Matières › 📐 Mathématiques › Lycée › Échantillonnage et estimation
🧪

Échantillonnage et estimation

Fréquences, fluctuation, intervalle de confiance

Un institut publie un sondage : « 52%52\% des Français pensent que… ». En bas de page, en petits caractères : échantillon de 1 0001\,000 personnes.

Mille personnes pour soixante-sept millions d'habitants. Une personne sur soixante-sept mille.

Comment peut-on sérieusement prétendre savoir quelque chose du pays entier ?

L'objection est légitime, et pourtant la méthode fonctionne. Pense à une marmite de soupe : pour savoir si elle est assez salée, une cuillère suffit — à condition d'avoir bien remué. Et voici ce qui surprend : que la marmite contienne deux litres ou deux cents, la cuillère nécessaire est la même.

C'est exactement ce qui se passe ici. La précision d'un sondage ne dépend pas de la taille de la population, mais seulement du nombre de personnes interrogées. C'est pour cela que presque tous les sondages que tu verras portent sur environ mille personnes, qu'il s'agisse d'une ville ou d'un pays.

Reste à savoir avec quelle précision, et c'est là que ce chapitre devient utile : il te donne de quoi calculer une marge d'erreur, encadrer la vraie proportion, et surtout comprendre ce que signifie vraiment le « 95%95\% de confiance » que les instituts annoncent sans jamais l'expliquer.

📖 Vocabulaire clé

Échantillon : Sous-groupe de taille nn tiré au hasard dans une population. Il doit être représentatif pour que les résultats soient fiables.
Fréquence observée : f=effectif du caracteˋrenf = \dfrac{\text{effectif du caractère}}{n} : proportion mesurée dans l'échantillon. Elle fluctue d'un échantillon à l'autre.
Intervalle de confiance : Plage [f−e;f+e][f - e ; f + e] qui contient la vraie proportion pp avec un niveau de confiance donné (ici 95%95\%).
Marge d'erreur : e=1ne = \dfrac{1}{\sqrt{n}} (approximation au niveau 95%95\%). Plus nn est grand, plus ee est petit.

📋 Construire un intervalle de confiance (niveau 95%)

  1. 1 Calculer la fréquence observée f=effectifnf = \frac{\text{effectif}}{n} dans l'échantillon de taille nn. Exemple : 120120 personnes sur 400400 sont favorables → f=120400=0,3f = \frac{120}{400} = 0{,}3.
  2. 2 Calculer la marge d'erreur e=1ne = \frac{1}{\sqrt{n}}. Exemple : e=1400=120=0,05e = \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05.
  3. 3 L'intervalle de confiance est [f−1n;f+1n]\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]. Exemple : [0,3−0,05;0,3+0,05]=[0,25;0,35][0{,}3 - 0{,}05 ; 0{,}3 + 0{,}05] = [0{,}25 ; 0{,}35].
  4. 4 Interpréter : on est sûr à 95% que la vraie proportion pp est dans cet intervalle. Exemple : La vraie proportion de personnes favorables est entre 25%25\% et 35%35\% avec 95%95\% de confiance.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un sondage interroge n=900n = 900 personnes. 540540 sont satisfaites d'un produit. Construire l'intervalle de confiance à 95%95\% pour la proportion de satisfaits.
Démarche :
  1. Fréquence observée : f=540900=0,6f = \dfrac{540}{900} = 0{,}6.
  2. Marge d'erreur : e=1900=130≈0,033e = \dfrac{1}{\sqrt{900}} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033.
  3. Intervalle de confiance : [0,6−0,033;0,6+0,033]=[0,567;0,633][0{,}6 - 0{,}033 ; 0{,}6 + 0{,}033] = [0{,}567 ; 0{,}633].
Réponse : On peut affirmer, avec 95%95\% de confiance, que la vraie proportion de satisfaits est comprise entre 56,7%56{,}7\% et 63,3%63{,}3\%.

📐 Formules clés

Iconf=[f−1n;f+1n]I_{conf} = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]
Marge d'erreur e=1ne = \dfrac{1}{\sqrt{n}}

🎨 Illustrations

Fluctuation d'échantillonnage
Distribution de la fréquence ff pour n=900n = 900

Courbe en cloche calculée à partir de l'approximation normale du théorème central limite (écart-type σ=f(1−f)/n≈1,63\sigma = \sqrt{f(1-f)/n} \approx 1{,}63 point), sur l'exemple du cours : n=900n = 900 personnes interrogées, 540540 satisfaites, f=0,6f = 0{,}6. La bande centrale surligne l'intervalle de confiance [f−e ; f+e][f-e\,;\,f+e].

