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📊

Statistiques descriptives

Variance, écart-type, dispersion

La moyenne est la mesure de tendance centrale la plus utilisée, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes. La variance mesure la dispersion en moyennant les CARRÉS des écarts à la moyenne (pas les écarts simples, dont la somme est toujours nulle). L'écart-type σ=V\sigma = \sqrt{V} est exprimé dans les mêmes unités que les données — ce qui le rend plus interprétable que la variance. Un écart-type faible signifie des données regroupées autour de la moyenne ; élevé, des données très dispersées. La règle empirique des 68%68\% dit qu'environ les deux tiers des données se trouvent dans [xˉ−σ;xˉ+σ][\bar{x}-\sigma ; \bar{x}+\sigma] pour une distribution en cloche.

📖 Vocabulaire clé

Moyenne : Somme des valeurs divisée par l'effectif total : xˉ=1n∑xi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i. Sensible aux valeurs extrêmes.
Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne : V=1n∑(xi−xˉ)2V = \dfrac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2. Mesure la dispersion.
Écart-type : σ=V\sigma = \sqrt{V}. Exprimé dans les mêmes unités que les données, il est plus facile à interpréter que la variance.
Dispersion : Mesure de la variabilité des données autour de la moyenne. Plus σ\sigma est grand, plus les données sont dispersées.

📋 Calculer l'écart-type

  1. 1 Calculer la moyenne xˉ=1n∑xi\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i. Exemple : Série {4;6;8}\{4 ; 6 ; 8\} → xˉ=4+6+83=6\bar{x} = \frac{4+6+8}{3} = 6.
  2. 2 Calculer la variance V=1n∑(xi−xˉ)2V=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2. Exemple : V=(4−6)2+(6−6)2+(8−6)23=4+0+43≈2,67V = \frac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} \approx 2{,}67.
  3. 3 L'écart-type est σ=V\sigma=\sqrt{V}. Exemple : σ=2,67≈1,63\sigma = \sqrt{2{,}67} \approx 1{,}63.
  4. 4 Interpréter : environ 68%68\% des données sont dans [xˉ−σ;xˉ+σ][\bar{x}-\sigma ; \bar{x}+\sigma]. Exemple : Ici [6−1,63;6+1,63]=[4,37;7,63][6-1{,}63 ; 6+1{,}63] = [4{,}37 ; 7{,}63].

✅ Exemple résolu

Énoncé : On mesure les tailles (en cm) de 55 élèves : {162;168;170;172;178}\{162 ; 168 ; 170 ; 172 ; 178\}. Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
Démarche :
  1. Moyenne : xˉ=162+168+170+172+1785=8505=170\bar{x} = \dfrac{162 + 168 + 170 + 172 + 178}{5} = \dfrac{850}{5} = 170 cm.
  2. Écarts au carré : (162−170)2=64(162-170)^2 = 64, (168−170)2=4(168-170)^2 = 4, (170−170)2=0(170-170)^2 = 0, (172−170)2=4(172-170)^2 = 4, (178−170)2=64(178-170)^2 = 64.
  3. Variance : V=64+4+0+4+645=1365=27,2V = \dfrac{64+4+0+4+64}{5} = \dfrac{136}{5} = 27{,}2 cm².
  4. Écart-type : σ=27,2≈5,22\sigma = \sqrt{27{,}2} \approx 5{,}22 cm.
Réponse : xˉ=170\bar{x} = 170 cm, V=27,2V = 27{,}2 cm², σ≈5,22\sigma \approx 5{,}22 cm.

📐 Formules clés

xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i
V=1n∑i=1n(xi−xˉ)2V = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
σ=V\sigma = \sqrt{V}

🎨 Illustration

Nuage de points
Série des tailles : moyenne et écart-type

Cinq tailles d'élèves (en cm), l'exemple du cours, placées sur un axe : moyenne xˉ=170\bar{x}=170 cm et bande [xˉ−σ ; xˉ+σ][\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma] calculée à partir de σ=27,2≈5,22\sigma=\sqrt{27{,}2}\approx 5{,}22 cm.

Nuage de points de la serie des tailles avec moyenne et ecart-type Cinq points places sur un axe gradue de 155 a 185 cm, avec une bande centree sur la moyenne 170 cm et large d'un ecart-type de part et d'autre. 162 168 170 172 178 moyenne = 170 cm 164,78 175,22 155 160 165 170 175 180 185 cm 3 valeurs sur 5
  • 1 Série des tailles (cm) du cours : {162 ; 168 ; 170 ; 172 ; 178}\{162\,;\,168\,;\,170\,;\,172\,;\,178\}, moyenne xˉ=170\bar{x} = 170 cm.
  • 2 Écart-type : σ=27,2≈5,22\sigma = \sqrt{27{,}2} \approx 5{,}22 cm (valeur calculée dans l'exemple du cours).
  • 3 Bande [xˉ−σ ; xˉ+σ]=[164,78 ; 175,22][\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma] = [164{,}78\,;\,175{,}22] cm : 33 des 55 tailles y sont comprises (168168, 170170, 172172), soit 60%60\% — proche des 68%68\% théoriques mais sur un échantillon trop petit pour vérifier la règle empirique avec précision.
Ce qu'il faut lire : La règle des 68%68\% ([xˉ−σ ; xˉ+σ][\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma]) décrit une tendance valable pour de grandes séries en forme de cloche ; sur seulement 55 valeurs elle reste approximative — ici 33 tailles sur 55 (soit 60%60\%) tombent dans la bande.
Série statistique des tailles de 55 élèves, avec la moyenne xˉ=170\bar{x}=170 cm et la bande xˉ±σ\bar{x}\pm\sigma.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La variance se calcule avec les écarts à la moyenne au carré, pas en valeur absolue.

✅ La suggestion

Ne pas confondre VV et σ\sigma.

💡 À retenir

  • La moyenne mesure la tendance centrale ; la variance et l'écart-type mesurent la dispersion.
  • On utilise les écarts au carré (pas les écarts simples, dont la somme est toujours nulle).
  • σ\sigma a les mêmes unités que les données ; la variance est en unités² — c'est pourquoi on préfère σ\sigma.
  • Un σ\sigma faible = données groupées autour de la moyenne ; un σ\sigma élevé = données dispersées.
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