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Géométrie plane

Configurations, triangles, parallélisme

Tu es au pied de la pyramide de Khéops. Quelle est sa hauteur ?

Tu ne peux pas la mesurer : il faudrait grimper dessus en tenant un décamètre, et le sommet est à cent quarante mètres. Aucun instrument posé au sol ne te donnera ce nombre directement.

Thalès, il y a vingt-six siècles, a pourtant trouvé la réponse sans quitter le sable. Il a planté un bâton, mesuré son ombre, mesuré l'ombre de la pyramide, et comparé les deux rapports. Le soleil éclairant les deux objets sous le même angle, la pyramide est à son ombre ce que le bâton est à la sienne.

Quatre longueurs, dont trois mesurables au sol, et la quatrième s'en déduit.

C'est le cœur de ce chapitre : une configuration géométrique permet d'atteindre ce qu'aucune mesure directe ne donne. Tu connais déjà Thalès et Pythagore depuis le collège, et ils n'ont pas changé.

Ce que la seconde ajoute, c'est l'exigence de démontrer : nommer le théorème que tu emploies, vérifier que ses conditions sont bien réunies, puis conclure. Appliquer une formule ne suffit plus — il faut pouvoir dire pourquoi tu as le droit de l'appliquer.

📖 Vocabulaire clé

Théorème de Thalès : Si

(MN) \parallel (BC)

dans un triangle

ABC

avec

M \in [AB]

N \in [AC]

, alors

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Médiane : Droite joignant un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au centre de gravité.

Hauteur : Droite passant par un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Attention : elle ne passe pas nécessairement par le milieu du côté.

Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.

📋 Appliquer le théorème de Thalès

1 Identifier la configuration : deux droites sécantes et deux droites parallèles coupant ces sécantes. Exemple : Dans le triangle $ABC$ , si $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$ , la configuration est valide.
2 Écrire les rapports égaux : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ . Exemple : Si $AM = 3$ , $AB = 9$ → le rapport est $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .
3 Calculer la longueur inconnue par produit en croix. Exemple : $\frac{1}{3} = \frac{MN}{12}$ → $MN = \frac{12}{3} = 4$ .
4 Vérifier la cohérence (la longueur partielle est inférieure à la totale). Exemple : $MN = 4 < BC = 12$ ✓ (le petit triangle est plus petit).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un triangle

ABC

(MN) \parallel (BC)

avec

AM = 4

cm,

MB = 8

cm,

AN = 3

cm. Calculer

NC

MN

sachant que

BC = 15

cm.

Démarche :

$AB = AM + MB = 4 + 8 = 12$ cm. Le rapport de réduction est $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ .
$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3}$ → $AC = 3 \times 3 = 9$ cm, donc $NC = AC - AN = 9 - 3 = 6$ cm.
$\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{3}$ → $MN = \dfrac{15}{3} = 5$ cm.

Réponse :

NC = 6

cm et

MN = 5

cm.

📐 Formules clés

Thalès :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

Aire triangle :

\mathcal{A}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}

Somme des angles d'un triangle :

180°

🎨 Illustrations

Configuration de Thalès

Voir le rapport 1/3 entre les deux triangles emboîtés

Le petit triangle $AMN$ et le grand triangle $ABC$ partagent le sommet $A$ . Comme $(MN) \parallel (BC)$ , les longueurs correspondantes sont proportionnelles : $AM = 4$ , $AB = 12$ , et $MN = 5$ , $BC = 15$ .

1 Le triangle $AMN$ est emboîté dans le triangle $ABC$ : ils partagent le sommet $A$ , et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ — c'est la configuration de Thalès.
2 Les petits chevrons dessinés sur $MN$ et sur $BC$ indiquent que ces deux segments sont parallèles : c'est la condition indispensable pour appliquer le théorème.
3 Le rapport $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ se retrouve identique sur les trois paires de côtés : $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ .

Ce qu'il faut lire : Suivre chaque côté depuis le sommet commun

A

: on lit d'abord la petite longueur (

AM

AN

), puis la longueur totale (

AB

AC

Triangle

ABC

avec le petit triangle

AMN

emboîté au sommet

A

;

(MN) \parallel (BC)

dans un rapport de

\dfrac{1}{3}

, conformément à l'exemple du cours.

Le piège des agrandissements

Les longueurs sont divisées par deux, les aires par quatre

Réduis un carré de côté $10$ au rapport $k = \dfrac{1}{2}$ : tu obtiens un carré de côté $5$ . La longueur a bien été divisée par $2$ .

Mais regarde l'aire. Le grand carré mesure $10 \times 10 = 100$ , le petit $5 \times 5 = 25$ . L'aire a été divisée par $\mathbf{4}$ , pas par $2$ .

La figure de gauche te montre pourquoi en un coup d'œil : dans le grand carré, il tient exactement quatre petits carrés. Deux en largeur, deux en hauteur — et $2 \times 2 = 4$ . C'est de là que sort le carré du rapport.

1 Le rapport des longueurs vaut $k = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ : chaque côté du petit carré mesure la moitié du côté du grand.
2 Le rapport des aires vaut $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} = k^2$ : il faut quatre petits carrés pour remplir le grand, et les quatre sont numérotés sur la figure.
3 La raison est dans les unités : une longueur se mesure en mètres, une aire en mètres carrés. Si les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires le sont par $k^2$ — et, l'an prochain, les volumes par $k^3$ .
4 La règle ne dépend pas de la forme : pour une réduction de rapport $k = \dfrac{2}{5}$ , les aires seront multipliées par $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$ , que la figure soit un carré, un triangle ou un disque.

