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Probabilités

Modèle, loi, événements

Tu lances une pièce équilibrée. Elle tombe sur pile. Tu recommences : pile. Encore : pile.

Neuf fois de suite, pile.

Au dixième lancer, quelle est la probabilité d'obtenir face ?

Presque tout le monde répond « plus d'une chance sur deux », parce que face est en retard. C'est faux, et c'est sans doute la croyance la plus répandue au monde sur le hasard.

La réponse est exactement 12\dfrac{1}{2}, comme au premier lancer. La raison tient en une question : la pièce se souvient-elle des neuf lancers précédents ? Elle n'a ni mémoire, ni mécanisme pour rattraper quoi que ce soit. Chaque lancer recommence à zéro.

Alors pourquoi dit-on que les fréquences finissent par s'équilibrer ? Parce que sur dix mille lancers, une avance de neuf piles devient négligeable — pas parce qu'elle est compensée. C'est une dilution, jamais un rattrapage, et toute la différence est là.

Ce chapitre te donne de quoi raisonner sur l'aléatoire au lieu de te fier à ton intuition, qui te trompera encore souvent cette année. Tu apprendras à décrire toutes les issues possibles, à calculer une probabilité, et à combiner deux événements sans compter deux fois ce qui leur est commun.

📖 Vocabulaire clé

Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat ne peut pas être prédit à l'avance (ex. : lancer un dé, tirer une carte).
Univers Ω\Omega : Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Ex. : dé à 66 faces → Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}.
Événement : Sous-ensemble de Ω\Omega. Ex. : « obtenir un nombre pair » ={2;4;6}= \{2;4;6\}.
Événement contraire : Aˉ\bar{A} contient toutes les issues de Ω\Omega qui ne sont pas dans AA. On a P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

📋 Calculer une probabilité

  1. 1 Définir l'univers Ω\Omega et vérifier si les issues sont équiprobables. Exemple : Dé équilibré à 66 faces → Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}, équiprobabilité.
  2. 2 Compter les issues favorables à AA. Exemple : AA = « obtenir un multiple de 33 » → A={3;6}A = \{3;6\}, soit 22 issues.
  3. 3 Appliquer la formule P(A)=nombre d’issues favorablesnombre total d’issuesP(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} si équiprobabilité. Exemple : P(A)=26=13P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
  4. 4 Événement contraire : utiliser P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A). Exemple : P(Aˉ)=1−13=23P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} (ne pas obtenir un multiple de 33).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans une classe de 3030 élèves, 1212 pratiquent le basketball (BB), 1010 font de la natation (NN), et 44 font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer P(B∪N)P(B \cup N).
Démarche :
  1. On identifie : P(B)=1230P(B) = \frac{12}{30}, P(N)=1030P(N) = \frac{10}{30}, P(B∩N)=430P(B \cap N) = \frac{4}{30}.
  2. Formule d'addition : P(B∪N)=P(B)+P(N)−P(B∩N)=1230+1030−430=1830=0,6P(B \cup N) = P(B) + P(N) - P(B \cap N) = \frac{12}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30} = \frac{18}{30} = 0{,}6.
  3. Vérification : 1818 élèves font au moins un des deux sports (parmi 3030).
Réponse : P(B∪N)=0,6P(B \cup N) = 0{,}6 : la probabilité qu'un élève pratique au moins l'un des deux sports est 60%60\%.

📐 Formules clés

P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} (cas équiprobable)
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1

🎨 Illustrations

Diagramme de Venn
Union et intersection sur l'exemple de la classe de 30 élèves

Dans une classe de 3030 élèves : BB = « pratiquer le basketball » (1212 élèves), NN = « faire de la natation » (1010 élèves), et 44 élèves pratiquent les deux. La zone ombrée est l'intersection B∩NB \cap N, comptée une seule fois dans P(B∪N)P(B \cup N).

