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Statistiques descriptives

Variance, écart-type, dispersion

Deux lignes de train desservent la même gare. Les deux ont exactement dix minutes de retard en moyenne.

Tu as un entretien important. Laquelle prends-tu ?

La question paraît absurde : puisque les moyennes sont identiques, les deux lignes se valent. Regarde pourtant ce qui se cache derrière ces deux chiffres égaux.

La ligne A a toujours entre 88 et 1212 minutes de retard. Jamais moins, jamais plus. La ligne B, elle, est presque toujours à l'heure — mais tombe une fois sur douze en panne, avec deux heures de retard.

Vérifie : pour la ligne B, 120120 minutes de retard une fois sur douze, cela fait bien 12012=10\dfrac{120}{12} = 10 minutes en moyenne. Les deux lignes sont donc à égalité parfaite sur ce critère.

Et pourtant, pour un entretien, tu prends la ligne A sans hésiter : tu sais exactement ce qui t'attend.

Ce que la moyenne ne dit pas, c'est à quel point les valeurs sont groupées ou éparpillées. Il manque donc un second nombre, qui mesure cet éparpillement : c'est la dispersion, et tout ce chapitre sert à la calculer et à la lire.

Tu connais la moyenne depuis l'école primaire. Ce que la seconde ajoute, c'est l'idée qu'une moyenne seule ne décrit rien : il faut toujours l'accompagner de sa dispersion, sans quoi on peut lui faire dire à peu près n'importe quoi.

📖 Vocabulaire clé

Moyenne : Somme des valeurs divisée par l'effectif total : xˉ=1n∑xi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i. Sensible aux valeurs extrêmes.
Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne : V=1n∑(xi−xˉ)2V = \dfrac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2. Mesure la dispersion.
Écart-type : σ=V\sigma = \sqrt{V}. Exprimé dans les mêmes unités que les données, il est plus facile à interpréter que la variance.
Dispersion : Mesure de la variabilité des données autour de la moyenne. Plus σ\sigma est grand, plus les données sont dispersées.

📋 Calculer l'écart-type

  1. 1 Calculer la moyenne xˉ=1n∑xi\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i. Exemple : Série {4;6;8}\{4 ; 6 ; 8\} → xˉ=4+6+83=6\bar{x} = \frac{4+6+8}{3} = 6.
  2. 2 Calculer la variance V=1n∑(xi−xˉ)2V=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2. Exemple : V=(4−6)2+(6−6)2+(8−6)23=4+0+43≈2,67V = \frac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} \approx 2{,}67.
  3. 3 L'écart-type est σ=V\sigma=\sqrt{V}. Exemple : σ=2,67≈1,63\sigma = \sqrt{2{,}67} \approx 1{,}63.
  4. 4 Interpréter : environ 68%68\% des données sont dans [xˉ−σ;xˉ+σ][\bar{x}-\sigma ; \bar{x}+\sigma]. Exemple : Ici [6−1,63;6+1,63]=[4,37;7,63][6-1{,}63 ; 6+1{,}63] = [4{,}37 ; 7{,}63].

✅ Exemple résolu

Énoncé : On mesure les tailles (en cm) de 55 élèves : {162;168;170;172;178}\{162 ; 168 ; 170 ; 172 ; 178\}. Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
Démarche :
  1. Moyenne : xˉ=162+168+170+172+1785=8505=170\bar{x} = \dfrac{162 + 168 + 170 + 172 + 178}{5} = \dfrac{850}{5} = 170 cm.
  2. Écarts au carré : (162−170)2=64(162-170)^2 = 64, (168−170)2=4(168-170)^2 = 4, (170−170)2=0(170-170)^2 = 0, (172−170)2=4(172-170)^2 = 4, (178−170)2=64(178-170)^2 = 64.
  3. Variance : V=64+4+0+4+645=1365=27,2V = \dfrac{64+4+0+4+64}{5} = \dfrac{136}{5} = 27{,}2 cm².
  4. Écart-type : σ=27,2≈5,22\sigma = \sqrt{27{,}2} \approx 5{,}22 cm.
Réponse : xˉ=170\bar{x} = 170 cm, V=27,2V = 27{,}2 cm², σ≈5,22\sigma \approx 5{,}22 cm.

📐 Formules clés

xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i
V=1n∑i=1n(xi−xˉ)2V = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
σ=V\sigma = \sqrt{V}

🎨 Illustrations

Nuage de points
Série des tailles : moyenne et écart-type

Cinq tailles d'élèves (en cm), l'exemple du cours, placées sur un axe : moyenne xˉ=170\bar{x}=170 cm et bande [xˉ−σ ; xˉ+σ][\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma] calculée à partir de σ=27,2≈5,22\sigma=\sqrt{27{,}2}\approx 5{,}22 cm.