Ce qu'il faut lire : Compte les petits carrés à gauche : il y en a

1

2

3

4

. Tu viens de fabriquer toi-même le facteur

4

, sans appliquer aucune formule.

Retiens le mécanisme plutôt que le résultat : réduire de moitié agit deux fois, une fois en largeur et une fois en hauteur. C'est ce doublement de l'effet qui produit le carré du rapport, et c'est pour cela que ta règle « je multiplie par

k

» avait raison à moitié.

Réduction de rapport

k = \dfrac{1}{2}

: le côté passe de

10

5

, mais l'aire passe de

100

25

, soit

k^2 = \dfrac{1}{4}

Quatre noms, quatre objets

Sur un triangle quelconque, les droites remarquables se séparent

Si tu confonds médiane, hauteur, bissectrice et médiatrice, ce n'est pas ta faute : sur le triangle équilatéral, celui que tout le monde dessine, ces quatre droites sont confondues. Ton expérience visuelle ne les a jamais séparées.

Voici donc un triangle franchement quelconque. Les trois droites issues de $A$ arrivent sur $[BC]$ à trois endroits différents, et la médiatrice, elle, ne part même pas d'un sommet.

Chaque nom contient ce qui le distingue : la médiane va au milieu, la hauteur tombe perpendiculairement, la bissectrice coupe l'angle en deux, la médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu.

1 La hauteur issue de $A$ tombe perpendiculairement sur $(BC)$ : elle forme un angle droit, codé ici par le petit carré. Elle ne vise aucun milieu.
2 La bissectrice issue de $A$ partage l'angle $\widehat{BAC}$ en deux angles égaux. Son pied découpe $[BC]$ dans le rapport des côtés : $\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{100}{160}$ .
3 La médiane issue de $A$ rejoint le milieu de $[BC]$ . C'est la seule des trois dont le pied soit un milieu, et elle n'a aucune raison d'être perpendiculaire.
4 La médiatrice de $[AB]$ est le seul objet des quatre qui ne parte d'aucun sommet : elle coupe $[AB]$ perpendiculairement en son milieu. Tous ses points sont à égale distance de $A$ et de $B$ .

Ce qu'il faut lire : Redessine maintenant ce triangle en équilatéral et refais les quatre tracés : les quatre droites se superposent en une seule. C'est exactement ce qui t'a induit en erreur, et tu peux le constater toi-même en dix secondes.

Le réflexe à prendre : dès qu'un énoncé parle d'une droite remarquable, demande-toi ce qu'elle fait — va-t-elle au milieu, tombe-t-elle à angle droit, coupe-t-elle un angle ? La définition suffit à trancher, et tu n'as plus quatre mots à mémoriser.

Triangle quelconque

ABC

(

AB = 100

AC = 160

BC = 156

) : hauteur, bissectrice et médiane issues de

A

arrivent en trois points distincts de

[BC]

, et la médiatrice de

[AB]

ne part d'aucun sommet.

La hauteur dépend de la base

Quand le pied de la hauteur sort du triangle

Une hauteur n'existe pas toute seule : elle est toujours relative à une base. Change de base, et tu changes de hauteur.

Les deux triangles ci-dessous ont la même base et la même hauteur, donc exactement la même aire. Mais à droite, le sommet est si décalé que le pied de la hauteur tombe en dehors du triangle. Beaucoup d'élèves refusent alors de la voir comme une hauteur : elle en est pourtant une, et le calcul d'aire ne change pas d'un iota.

1 Les deux bases mesurent $130$ et les deux hauteurs $104$ : les deux triangles ont donc la même aire, $\dfrac{130 \times 104}{2} = 6\,760$ .
2 À droite, l'angle en $B$ dépasse $90°$ (il vaut environ $108°$ ). Le sommet est alors « en arrière » de la base, et le pied de la hauteur sort du segment : c'est le cas du triangle obtusangle.
3 Le trait en tirets est le prolongement de la base. Il ne fait pas partie du triangle, mais la hauteur a bien le droit de le rencontrer : la définition dit « perpendiculaire à la droite $(BC)$ », pas « au segment $[BC]$ ».
4 Dans les deux cas, la formule est la même : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ . Ce qui change est le dessin, jamais le calcul.

Ce qu'il faut lire : Le réflexe à prendre est simple : avant de calculer une aire, dis à voix haute quelle base tu as choisie. La hauteur qui va avec est celle qui part du sommet opposé à cette base, et elle tombe à angle droit — dedans ou dehors, peu importe.

Si tu prends une autre base, tu devras prendre une autre hauteur. Mélanger la base de l'une avec la hauteur de l'autre est l'erreur la plus fréquente sur les aires, et elle donne un résultat qui peut sembler tout à fait raisonnable.

Deux triangles de même base (

130

) et de même hauteur (

104

), donc de même aire : à droite, le pied de la hauteur tombe hors du triangle.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Thalès s'applique uniquement si $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ ET que $(MN)\parallel(BC)$ .

✅ La suggestion

Vérifier les conditions avant d'écrire les rapports.

💡 À retenir

Thalès lie les rapports de longueurs quand une droite est parallèle à un côté du triangle.
Le rapport des aires de deux triangles en configuration de Thalès est le carré du rapport de réduction : $k^2$ .
Quatre droites remarquables : médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice — ne pas les confondre.
La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$ .

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