Distribution approchee de la frequence observee pour n=900 Courbe en cloche centree sur f=60%, avec la bande de l'intervalle de confiance a 95% entre 56,7% et 63,3% surlignee. f = 60 % 56,7 % 63,3 % 54 % 56 % 58 % 60 % 62 % 64 % 66 % f IC 95 %
  • 1 Fréquence observée : f=540/900=0,6f = 540/900 = 0{,}6, soit 60%60\%.
  • 2 Marge d'erreur du cours : e=1/900=1/30≈0,033e = 1/\sqrt{900} = 1/30 \approx 0{,}033, soit environ 3,33{,}3 points.
  • 3 Intervalle de confiance à 95%95\% : [f−e ; f+e]=[0,567 ; 0,633][f-e\,;\,f+e] = [0{,}567\,;\,0{,}633], soit [56,7 % ; 63,3 %][56{,}7\,\%\,;\,63{,}3\,\%] — la bande foncée du schéma.
Ce qu'il faut lire : La marge e=1/ne=1/\sqrt{n} du cours majore légèrement l'écart-type théorique σ=f(1−f)/n≈1,63\sigma = \sqrt{f(1-f)/n} \approx 1{,}63 point : elle correspond au pire cas f=0,5f=0{,}5 (où σ\sigma est maximal), ce qui rend la formule valable quelle que soit la valeur de ff.
Distribution approchée de la fréquence observée ff autour de la vraie proportion, avec l'intervalle de confiance [f−e ; f+e][f-e\,;\,f+e] en évidence.
Le malentendu fondateur
Ce que le « 95 % » veut vraiment dire

Vingt instituts différents sondent la même population, où la vraie proportion vaut 0,600{,}60. Chacun interroge n=100n = 100 personnes et publie son intervalle de confiance.

Chaque trait est un sondage. La ligne verticale est la vraie proportion — celle que personne ne connaît dans la vraie vie.

Vingt intervalles de confiance dont un seul rate la cible Vingt segments horizontaux sont empiles les uns sous les autres. Chacun represente l'intervalle de confiance obtenu par un institut de sondage different, a partir d'un echantillon de cent personnes. Tous les segments ont exactement la meme longueur, parce que la marge d'erreur ne depend que de la taille de l'echantillon. Une ligne verticale marque la vraie proportion, zero virgule soixante. Dix-neuf des vingt segments traversent cette ligne : ils contiennent la vraie proportion. Un seul segment, trace en trait plus marque, s'arrete avant de l'atteindre : ce sondage a manque la cible, alors que sa methode etait pourtant correcte. vraie proportion = 0,60 raté 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 19 sondages sur 20 contiennent la cible
  • 1 Les vingt segments ont exactement la même longueur, et c'est normal : la marge d'erreur e=1100=0,10e = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}10 ne dépend que de nn, jamais du résultat trouvé.
  • 2 Dix-neuf segments traversent la ligne verticale, un seul s'arrête avant. C'est cela, le niveau de confiance de 95%95\% : environ 1919 sondages sur 2020 atteignent la cible.
  • 3 L'institut qui a raté n'a commis aucune faute. Il a appliqué la bonne méthode et il est tombé sur un échantillon malchanceux. Ce risque est annoncé d'avance, il fait partie du contrat.
Ce qu'il faut lire : Le 95%95\% ne qualifie pas l'intervalle que tu as sous les yeux : il qualifie la méthode qui l'a produit. Pour ton sondage à toi, tu ne sauras jamais si tu es dans les dix-neuf ou si tu es le vingtième.

C'est aussi pourquoi il arrive qu'un résultat électoral sorte des marges annoncées. Cela ne prouve pas que les sondeurs ont mal travaillé : c'est le risque annoncé qui s'est réalisé.
Vingt sondages de taille n=100n = 100 dans une population où p=0,60p = 0{,}60 : 1919 intervalles contiennent pp, un seul la manque.
Le piège du chapitre
Pour diviser l'erreur par deux, il faut quadrupler l'échantillon

Depuis le collège, le modèle par défaut est la proportionnalité : si je double l'effort, je double le résultat.

La marge d'erreur e=1ne = \dfrac{1}{\sqrt{n}} casse cette habitude, et la courbe montre exactement à quel point.

