,;\,0), B(6 ; 0)B(6\,;\,0) et C(2 ; 4)C(2\,;\,4).

Place-les, relie-les. Le triangle obtenu te paraît-il isocèle ?

Pose la question autour de toi : les avis seront partagés. Les deux côtés [AC][AC] et [BC][BC] se ressemblent beaucoup, et à l'œil nu personne ne peut trancher honnêtement.

Calcule-les. AC=22+42=20≈4,47AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47, tandis que BC=42+42=32≈5,66BC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5{,}66. L'écart dépasse le quart de la longueur, et pourtant le dessin ne le montrait pas.

Déplace maintenant CC en (3 ; 4)(3\,;\,4) : cette fois AC=BC=5AC = BC = 5 exactement, et le triangle est réellement isocèle. Le dessin, lui, a à peine changé.

C'est ce que ce chapitre t'apporte : avec les coordonnées, tu peux calculer des longueurs et des milieux, donc démontrer qu'une figure a telle ou telle propriété — sans dépendre de ce que ton dessin laisse croire.

Tu sais placer un point dans un repère depuis la cinquième. Ce qui est nouveau, c'est que le repère devient un outil de preuve et non plus seulement de représentation.

📖 Vocabulaire clé

Repère orthonormé : Système d'axes perpendiculaires (Ox,Oy)(Ox, Oy) avec la même unité sur chaque axe. Chaque point est repéré par (x;y)(x ; y).
Distance : Longueur du segment [AB][AB] : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, application directe du théorème de Pythagore.
Milieu : Point MM situé à égale distance de AA et BB : M(xA+xB2;yA+yB2)M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right).
Géométrie analytique : Méthode qui utilise les coordonnées et le calcul pour prouver des propriétés géométriques (au lieu du raisonnement purement graphique).

📋 Calculer distance et milieu

  1. 1 Distance ABAB : d=(xB−xA)2+(yB−yA)2d = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. Exemple : A(1;2)A(1 ; 2), B(4;6)B(4 ; 6) → AB=32+42=25=5AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.
  2. 2 Milieu MM de [AB][AB] : M(xA+xB2;yA+yB2)M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right). Exemple : A(1;2)A(1 ; 2), B(4;6)B(4 ; 6) → M(52;4)=(2,5;4)M\left(\frac{5}{2} ; 4\right) = (2{,}5 ; 4).
  3. 3 Vérifier en recalculant MA=MBMA = MB. Exemple : MA=(2,5−1)2+(4−2)2=2,25+4=6,25=2,5MA = \sqrt{(2{,}5-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{2{,}25+4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 et MB=2,5MB = 2{,}5 ✓.
  4. 4 Attention aux signes lors des soustractions de coordonnées. Exemple : A(−3;5)A(-3 ; 5), B(2;−1)B(2 ; -1) → xB−xA=2−(−3)=5x_B - x_A = 2 - (-3) = 5 (pas −1-1).

✅ Exemple résolu

Énoncé : On donne A(−2;3)A(−2 ; 3) et B(4;−1)B(4 ; −1). Calculer ABAB et les coordonnées du milieu MM.
Démarche :
  1. AB=(4−(−2))2+(−1−3)2=62+(−4)2=36+16=52AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}.
  2. 52=4×13=213≈7,21\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21.
  3. Milieu : M(−2+42;3+(−1)2)=M(1;1)M\left(\dfrac{-2+4}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = M(1 ; 1).
Réponse : AB=213≈7,21AB = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21 et M(1;1)M(1 ; 1).

📐 Formules clés

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
M=(xA+xB2;yA+yB2)M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

🎨 Illustrations

Repère orthonormé
Voir le triangle des écarts entre deux points

Avec A(−2;3)A(-2 ; 3) et B(4;−1)B(4 ; -1), le triangle rectangle formé par Δx\Delta x et Δy\Delta y rend visible la formule de la distance AB=Δx2+Δy2AB = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} et prépare le calcul du milieu MM.

Repere avec deux points et le triangle des ecarts Repere orthonorme avec les points A(-2;3) et B(4;-1), et le triangle rectangle forme par les ecarts delta x et delta y entre les deux points. A(-2 ; 3) B(4 ; -1) M(1 ; 1) Δx = 6 Δy = -4 AB ≈ 7,21 x y -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -1 -2 0
  • 1 Le segment horizontal en pointillés mesure Δx=xB−xA=4−(−2)=6\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6 : c'est l'écart entre les deux abscisses.
  • 2 Le segment vertical en pointillés mesure Δy=yB−yA=−1−3=−4\Delta y = y_B - y_A = -1 - 3 = -4 : c'est l'écart entre les deux ordonnées (négatif car BB est plus bas que AA).
  • 3 La distance ABAB est l'hypoténuse de ce triangle rectangle : AB=Δx2+Δy2=62+(−4)2=52=213≈7,21AB = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{6^2+(-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21.
Ce qu'il faut lire : Le point MM marqué sur [AB][AB] est le milieu : M(−2+42;3+(−1)2)=M(1;1)M\left(\dfrac{-2+4}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = M(1 ; 1), exactement au centre du segment.
Repère orthonormé avec A(−2;3)A(-2 ; 3), B(4;−1)B(4 ; -1), le triangle des écarts Δx\Delta x/Δy\Delta y et le milieu M(1;1)M(1 ; 1), conformément à l'exemple du cours.
Pourquoi calculer plutôt que regarder
Le dessin hésite, le calcul tranche

Regarde ce triangle et réponds franchement : est-il isocèle en AA ? Les deux côtés [AB][AB] et [AC][AC] ont l'air d'avoir la même longueur, et l'œil ne peut pas faire mieux qu'hésiter.

