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Géométrie plane

Configurations, triangles, parallélisme

La géométrie plane combine raisonnement logique et calcul pour prouver des propriétés sur des figures.

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs inaccessibles à partir de rapports entre segments parallèles.

Dans un triangle, quatre droites remarquables se distinguent par leur définition : la médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; la hauteur est perpendiculaire au côté opposé (mais pas nécessairement en son milieu) ; la médiatrice est perpendiculaire au côté par son milieu ; la bissectrice divise l'angle en deux parties égales.

Confondre ces quatre notions est l'une des erreurs les plus fréquentes en géométrie.

📖 Vocabulaire clé

Théorème de Thalès : Si

(MN) \parallel (BC)

dans un triangle

ABC

avec

M \in [AB]

N \in [AC]

, alors

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Médiane : Droite joignant un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au centre de gravité.

Hauteur : Droite passant par un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Attention : elle ne passe pas nécessairement par le milieu du côté.

Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.

📋 Appliquer le théorème de Thalès

1 Identifier la configuration : deux droites sécantes et deux droites parallèles coupant ces sécantes. Exemple : Dans le triangle $ABC$ , si $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$ , la configuration est valide.
2 Écrire les rapports égaux : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ . Exemple : Si $AM = 3$ , $AB = 9$ → le rapport est $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .
3 Calculer la longueur inconnue par produit en croix. Exemple : $\frac{1}{3} = \frac{MN}{12}$ → $MN = \frac{12}{3} = 4$ .
4 Vérifier la cohérence (la longueur partielle est inférieure à la totale). Exemple : $MN = 4 < BC = 12$ ✓ (le petit triangle est plus petit).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un triangle

ABC

(MN) \parallel (BC)

avec

AM = 4

cm,

MB = 8

cm,

AN = 3

cm. Calculer

NC

MN

sachant que

BC = 15

cm.

Démarche :

$AB = AM + MB = 4 + 8 = 12$ cm. Le rapport de réduction est $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ .
$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3}$ → $AC = 3 \times 3 = 9$ cm, donc $NC = AC - AN = 9 - 3 = 6$ cm.
$\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{3}$ → $MN = \dfrac{15}{3} = 5$ cm.

Réponse :

NC = 6

cm et

MN = 5

cm.

📐 Formules clés

Thalès :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

Aire triangle :

\mathcal{A}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}

Somme des angles d'un triangle :

180°

🎨 Illustration

Configuration de Thalès

Voir le rapport 1/3 entre les deux triangles emboîtés

Le petit triangle $AMN$ et le grand triangle $ABC$ partagent le sommet $A$ . Comme $(MN) \parallel (BC)$ , les longueurs correspondantes sont proportionnelles : $AM = 4$ , $AB = 12$ , et $MN = 5$ , $BC = 15$ .

1 Le triangle $AMN$ est emboîté dans le triangle $ABC$ : ils partagent le sommet $A$ , et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ — c'est la configuration de Thalès.
2 Les petits chevrons dessinés sur $MN$ et sur $BC$ indiquent que ces deux segments sont parallèles : c'est la condition indispensable pour appliquer le théorème.
3 Le rapport $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ se retrouve identique sur les trois paires de côtés : $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ .

Ce qu'il faut lire : Suivre chaque côté depuis le sommet commun

A

: on lit d'abord la petite longueur (

AM

AN

), puis la longueur totale (

AB

AC

Triangle

ABC

avec le petit triangle

AMN

emboîté au sommet

A

;

(MN) \parallel (BC)

dans un rapport de

\dfrac{1}{3}

, conformément à l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Thalès s'applique uniquement si $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ ET que $(MN)\parallel(BC)$ .

✅ La suggestion

Vérifier les conditions avant d'écrire les rapports.

💡 À retenir

Thalès lie les rapports de longueurs quand une droite est parallèle à un côté du triangle.
Le rapport des aires de deux triangles en configuration de Thalès est le carré du rapport de réduction : $k^2$ .
Quatre droites remarquables : médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice — ne pas les confondre.
La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$ .

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