Nuage de points de la serie des tailles avec moyenne et ecart-type Cinq points places sur un axe gradue de 155 a 185 cm, avec une bande centree sur la moyenne 170 cm et large d'un ecart-type de part et d'autre. 162 168 170 172 178 moyenne = 170 cm 164,78 175,22 155 160 165 170 175 180 185 cm 3 valeurs sur 5
  • 1 Série des tailles (cm) du cours : {162 ; 168 ; 170 ; 172 ; 178}\{162\,;\,168\,;\,170\,;\,172\,;\,178\}, moyenne xˉ=170\bar{x} = 170 cm.
  • 2 Écart-type : σ=27,2≈5,22\sigma = \sqrt{27{,}2} \approx 5{,}22 cm (valeur calculée dans l'exemple du cours).
  • 3 Bande [xˉ−σ ; xˉ+σ]=[164,78 ; 175,22][\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma] = [164{,}78\,;\,175{,}22] cm : 33 des 55 tailles y sont comprises (168168, 170170, 172172), soit 60%60\% — proche des 68%68\% théoriques mais sur un échantillon trop petit pour vérifier la règle empirique avec précision.
Ce qu'il faut lire : La règle des 68%68\% ([xˉ−σ ; xˉ+σ][\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma]) décrit une tendance valable pour de grandes séries en forme de cloche ; sur seulement 55 valeurs elle reste approximative — ici 33 tailles sur 55 (soit 60%60\%) tombent dans la bande.
Série statistique des tailles de 55 élèves, avec la moyenne xˉ=170\bar{x}=170 cm et la bande xˉ±σ\bar{x}\pm\sigma.
Le malentendu fondateur
Même moyenne, et pourtant rien à voir

Ces deux séries ont exactement la même moyenne et le même effectif. Elles sont dessinées sur le même axe et à la même échelle.

Pourtant, personne ne soutiendra qu'elles décrivent la même chose. C'est précisément ce que la moyenne, seule, ne sait pas dire — et c'est pour cela que l'écart-type existe.

Deux series de meme moyenne et de dispersions opposees Deux series de cinq valeurs sont placees sur deux axes horizontaux superposes, gradues de zero a vingt avec la meme echelle. La serie du haut vaut huit, neuf, dix, onze, douze : ses points sont serres autour de dix. La serie du bas vaut deux, six, dix, quatorze, dix-huit : ses points sont etales sur tout l'axe. Les deux series ont la meme moyenne, dix, materialisee par une seule ligne verticale qui traverse les deux axes au meme endroit. L'ecart-type vaut environ un virgule quatre pour la premiere serie et environ cinq virgule sept pour la seconde. même moyenne = 10 0 4 8 12 16 20 série groupée écart-type ≈ 1,4 0 4 8 12 16 20 série étalée écart-type ≈ 5,7
  • 1 Série du haut : {8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}\{8\,;\,9\,;\,10\,;\,11\,;\,12\}, de moyenne xˉ=10\bar{x} = 10 et d'écart-type σ=2≈1,4\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}4.
  • 2 Série du bas : {2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18}\{2\,;\,6\,;\,10\,;\,14\,;\,18\}, de moyenne xˉ=10\bar{x} = 10 elle aussi, mais d'écart-type σ=32≈5,7\sigma = \sqrt{32} \approx 5{,}7 — soit quatre fois plus.
  • 3 La ligne verticale est unique : elle traverse les deux axes au même endroit, parce que les deux moyennes sont réellement égales. Tout le reste diffère.
Ce qu'il faut lire : Couvre un instant les points avec ta main et ne regarde que la ligne de moyenne : les deux séries deviennent indiscernables. C'est exactement l'information dont tu disposes quand on ne te donne que la moyenne.

Découvre maintenant les points : tu vois immédiatement que l'une est resserrée et l'autre étalée. L'écart-type est le nombre qui te rend cette information quand tu n'as pas le dessin sous les yeux.
Deux séries de moyenne 1010, d'écarts-types 2\sqrt{2} et 32\sqrt{32}, sur un axe commun.
Le piège du chapitre
Une seule valeur extrême déplace la moyenne, pas la médiane

Les deux séries ne diffèrent que par une seule valeur : le 1818 du haut est devenu 7878 en bas. Tout le reste est identique, et les deux axes ont la même échelle.

Observe ce que devient chacun des deux indicateurs.