Pourtant AB=5AB = 5 et AC=26AC = \sqrt{26}, qui vaut environ 5,0995{,}099. Ils diffèrent de moins de 2 %2\,\% : à cette échelle, l'écart sur le papier est de deux millimètres à peine. Ce triangle n'est pas isocèle, et aucun dessin au monde ne pouvait te le dire.

C'est exactement la raison d'être de la géométrie analytique : elle te donne un moyen de trancher là où l'œil ne peut que voter.

Triangle presque isocele dans un repere Un repere orthonorme porte les trois points A de coordonnees un et un, B de coordonnees moins trois et moins deux, et C de coordonnees deux et six. Le triangle ABC est trace. Les cotes AB et AC semblent avoir la meme longueur, mais le calcul donne AB egal cinq exactement et AC egal racine de vingt-six, soit environ cinq virgule zero neuf neuf. Le triangle n'est donc pas isocele, bien que le dessin ne permette pas de le voir. x y 0 1 3 2 6 A(1 ; 1) B(-3 ; -2) C(2 ; 6) AB = ? AC = ?
  • 1 Longueur ABAB : les écarts valent xB−xA=−3−(1)=−4x_B - x_A = -3 - (1) = -4 et yB−yA=−2−(1)=−3y_B - y_A = -2 - (1) = -3, donc AB=(−4)2+(−3)2=16+9=25=5AB = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5.
  • 2 Longueur ACAC : les écarts valent xC−xA=2−(1)=1x_C - x_A = 2 - (1) = 1 et yC−yA=6−(1)=5y_C - y_A = 6 - (1) = 5, donc AC=12+52=1+25=26≈5,099AC = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \approx 5{,}099.
  • 3 Conclusion : 25≠26\sqrt{25} \neq \sqrt{26}, donc AB≠ACAB \neq AC et le triangle n'est pas isocèle en AA. L'écart est de 0,0990{,}099, soit moins de 2 %2\,\% — c'est pourquoi le dessin ne pouvait rien en dire.
Ce qu'il faut lire : Fais l'expérience honnêtement : prends ta règle et mesure les deux côtés sur la page. Tu trouveras la même chose aux deux, parce que l'écart réel y est de deux millimètres. Puis refais les deux calculs ci-dessus — ils te donnent 25\sqrt{25} et 26\sqrt{26}, et là il n'y a plus de doute possible.

Garde la figure quand même : elle reste utile pour anticiper le résultat et repérer une grosse erreur. Ce qu'elle ne peut pas faire, c'est le démontrer.
Triangle ABCABC avec A(1 ; 1)A(1\,;\,1), B(−3 ; −2)B(-3\,;\,-2) et C(2 ; 6)C(2\,;\,6) : AB=5AB = 5 et AC=26AC = \sqrt{26}, deux longueurs que le dessin ne sépare pas.
La question posée à l'envers
Tu connais le milieu et un bout : où est l'autre ?

Jusqu'ici tu calculais le milieu à partir des deux extrémités. Ici on te donne une extrémité AA et le milieu MM, et on te demande l'autre extrémité BB.

C'est la même formule, mais lue dans l'autre sens — et c'est précisément là qu'on divise par 22 alors qu'il faudrait multiplier. La figure te donne le moyen de ne jamais te tromper : MM est au milieu, donc le trajet de AA à MM doit se refaire une seconde fois pour atteindre BB.

