📐

Repérage dans le plan

Distances, milieux, coordonnées

Dans un repère orthonormé, chaque point du plan est identifié de façon unique par ses deux coordonnées $(x ; y)$ . La formule $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les côtés sont $|x_B-x_A|$ et $|y_B-y_A|$ . Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne arithmétique de celles des extrémités. Ces formules permettent de prouver des propriétés géométriques (isocèle, rectangle, parallélogramme) par le calcul, sans dessin — c'est l'approche de la géométrie analytique.

📖 Vocabulaire clé

Repère orthonormé : Système d'axes perpendiculaires

(Ox, Oy)

avec la même unité sur chaque axe. Chaque point est repéré par

(x ; y)

Distance : Longueur du segment

[AB]

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

, application directe du théorème de Pythagore.

Milieu : Point

M

situé à égale distance de

A

B

M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Géométrie analytique : Méthode qui utilise les coordonnées et le calcul pour prouver des propriétés géométriques (au lieu du raisonnement purement graphique).

📋 Calculer distance et milieu

1 Distance $AB$ : $d = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ . Exemple : $A(1 ; 2)$ , $B(4 ; 6)$ → $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .
2 Milieu $M$ de $[AB]$ : $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ . Exemple : $A(1 ; 2)$ , $B(4 ; 6)$ → $M\left(\frac{5}{2} ; 4\right) = (2{,}5 ; 4)$ .
3 Vérifier en recalculant $MA = MB$ . Exemple : $MA = \sqrt{(2{,}5-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{2{,}25+4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ et $MB = 2{,}5$ ✓.
4 Attention aux signes lors des soustractions de coordonnées. Exemple : $A(-3 ; 5)$ , $B(2 ; -1)$ → $x_B - x_A = 2 - (-3) = 5$ (pas $-1$ ).

✅ Exemple résolu

Énoncé : On donne

A(−2 ; 3)

B(4 ; −1)

. Calculer

AB

et les coordonnées du milieu

M

Démarche :

$AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ .
$\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$ .
Milieu : $M\left(\dfrac{-2+4}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = M(1 ; 1)$ .

Réponse :

AB = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21

M(1 ; 1)

📐 Formules clés

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

🎨 Illustration

Repère orthonormé

Voir le triangle des écarts entre deux points

Avec $A(-2 ; 3)$ et $B(4 ; -1)$ , le triangle rectangle formé par $\Delta x$ et $\Delta y$ rend visible la formule de la distance $AB = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ et prépare le calcul du milieu $M$ .

1 Le segment horizontal en pointillés mesure $\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6$ : c'est l'écart entre les deux abscisses.
2 Le segment vertical en pointillés mesure $\Delta y = y_B - y_A = -1 - 3 = -4$ : c'est l'écart entre les deux ordonnées (négatif car $B$ est plus bas que $A$ ).
3 La distance $AB$ est l'hypoténuse de ce triangle rectangle : $AB = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{6^2+(-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$ .

Ce qu'il faut lire : Le point

M

marqué sur

[AB]

est le milieu :

M\left(\dfrac{-2+4}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = M(1 ; 1)

, exactement au centre du segment.

Repère orthonormé avec

A(-2 ; 3)

B(4 ; -1)

, le triangle des écarts

\Delta x

\Delta y

et le milieu

M(1 ; 1)

, conformément à l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre $AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$ (pas de $2\times$ , c'est la somme de deux carrés).

💡 À retenir

La distance entre deux points est le théorème de Pythagore appliqué aux écarts de coordonnées.
Le milieu a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Le sens de la soustraction n'importe pas grâce au carré : $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ .
Pour prouver un triangle isocèle : calculer les trois côtés et comparer les longueurs.

← Fonctions de référence 8 / 36 → Droites et systèmes d'équations