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Droites et systèmes d'équations

Équation de droite, systèmes 2×2

L'équation $y = mx + p$ décrit toute droite non verticale : $m$ est la pente (combien $y$ change pour $+1$ en $x$ ) et $p$ est l'ordonnée à l'origine. Les droites verticales ont une équation $x = k$ et n'ont pas de pente définie. Deux droites distinctes sont soit parallèles (même pente $m_1 = m_2$ , aucun point commun), soit sécantes (pentes différentes, un unique point commun). Ce point d'intersection est la solution du système formé par les deux équations : on l'obtient en égalisant les deux expressions de $y$ . Si $m_1 = m_2$ mais $p_1 \neq p_2$ , le système est impossible (contradiction) — les droites ne se croisent jamais.

📖 Vocabulaire clé

Équation de droite : Toute droite non verticale s'écrit

y = mx + p

avec

m

la pente et

p

l'ordonnée à l'origine. Une droite verticale s'écrit

x = k

Droites parallèles : Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont la même pente :

m_1 = m_2

. Elles n'ont aucun point commun (sauf si elles sont confondues).

Droites sécantes : Deux droites de pentes différentes (

m_1 \neq m_2

). Elles se coupent en un unique point dont les coordonnées sont la solution du système.

Système d'équations : Ensemble de deux (ou plus) équations à résoudre simultanément. La solution est le couple

(x ; y)

vérifiant toutes les équations.

📋 Résoudre un système par substitution

1 Isoler une inconnue dans l'une des équations. Exemple : De $x + y = 5$ , on tire $y = 5 - x$ .
2 Substituer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue. Exemple : $2x + 3(5 - x) = 12$ → $2x + 15 - 3x = 12$ → $-x = -3$ → $x = 3$ .
3 Résoudre, puis trouver la deuxième inconnue par retour substitution. Exemple : $y = 5 - 3 = 2$ . Solution : $(3 ; 2)$ .
4 Vérifier dans les deux équations d'origine. Exemple : $3 + 2 = 5$ ✓ et $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ ✓.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Déterminer le point d'intersection des droites

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

Démarche :

Les pentes sont différentes ( $m_1 = 2 \neq m_2 = -1$ ) : les droites sont sécantes, il existe un unique point d'intersection.
On égalise : $2x + 1 = -x + 7$ → $3x = 6$ → $x = 2$ .
On remplace : $y = 2 \times 2 + 1 = 5$ .

Réponse : Le point d'intersection est

(2 ; 5)

📐 Formules clés

Équation de droite :

y = mx + p

Pente :

m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Système :

\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases} \Rightarrow m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2

🎨 Illustration

Résolution graphique d'un système

Intersection de

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

Reconstruction de l'exemple du cours : les deux droites sont sécantes et se coupent en un unique point, solution du système.

1 Les deux droites ont des pentes différentes ( $m_1 = 2 \neq m_2 = -1$ ) : elles sont donc sécantes et se coupent en un unique point.
2 Le point d'intersection $(2 ; 5)$ se lit graphiquement à la croisée des deux droites, et se retrouve par le calcul : $2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow x = 2$ .
3 Les ordonnées à l'origine se lisent où chaque droite coupe l'axe des $y$ : $d_1$ en $(0 ; 1)$ , $d_2$ en $(0 ; 7)$ .

Ce qu'il faut lire : Le point

(2 ; 5)

est la solution du système : c'est le seul couple

(x ; y)

qui vérifie à la fois

y = 2x + 1

y = -x + 7

Droites

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

, sécantes en

(2 ; 5)

— solution graphique de l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Si $m_1 = m_2$ et $p_1 \ne p_2$ , les droites sont parallèles : le système n'a pas de solution !

💡 À retenir

Toute droite non verticale a une équation $y = mx + p$ ; une droite verticale s'écrit $x = k$ .
Même pente → droites parallèles (pas de solution) ; pentes différentes → un unique point d'intersection.
Par substitution : isoler, remplacer, résoudre, puis remonter à la deuxième inconnue.
Toujours vérifier la solution dans les deux équations du système.

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