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Droites et systèmes d'équations

Équation de droite, systèmes 2×2

Deux amis suivent chacun un tarif de téléphone. Le premier paie $3$ € par gigaoctet plus $10$ € d'abonnement, le second $3$ € par gigaoctet plus $18$ € d'abonnement.

À partir de combien de gigaoctets paient-ils la même chose ?

Écris l'égalité et résous : $3g + 10 = 3g + 18$ . Les $3g$ disparaissent des deux côtés, et il reste $10 = 18$ .

Ce n'est pas une erreur de calcul. Recommence autant de fois que tu veux, tu retrouveras la même absurdité.

Regarde maintenant les deux tarifs sur un graphique : ce sont deux droites de même pente, l'une au-dessus de l'autre, séparées de huit euros pour toujours. Elles ne se croisent jamais. Il n'existe donc aucune valeur de $g$ qui convienne, et le $10 = 18$ est exactement la façon dont l'algèbre te dit cela.

C'est la grande idée de ce chapitre : une droite que tu dessines et une équation que tu écris sont deux visages du même objet. Chercher un point d'intersection sur un dessin ou résoudre un système par le calcul, c'est faire la même chose de deux façons.

Tu sais déjà résoudre des systèmes depuis la troisième. Ce que la seconde ajoute, c'est de pouvoir dire ce que le résultat signifie : une solution unique, aucune solution, ou une infinité — et à chaque fois, deux droites qui expliquent pourquoi.

📖 Vocabulaire clé

Équation de droite : Toute droite non verticale s'écrit

y = mx + p

avec

m

la pente et

p

l'ordonnée à l'origine. Une droite verticale s'écrit

x = k

Droites parallèles : Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont la même pente :

m_1 = m_2

. Elles n'ont aucun point commun (sauf si elles sont confondues).

Droites sécantes : Deux droites de pentes différentes (

m_1 \neq m_2

). Elles se coupent en un unique point dont les coordonnées sont la solution du système.

Système d'équations : Ensemble de deux (ou plus) équations à résoudre simultanément. La solution est le couple

(x ; y)

vérifiant toutes les équations.

📋 Résoudre un système par substitution

1 Isoler une inconnue dans l'une des équations. Exemple : De $x + y = 5$ , on tire $y = 5 - x$ .
2 Substituer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue. Exemple : $2x + 3(5 - x) = 12$ → $2x + 15 - 3x = 12$ → $-x = -3$ → $x = 3$ .
3 Résoudre, puis trouver la deuxième inconnue par retour substitution. Exemple : $y = 5 - 3 = 2$ . Solution : $(3 ; 2)$ .
4 Vérifier dans les deux équations d'origine. Exemple : $3 + 2 = 5$ ✓ et $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ ✓.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Déterminer le point d'intersection des droites

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

Démarche :

Les pentes sont différentes ( $m_1 = 2 \neq m_2 = -1$ ) : les droites sont sécantes, il existe un unique point d'intersection.
On égalise : $2x + 1 = -x + 7$ → $3x = 6$ → $x = 2$ .
On remplace : $y = 2 \times 2 + 1 = 5$ .

Réponse : Le point d'intersection est

(2 ; 5)

📐 Formules clés

Équation de droite :

y = mx + p

Pente :

m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Système :

\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases} \Rightarrow m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2

🎨 Illustrations

Résolution graphique d'un système

Intersection de

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

Reconstruction de l'exemple du cours : les deux droites sont sécantes et se coupent en un unique point, solution du système.

1 Les deux droites ont des pentes différentes ( $m_1 = 2 \neq m_2 = -1$ ) : elles sont donc sécantes et se coupent en un unique point.
2 Le point d'intersection $(2 ; 5)$ se lit graphiquement à la croisée des deux droites, et se retrouve par le calcul : $2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow x = 2$ .
3 Les ordonnées à l'origine se lisent où chaque droite coupe l'axe des $y$ : $d_1$ en $(0 ; 1)$ , $d_2$ en $(0 ; 7)$ .

Ce qu'il faut lire : Le point

(2 ; 5)

est la solution du système : c'est le seul couple

(x ; y)

qui vérifie à la fois

y = 2x + 1

y = -x + 7

Droites

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

, sécantes en

(2 ; 5)

— solution graphique de l'exemple du cours.

Le contre-exemple qui tranche

Même ordonnée à l'origine, et pourtant sécantes

On entend souvent que deux droites qui « partent du même endroit » sont parallèles. Un seul dessin suffit à écarter cette idée pour de bon.