La mediane resiste a une valeur extreme Deux series de cinq valeurs sont placees sur deux axes horizontaux de meme echelle, gradues de zero a quatre-vingts. La serie du haut vaut dix, douze, quatorze, seize, dix-huit : sa moyenne et sa mediane valent toutes deux quatorze et se superposent. Dans la serie du bas, la derniere valeur est passee de dix-huit a soixante-dix-huit ; sa mediane vaut toujours quatorze, au meme endroit qu'en haut, mais sa moyenne a ete tiree jusqu'a vingt-six, nettement a droite. 0 20 40 60 80 moyenne = médiane = 14 série de départ 0 20 40 60 80 78 médiane = 14 moyenne = 26 une seule valeur a changé
  • 1 Série du haut : {10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18}\{10\,;\,12\,;\,14\,;\,16\,;\,18\}. Sa moyenne et sa médiane valent toutes deux 1414, et se superposent donc sur le dessin.
  • 2 Série du bas : {10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 78}\{10\,;\,12\,;\,14\,;\,16\,;\,78\}. La médiane vaut encore 1414, car c'est toujours la troisième valeur de la liste triée.
  • 3 La moyenne, elle, est passée à 10+12+14+16+785=1305=26\dfrac{10+12+14+16+78}{5} = \dfrac{130}{5} = 26 : une seule donnée l'a déplacée de 1212 unités.
Ce qu'il faut lire : La médiane ne compte que des rangs : peu importe que la dernière valeur soit 1818 ou 7878, elle reste la dernière, et la valeur du milieu ne bouge pas.

La moyenne, elle, additionne les valeurs : une donnée très grande pèse très lourd dans la somme. Retiens-en un réflexe utile pour la vie courante : quand on te parle d'un salaire « moyen », demande-toi toujours ce que dirait la médiane.
Effet d'une valeur extrême : la médiane reste à 1414, la moyenne passe de 1414 à 2626.
Pourquoi élever au carré
Les écarts simples s'annulent, les écarts au carré non

Ton idée de regarder les écarts à la moyenne est exactement la bonne : c'est celle que les mathématiciens ont suivie. Elle se heurte pourtant à un obstacle qu'il faut voir une fois pour le retenir.

À gauche, les écarts tels quels. À droite, les mêmes écarts élevés au carré.

Ecarts simples contre ecarts au carre Sur la serie quatre, six, huit de moyenne six, deux dessins sont compares. A gauche, les ecarts a la moyenne sont representes par deux barres opposees : une barre de moins deux vers la gauche et une barre de plus deux vers la droite, de meme longueur. Leur somme est nulle. A droite, les memes ecarts eleves au carre donnent deux barres de quatre, toutes deux du meme cote, dont la somme vaut huit. La variance vaut huit divise par trois, soit environ deux virgule six sept. écarts simples 0 -2 0 +2 somme = 0 on ne mesure rien écarts au carré 0 4 0 4 somme = 8 la dispersion se mesure
  • 1 Série {4 ; 6 ; 8}\{4\,;\,6\,;\,8\} de la méthode du cours, de moyenne xˉ=6\bar{x} = 6. Les écarts valent −2-2, 00 et +2+2.
  • 2 Leur somme vaut −2+0+2=0-2 + 0 + 2 = 0, et ce n'est pas un hasard : la somme des écarts à la moyenne est toujours nulle, quelle que soit la série. Un indicateur qui vaut 00 pour tout le monde ne distingue personne.
  • 3 Élevés au carré, les écarts deviennent 44, 00 et 44 : plus aucun signe négatif, donc plus d'annulation possible. Leur moyenne est la variance, V=83≈2,67V = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67, et sa racine est l'écart-type, σ≈1,63\sigma \approx 1{,}63.
Ce qu'il faut lire : Regarde à gauche les deux barres de même longueur, l'une vers le bas et l'autre vers le haut : elles se détruisent mutuellement.

À droite, le carré a fait basculer la barre du bas vers le haut. Les deux contributions s'ajoutent au lieu de se compenser, et le total devient une véritable mesure de l'étalement.

C'est aussi pourquoi il faut ensuite reprendre la racine carrée : la variance est exprimée en unités au carré, l'écart-type revient dans l'unité des données.
Sur {4 ; 6 ; 8}\{4\,;\,6\,;\,8\} : somme des écarts simples =0= 0, somme des écarts au carré =8= 8.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La variance se calcule avec les écarts à la moyenne au carré, pas en valeur absolue.

✅ La suggestion

Ne pas confondre VV et σ\sigma.

💡 À retenir

  • La moyenne mesure la tendance centrale ; la variance et l'écart-type mesurent la dispersion.
  • On utilise les écarts au carré (pas les écarts simples, dont la somme est toujours nulle).
  • σ\sigma a les mêmes unités que les données ; la variance est en unités² — c'est pourquoi on préfère σ\sigma.
  • Un σ\sigma faible = données groupées autour de la moyenne ; un σ\sigma élevé = données dispersées.
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