🎲

Probabilités

Modèle, loi, événements

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit à l'avance — contrairement à une expérience déterministe. L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues possibles.

La probabilité $P(A)$ est un réel de $[0;1]$ qui mesure la fréquence relative de l'événement $A$ sur un grand nombre de répétitions.

En cas d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité), $P(A) = |A| / |\Omega|$ . L'équiprobabilité n'est pas automatique : un dé truqué ou une urne déséquilibrée ne la vérifient pas.

Les lancers successifs sont des épreuves indépendantes : la pièce n'a pas de mémoire, et les résultats passés n'influencent pas les futurs.

📖 Vocabulaire clé

Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat ne peut pas être prédit à l'avance (ex. : lancer un dé, tirer une carte).

Univers $\Omega$ : Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Ex. : dé à

6

faces →

\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}

Événement : Sous-ensemble de

\Omega

. Ex. : « obtenir un nombre pair »

= \{2;4;6\}

Événement contraire :

\bar{A}

contient toutes les issues de

\Omega

qui ne sont pas dans

A

. On a

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

📋 Calculer une probabilité

1 Définir l'univers $\Omega$ et vérifier si les issues sont équiprobables. Exemple : Dé équilibré à $6$ faces → $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$ , équiprobabilité.
2 Compter les issues favorables à $A$ . Exemple : $A$ = « obtenir un multiple de $3$ » → $A = \{3;6\}$ , soit $2$ issues.
3 Appliquer la formule $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ si équiprobabilité. Exemple : $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
4 Événement contraire : utiliser $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . Exemple : $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (ne pas obtenir un multiple de $3$ ).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans une classe de

30

élèves,

12

pratiquent le basketball (

B

10

font de la natation (

N

), et

4

font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer

P(B \cup N)

Démarche :

On identifie : $P(B) = \frac{12}{30}$ , $P(N) = \frac{10}{30}$ , $P(B \cap N) = \frac{4}{30}$ .
Formule d'addition : $P(B \cup N) = P(B) + P(N) - P(B \cap N) = \frac{12}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30} = \frac{18}{30} = 0{,}6$ .
Vérification : $18$ élèves font au moins un des deux sports (parmi $30$ ).

Réponse :

P(B \cup N) = 0{,}6

: la probabilité qu'un élève pratique au moins l'un des deux sports est

60\%

📐 Formules clés

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

(cas équiprobable)

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

0 \le P(A) \le 1

🎨 Illustration

Diagramme de Venn

Union et intersection sur l'exemple de la classe de 30 élèves

Dans une classe de $30$ élèves : $B$ = « pratiquer le basketball » ( $12$ élèves), $N$ = « faire de la natation » ( $10$ élèves), et $4$ élèves pratiquent les deux. La zone ombrée est l'intersection $B \cap N$ , comptée une seule fois dans $P(B \cup N)$ .

1 L'ensemble $B$ = « pratiquer le basketball » regroupe $12$ élèves sur $30$ : $P(B) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4$ .
2 L'ensemble $N$ = « faire de la natation » regroupe $10$ élèves sur $30$ : $P(N) = \dfrac{10}{30} \approx 0{,}33$ .
3 La zone ombrée (l'intersection) représente les $4$ élèves qui pratiquent les deux activités : $P(B \cap N) = \dfrac{4}{30} \approx 0{,}13$ .
4 En dehors des deux cercles : $30 - 18 = 12$ élèves qui ne pratiquent ni l'un ni l'autre.

Ce qu'il faut lire : La zone ombrée n'est comptée qu'une seule fois :

P(B \cup N) = P(B) + P(N) - P(B \cap N) = \dfrac{12+10-4}{30} = \dfrac{18}{30} = 0{,}6

Diagramme de Venn pour le choix d'un élève au hasard dans une classe de

30

B

= basketball,

N

= natation, intersection ombrée = pratique les deux.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre $P(A\cup B)$ et $P(A)+P(B)$ : la formule d'addition doit soustraire $P(A\cap B)$ pour ne pas compter deux fois l'intersection.

💡 À retenir

Probabilité = nombre entre $0$ et $1$ ; la somme des probabilités de tous les événements vaut $1$ .
En cas d'équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ , souvent plus rapide que de compter directement.
Formule d'addition : toujours soustraire $P(A \cap B)$ pour éviter de compter deux fois l'intersection.

← Statistiques descriptives 12 / 36 → Échantillonnage et estimation