Ces deux droites ont la même ordonnée à l'origine $b = 5$ : elles coupent l'axe vertical exactement au même point. Et loin d'être parallèles, elles se croisent — précisément en ce point.

Ce qui décide du parallélisme, c'est la pente, et elle seule.

1 Les deux droites valent $5$ en $x = 0$ : elles ont donc la même ordonnée à l'origine, $b = 5$ .
2 Leurs pentes valent $2$ et $-1$ : elles sont différentes, donc les droites sont sécantes.
3 Le critère à retenir est unique : deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales. L'ordonnée à l'origine ne dit rien là-dessus.

Ce qu'il faut lire : Observe que le point de croisement est justement celui où elles rencontrent l'axe vertical. Partager le même

b

, c'est partager un point — et partager un point, pour deux droites distinctes, c'est exactement le contraire d'être parallèles.

Deux droites de même ordonnée à l'origine

b = 5

et de pentes

2

-1

: elles se coupent en

(0\,;\,5)

Un résultat, pas un échec

Pas de solution, cela se voit

Quand un système ne donne aucune solution, beaucoup d'élèves pensent avoir raté un calcul. Il n'en est rien : « pas de solution » est un résultat, et il se lit sur le dessin.

Ces deux droites ont exactement la même pente. Elles avancent côte à côte, séparées par un écart qui ne se réduit jamais. Résoudre le système, c'est chercher un point commun : il n'y en a aucun, et le dessin le montre sans ambiguïté.

1 Les deux équations ont la même pente $2$ mais des ordonnées à l'origine différentes, $1$ et $5$ : les droites sont parallèles et distinctes.
2 Par le calcul, $2x + 1 = 2x + 5$ conduit à $1 = 5$ , qui est faux quel que soit $x$ . Aucune valeur ne convient : l'ensemble des solutions est vide.
3 Les deux écarts mesurés valent $4$ tous les deux, et ce n'est pas un hasard : l'écart entre les deux droites vaut $5 - 1 = 4$ à n'importe quelle abscisse.

Ce qu'il faut lire : Quand ton calcul aboutit à une égalité fausse comme

1 = 5

, ne cherche pas l'erreur : tu viens de démontrer que les droites sont parallèles. Écris simplement que le système n'a pas de solution, c'est une réponse complète et juste.

Droites parallèles

y = 2x + 1

y = 2x + 5

: écart constant de

4

, donc système sans solution.

La réponse est un point

Deux coordonnées, pas une

Résoudre un système, c'est trouver le couple $(x\,;\,y)$ qui convient aux deux équations à la fois. Beaucoup d'élèves s'arrêtent dès qu'ils ont trouvé $x$ et rendent une demi-réponse.

Le point d'intersection est ici marqué, et deux traits en tirets en descendent : l'un rejoint l'axe des abscisses, l'autre l'axe des ordonnées. Les deux lectures font partie de la réponse.

1 Par le calcul : $3x - 4 = -x + 4$ donne $4x = 8$ , donc $x = 2$ . Le travail n'est pas fini pour autant.
2 On remonte alors dans l'une des deux équations : $y = -2 + 4 = 2$ . La solution est le couple $(2\,;\,2)$ .
3 Vérifie toujours dans l'autre équation, celle que tu n'as pas utilisée : $3 \times 2 - 4 = 2$ . C'est bien cohérent, le point convient aux deux droites.

Ce qu'il faut lire : Le point d'intersection est le seul endroit du plan qui appartient aux deux droites en même temps : voilà pourquoi il est la solution. Et comme un point du plan a toujours deux coordonnées, ta réponse en a deux aussi. Une réponse à un seul nombre est forcément incomplète.

Droites

y = 3x - 4

y = -x + 4

sécantes en

(2\,;\,2)

: les deux projections donnent les deux coordonnées de la solution.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Si $m_1 = m_2$ et $p_1 \ne p_2$ , les droites sont parallèles : le système n'a pas de solution !

💡 À retenir

Toute droite non verticale a une équation $y = mx + p$ ; une droite verticale s'écrit $x = k$ .
Même pente → droites parallèles (pas de solution) ; pentes différentes → un unique point d'intersection.
Par substitution : isoler, remplacer, résoudre, puis remonter à la deuxième inconnue.
Toujours vérifier la solution dans les deux équations du système.

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