La marge d erreur decroit en un sur racine de n Une courbe decroissante represente la marge d'erreur en fonction de la taille de l'echantillon. Elle part tres haut pour les petits echantillons puis s'aplatit rapidement. Pour cent personnes interrogees, la marge vaut zero virgule dix. Pour quatre cents personnes, elle vaut zero virgule zero cinq, soit la moitie : il a fallu quadrupler l'echantillon pour diviser la marge par deux. Pour mille six cents personnes, elle vaut zero virgule zero vingt-cinq, soit encore la moitie, et il a de nouveau fallu quadrupler. Des traits de reperage relient chacun de ces trois points aux deux axes. 0,10 0,05 0,025 marge d'erreur 100 400 1600 taille de l'échantillon × 4 × 4 encore et la marge n'est divisée que par 2 à chaque fois
  • 1 n=100n = 100 donne e=1100=0,10e = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}10, soit 1010 points de pourcentage.
  • 2 n=400n = 400 donne e=1400=0,05e = \dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05. Il a fallu quadrupler l'échantillon pour diviser la marge par 22, et non le doubler.
  • 3 n=1600n = 1600 donne e=11600=0,025e = \dfrac{1}{\sqrt{1600}} = 0{,}025. Même conclusion : encore quatre fois plus de personnes pour gagner encore un facteur 22.
Ce qu'il faut lire : Lis la courbe de gauche à droite : elle plonge très vite au début, puis s'aplatit. Les premières centaines de personnes interrogées apportent énormément de précision, les suivantes de moins en moins.

Retiens la règle dans le sens où elle sert : pour gagner un facteur kk sur la précision, il faut multiplier nn par k2k^2. C'est aussi la raison pour laquelle les sondages publiés s'arrêtent presque tous autour de 10001000 personnes : au-delà, chaque point de précision supplémentaire coûte une fortune.
Marge d'erreur e=1ne = \dfrac{1}{\sqrt{n}} : 0,100{,}10 pour n=100n = 100, 0,050{,}05 pour n=400n = 400, 0,0250{,}025 pour n=1600n = 1600.
Deux lettres à ne pas confondre
Ce que tu mesures n'est pas ce que tu cherches

La fréquence ff est ce que tu as mesuré sur ton échantillon : tu la connais exactement.

La proportion pp est ce que tu cherches dans la population entière : tu ne la connaîtras jamais. Trois instituts sondant la même population trouvent trois ff différents, alors qu'il n'y a qu'un seul pp.

La frequence observee fluctue, la proportion vraie ne bouge pas Un axe horizontal gradue en proportions porte quatre reperes. Une ligne verticale unique marque la vraie proportion de la population, qui vaut zero virgule soixante et qui ne bouge jamais. Trois points distincts, places a zero virgule cinquante-cinq, zero virgule soixante-deux et zero virgule cinquante-huit, representent les frequences observees par trois instituts differents ayant sonde la meme population. Ces trois valeurs different entre elles alors qu'elles decrivent la meme realite : c'est la fluctuation d'echantillonnage. 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 p = 0,60 dans la population 0,55 institut 1 0,62 institut 2 0,58 institut 3 trois échantillons, trois fréquences, une seule vraie proportion
  • 1 Les trois instituts ont travaillé correctement et ont pourtant trouvé 0,550{,}55, 0,620{,}62 et 0,580{,}58. Cette variation porte un nom : la fluctuation d'échantillonnage.
  • 2 La ligne verticale, elle, ne bouge pas : la population ne change pas parce qu'on la sonde trois fois.
  • 3 Garde les deux lettres séparées toute l'année : ff pour ce que tu as mesuré, pp pour ce que tu cherches. L'intervalle de confiance est justement le pont entre les deux.
Ce qu'il faut lire : Remarque que l'intervalle de confiance se construit autour de ff, puisque pp est inconnu : on écrit [f−1n ; f+1n]\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].

C'est ce qui rend la phrase « pp est forcément dans mon intervalle » impossible à soutenir : tu as centré ton intervalle sur une valeur qui a elle-même fluctué.
Trois fréquences observées 0,550{,}55, 0,620{,}62 et 0,580{,}58 pour une unique proportion p=0,60p = 0{,}60.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'intervalle de confiance ne garantit pas à 100% que pp est dedans, seulement à 95%.

✅ La suggestion

De plus, la formule 1n\frac{1}{\sqrt{n}} est une approximation valable pour n≥30n\ge 30.

💡 À retenir

  • La fréquence observée ff fluctue autour de la vraie proportion pp : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
  • La marge d'erreur e=1/ne = 1/\sqrt{n} diminue quand nn augmente, mais lentement (il faut multiplier nn par 44 pour diviser ee par 22).
  • L'intervalle de confiance ne garantit pas à 100%100\% que pp est dedans : il y a 5%5\% de risque d'erreur.
  • La formule 1/n1/\sqrt{n} est une approximation valable pour n≥30n \geq 30.
← Probabilités 13 / 36 → Algorithmique et programmation (Python)