Retrouver une extremite connaissant le milieu Dans un repere, le point A de coordonnees moins un et deux et le point M de coordonnees trois et quatre sont marques par des ronds pleins. Un trait plein va de A a M. Un trait en tirets prolonge ce trajet au-dela de M, sur exactement la meme longueur, et aboutit a un cercle vide marque d'un point d'interrogation. Ce cercle vide est le point B cherche, dont les coordonnees sont sept et six. Deux annotations indiquent que l'on avance de quatre graduations vers la droite et de deux graduations vers le haut, d'abord de A a M, puis a l'identique de M au point cherche. x y 0 3 7 2 6 A(-1 ; 2) M(3 ; 4) B ? +4 et +2 +4 et +2
  • 1 De AA à MM, on avance de xM−xA=3−(−1)=4x_M - x_A = 3 - (-1) = 4 et de yM−yA=4−(2)=2y_M - y_A = 4 - (2) = 2. Comme MM est le milieu, il reste exactement le même trajet à faire pour atteindre BB.
  • 2 D'où xB=3+4=7x_B = 3 + 4 = 7 et yB=4+2=6y_B = 4 + 2 = 6 : le point cherché est B(7 ; 6)B(7\,;\,6).
  • 3 La formule directe dit la même chose : xB=2xM−xA=2×3−(−1)=7x_B = 2x_M - x_A = 2\times 3 - (-1) = 7, et yB=2yM−yA=2×4−2=6y_B = 2y_M - y_A = 2\times 4 - 2 = 6. Elle se retient mieux une fois qu'on l'a vue sur le dessin.
  • 4 Le contrôle qui te sauve : MM doit être entre AA et BB. Une réponse comme xB=1,5x_B = 1{,}5 placerait BB du même côté que AA, donc MM ne serait plus au milieu de rien.
Ce qu'il faut lire : Le trait plein est le trajet que tu connais ; le trait en tirets est le même trajet, refait une seconde fois. Les deux flèches portent la même indication, +4+4 et +2+2, et c'est bien pour cela que tu multiplies par 22 au lieu de diviser.

Si tu hésites encore, écris l'égalité en entier avant de calculer : 3=−1+xB23 = \dfrac{-1 + x_B}{2}. C'est une équation comme celles que tu résous depuis la quatrième — multiplie les deux membres par 22 et la fraction disparaît.
Retrouver BB connaissant A(−1 ; 2)A(-1\,;\,2) et le milieu M(3 ; 4)M(3\,;\,4) : le trajet de AA à MM se refait à l'identique au-delà de MM.
Le milieu qui démontre
Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu

Voici le seul endroit du chapitre où la formule du milieu ne sert pas à calculer, mais à démontrer.

Les quatre points ci-dessous forment-ils un parallélogramme ? Le dessin penche pour oui, mais tu sais maintenant ce que vaut un dessin. La preuve tient en deux calculs de milieu : si les deux diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu, alors elles se coupent en leur milieu, et le quadrilatère est un parallélogramme.

Parallelogramme reconnu par ses diagonales Dans un repere, quatre points forment un quadrilatere : A de coordonnees moins trois et un, B de coordonnees un et trois, C de coordonnees quatre et zero, et D de coordonnees zero et moins deux. Les deux diagonales AC et BD sont tracees en tirets. Elles se croisent en un point unique marque par un rond, situe aux coordonnees zero virgule cinq et zero virgule cinq. Ce point est a la fois le milieu de la diagonale AC et le milieu de la diagonale BD, ce qui prouve que le quadrilatere est un parallelogramme. x y 0 1 1 A(-3 ; 1) B(1 ; 3) C(4 ; 0) D(0 ; -2) meme milieu
  • 1 Milieu de la diagonale [AC][AC] : (−3+42 ; 1+02)=(0,5 ; 0,5)\left(\dfrac{-3+4}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2}\right) = (0{,}5\,;\,0{,}5).
  • 2 Milieu de la diagonale [BD][BD] : (1+02 ; 3+(−2)2)=(0,5 ; 0,5)\left(\dfrac{1+0}{2}\,;\,\dfrac{3+(-2)}{2}\right) = (0{,}5\,;\,0{,}5).
  • 3 Les deux milieux sont le même point. Les diagonales se coupent donc en leur milieu, et ABCDABCD est un parallélogramme.
  • 4 Attention à l'ordre des lettres : il faut prendre les diagonales, [AC][AC] et [BD][BD], et non deux côtés. Sur un quadrilatère ABCDABCD, les diagonales joignent les sommets qui ne se suivent pas.
Ce qu'il faut lire : Remarque ce que la preuve ne demande pas : aucune longueur, aucun angle, aucun parallélisme à vérifier. Deux moyennes suffisent, et elles tombent sur le même couple de nombres.

Remarque aussi que ce parallélogramme n'est ni un losange ni un rectangle — ses côtés mesurent 20\sqrt{20} et 18\sqrt{18}, ses diagonales 50\sqrt{50} et 26\sqrt{26}. C'est volontaire : la propriété des diagonales vaut pour tous les parallélogrammes, pas seulement pour les jolis.
Quadrilatère ABCDABCD avec A(−3 ; 1)A(-3\,;\,1), B(1 ; 3)B(1\,;\,3), C(4 ; 0)C(4\,;\,0) et D(0 ; −2)D(0\,;\,-2) : les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu (0,5 ; 0,5)(0{,}5\,;\,0{,}5).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 (pas de 2×2\times, c'est la somme de deux carrés).

💡 À retenir

  • La distance entre deux points est le théorème de Pythagore appliqué aux écarts de coordonnées.
  • Le milieu a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
  • Le sens de la soustraction n'importe pas grâce au carré : (xA−xB)2=(xB−xA)2(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2.
  • Pour prouver un triangle isocèle : calculer les trois côtés et comparer les longueurs.
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