Diagramme de Venn pour le choix d'un eleve parmi 30 Deux ensembles se chevauchent dans l'univers des 30 eleves d'une classe : B regroupe les 12 eleves qui pratiquent le basketball, N regroupe les 10 eleves qui font de la natation, et leur intersection ombree, les 4 eleves qui pratiquent les deux, ne compte qu'une seule fois dans l'union. Univers : 30 élèves B : Basket 12 élèves N : Natation 10 élèves 8 4 6 12 élèves ni basket ni natation Zone ombrée = B ∩ N = 4 élèves
  • 1 L'ensemble BB = « pratiquer le basketball » regroupe 1212 élèves sur 3030 : P(B)=1230=0,4P(B) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4.
  • 2 L'ensemble NN = « faire de la natation » regroupe 1010 élèves sur 3030 : P(N)=1030≈0,33P(N) = \dfrac{10}{30} \approx 0{,}33.
  • 3 La zone ombrée (l'intersection) représente les 44 élèves qui pratiquent les deux activités : P(B∩N)=430≈0,13P(B \cap N) = \dfrac{4}{30} \approx 0{,}13.
  • 4 En dehors des deux cercles : 30−18=1230 - 18 = 12 élèves qui ne pratiquent ni l'un ni l'autre.
Ce qu'il faut lire : La zone ombrée n'est comptée qu'une seule fois : P(B∪N)=P(B)+P(N)−P(B∩N)=12+10−430=1830=0,6P(B \cup N) = P(B) + P(N) - P(B \cap N) = \dfrac{12+10-4}{30} = \dfrac{18}{30} = 0{,}6.
Diagramme de Venn pour le choix d'un élève au hasard dans une classe de 3030 : BB = basketball, NN = natation, intersection ombrée = pratique les deux.
Le malentendu fondateur
Pourquoi on retranche l'intersection

Dans la classe du cours : 1212 élèves font du basket, 1010 font de la natation, et 44 font les deux.

La barre du haut additionne simplement 12+1012 + 10. La barre du bas compte les élèves qui pratiquent au moins un des deux sports. Les deux barres sont à la même échelle : un élève y occupe toujours la même longueur.

Le double comptage de l intersection Deux barres horizontales sont comparees a la meme echelle, ou chaque eleve occupe la meme longueur. La barre du haut represente douze plus dix, soit vingt-deux eleves comptes. La barre du bas represente les dix-huit eleves qui pratiquent au moins un des deux sports. La barre du haut depasse celle du bas d'une longueur qui vaut exactement quatre eleves : ce sont les quatre eleves qui pratiquent les deux sports et qui ont ete comptes deux fois. on additionne : 12 + 10 = 22 basket seul les 2 les 2 natation élèves réellement concernés : 18 basket seul les 2 natation 4 élèves en trop les 4 élèves des deux clubs ont été comptés deux fois
  • 1 La barre du haut mesure 2222 élèves, la barre du bas 1818. L'écart vaut 44, exactement l'effectif de l'intersection.
  • 2 En probabilités : P(B)+P(N)=1230+1030=2230P(B) + P(N) = \dfrac{12}{30} + \dfrac{10}{30} = \dfrac{22}{30}, alors que P(B∪N)=1830P(B \cup N) = \dfrac{18}{30}.
  • 3 La formule P(B∪N)=P(B)+P(N)−P(B∩N)P(B \cup N) = P(B) + P(N) - P(B \cap N) ne fait rien d'autre que retirer le morceau dessiné deux fois. Ce n'est pas une bizarrerie à mémoriser, c'est une correction de comptage.
Ce qu'il faut lire : Compte les cases foncées sur la barre du haut : il y en a deux, alors que ces élèves n'existent qu'une fois dans la classe. En les additionnant, tu les as fait exister en double.

Retiens le test : dès que deux événements peuvent se produire ensemble, additionner leurs probabilités donne trop. Si au contraire ils ne peuvent jamais arriver ensemble, il n'y a rien à retrancher et l'addition est correcte.
Comptage des 3030 élèves : 12+10=2212 + 10 = 22 contre 1818 élèves réels, soit 44 comptés deux fois.
Le piège du chapitre
Le hasard ne rattrape rien, il dilue

Imagine que les 2020 premiers lancers soient tous tombés sur pile. Beaucoup de joueurs annoncent alors que face « est en retard » et va se rattraper.

Voici ce qui se passe réellement si la pièce est équilibrée et que tu continues à lancer : la courbe suit la fréquence de pile, la barre du bas suit l'écart brut entre le nombre de piles et le nombre de faces.

La frequence converge par dilution Un graphique montre la frequence de pile en fonction du nombre total de lancers, porte sur une echelle logarithmique de vingt a deux mille lancers. La courbe part de un, car les vingt premiers lancers sont tous des piles, puis elle descend regulierement et se rapproche de la valeur un demi sans jamais passer en dessous. Sous le graphique, une bande rappelle que l'ecart brut entre le nombre de piles et le nombre de faces reste egal a vingt tout du long : il ne diminue jamais. C'est la frequence qui se rapproche d'un demi, parce que l'avance de vingt devient negligeable devant un nombre de lancers de plus en plus grand. 0,5 1 0,4 fréquence de pile 20 100 200 500 2000 nombre total de lancers 20 piles sur 20 la courbe s'approche de 0,5 sans jamais l'atteindre écart brut piles moins faces : 20, puis 20, puis 20... il ne bouge jamais
  • 1 Après 100100 lancers au total, la fréquence de pile vaut 20+40100=0,60\dfrac{20 + 40}{100} = 0{,}60. Après 20002000 lancers, elle vaut 20+9902000=0,505\dfrac{20 + 990}{2000} = 0{,}505.
  • 2 Pendant tout ce temps, il y a toujours 2020 piles de plus que de faces. Rien n'a été « rattrapé » : l'avance initiale est intacte.
  • 3 Ce qui change, c'est le dénominateur. Une avance de 2020 pèse lourd sur 2020 lancers, et presque rien sur 20002000. La fréquence se rapproche de 0,50{,}5 par dilution, jamais par compensation.
Ce qu'il faut lire : Pose-toi la question qui tranche : la pièce se souvient-elle des lancers précédents ? Elle n'a ni mémoire, ni mécanisme pour se rattraper. Au lancer suivant, pile et face valent 0,50{,}5 chacun, exactement comme au tout premier.

Cette erreur porte un nom, le sophisme du joueur, et elle est partagée par des millions de personnes. La connaître, c'est déjà s'en méfier.
Après 2020 piles consécutifs : la fréquence tend vers 0,50{,}5, l'écart brut reste bloqué à 2020.
Deux mots à ne pas confondre
Incompatibles ou indépendants, ce n'est pas la même chose

Ces deux mots se ressemblent et désignent pourtant des situations sans aucun rapport.

À gauche, un seul lancer de dé. À droite, deux lancers successifs, dont les 3636 issues sont représentées par une case chacune.

Evenements incompatibles contre evenements independants A gauche, les six issues d'un lancer de de sont alignees. L'evenement obtenir six et l'evenement obtenir trois occupent deux cases separees, sans aucune case commune : ils sont incompatibles, ils ne peuvent pas se produire ensemble. A droite, les trente-six issues de deux lancers successifs forment un carre de six cases sur six. L'evenement six au premier lancer occupe une ligne entiere, l'evenement six au second lancer occupe une colonne entiere, et ces deux zones se croisent en exactement une case. Ces deux evenements peuvent donc se produire ensemble : ils ne sont pas incompatibles, ils sont independants. incompatibles un seul lancer de dé 1 2 3 4 5 6 obtenir 3 obtenir 6 aucune case commune ils ne peuvent pas arriver ensemble indépendants deux lancers successifs 6 6 6 au premier 6 au second une case commune sur 36
  • 1 À gauche : « obtenir 33 » et « obtenir 66 » au même lancer n'ont aucune issue commune. Ils sont incompatibles, et P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.
  • 2 À droite : « obtenir 66 au premier lancer » et « obtenir 66 au second » ont bien une issue commune, la case du coin. Ils ne sont donc pas incompatibles du tout.
  • 3 Ils sont en revanche indépendants : P(A∩B)=136P(A \cap B) = \dfrac{1}{36}, et c'est exactement 16×16\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}. Le premier lancer ne change rien aux chances du second.
Ce qu'il faut lire : Le test le plus sûr est visuel. Incompatibles : les deux zones ne se touchent pas. Indépendants : les deux zones se croisent, et la case d'intersection représente exactement le produit des deux probabilités.

Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont d'ailleurs jamais indépendants : si l'un se produit, l'autre devient impossible, donc le premier renseigne bel et bien sur le second.
Incompatibles : deux cases disjointes sur 66 issues. Indépendants : une ligne et une colonne qui se croisent sur 3636 issues.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre P(A∪B)P(A\cup B) et P(A)+P(B)P(A)+P(B) : la formule d'addition doit soustraire P(A∩B)P(A\cap B) pour ne pas compter deux fois l'intersection.

💡 À retenir

  • Probabilité = nombre entre 00 et 11 ; la somme des probabilités de tous les événements vaut 11.
  • En cas d'équiprobabilité : P(A)=cas favorablescas possiblesP(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}.
  • Événement contraire : P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A), souvent plus rapide que de compter directement.
  • Formule d'addition : toujours soustraire P(A∩B)P(A \cap B) pour éviter de compter deux fois l'intersection.
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