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Échantillonnage et estimation

Fréquences, fluctuation, intervalle de confiance

L'échantillonnage permet d'inférer des propriétés d'une grande population à partir d'un sous-groupe représentatif. La fréquence observée dans un échantillon de taille $n$ fluctue aléatoirement autour de la vraie proportion $p$ — cette variabilité diminue quand $n$ augmente. L'intervalle de confiance à $95\%$ fournit une plage dans laquelle se trouve la vraie proportion dans $95\%$ des cas si on répétait l'expérience. La marge d'erreur $e = 1/\sqrt{n}$ montre que passer de $100$ à $400$ personnes divise l'erreur par $2$ (pas par $4$ ) : améliorer la précision coûte cher en taille d'échantillon. Cette formule est une approximation valable pour $n \geq 30$ .

📖 Vocabulaire clé

Échantillon : Sous-groupe de taille

n

tiré au hasard dans une population. Il doit être représentatif pour que les résultats soient fiables.

Fréquence observée :

f = \dfrac{\text{effectif du caractère}}{n}

: proportion mesurée dans l'échantillon. Elle fluctue d'un échantillon à l'autre.

Intervalle de confiance : Plage

[f - e ; f + e]

qui contient la vraie proportion

p

avec un niveau de confiance donné (ici

95\%

Marge d'erreur :

e = \dfrac{1}{\sqrt{n}}

(approximation au niveau

95\%

). Plus

n

est grand, plus

e

est petit.

📋 Construire un intervalle de confiance (niveau 95%)

1 Calculer la fréquence observée $f = \frac{\text{effectif}}{n}$ dans l'échantillon de taille $n$ . Exemple : $120$ personnes sur $400$ sont favorables → $f = \frac{120}{400} = 0{,}3$ .
2 Calculer la marge d'erreur $e = \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Exemple : $e = \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05$ .
3 L'intervalle de confiance est $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ . Exemple : $[0{,}3 - 0{,}05 ; 0{,}3 + 0{,}05] = [0{,}25 ; 0{,}35]$ .
4 Interpréter : on est sûr à 95% que la vraie proportion $p$ est dans cet intervalle. Exemple : La vraie proportion de personnes favorables est entre $25\%$ et $35\%$ avec $95\%$ de confiance.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un sondage interroge

n = 900

personnes.

540

sont satisfaites d'un produit. Construire l'intervalle de confiance à

95\%

pour la proportion de satisfaits.

Démarche :

Fréquence observée : $f = \dfrac{540}{900} = 0{,}6$ .
Marge d'erreur : $e = \dfrac{1}{\sqrt{900}} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033$ .
Intervalle de confiance : $[0{,}6 - 0{,}033 ; 0{,}6 + 0{,}033] = [0{,}567 ; 0{,}633]$ .

Réponse : On peut affirmer, avec

95\%

de confiance, que la vraie proportion de satisfaits est comprise entre

56{,}7\%

63{,}3\%

📐 Formules clés

I_{conf} = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]

Marge d'erreur

e = \dfrac{1}{\sqrt{n}}

🎨 Illustration

Fluctuation d'échantillonnage

Distribution de la fréquence

f

pour

n = 900

Courbe en cloche calculée à partir de l'approximation normale du théorème central limite (écart-type $\sigma = \sqrt{f(1-f)/n} \approx 1{,}63$ point), sur l'exemple du cours : $n = 900$ personnes interrogées, $540$ satisfaites, $f = 0{,}6$ . La bande centrale surligne l'intervalle de confiance $[f-e\,;\,f+e]$ .

1 Fréquence observée : $f = 540/900 = 0{,}6$ , soit $60\%$ .
2 Marge d'erreur du cours : $e = 1/\sqrt{900} = 1/30 \approx 0{,}033$ , soit environ $3{,}3$ points.
3 Intervalle de confiance à $95\%$ : $[f-e\,;\,f+e] = [0{,}567\,;\,0{,}633]$ , soit $[56{,}7\,\%\,;\,63{,}3\,\%]$ — la bande foncée du schéma.

Ce qu'il faut lire : La marge

e=1/\sqrt{n}

du cours majore légèrement l'écart-type théorique

\sigma = \sqrt{f(1-f)/n} \approx 1{,}63

point : elle correspond au pire cas

f=0{,}5

(où

\sigma

est maximal), ce qui rend la formule valable quelle que soit la valeur de

f

Distribution approchée de la fréquence observée

f

autour de la vraie proportion, avec l'intervalle de confiance

[f-e\,;\,f+e]

en évidence.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'intervalle de confiance ne garantit pas à 100% que $p$ est dedans, seulement à 95%.

✅ La suggestion

De plus, la formule $\frac{1}{\sqrt{n}}$ est une approximation valable pour $n\ge 30$ .

💡 À retenir

La fréquence observée $f$ fluctue autour de la vraie proportion $p$ : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
La marge d'erreur $e = 1/\sqrt{n}$ diminue quand $n$ augmente, mais lentement (il faut multiplier $n$ par $4$ pour diviser $e$ par $2$ ).
L'intervalle de confiance ne garantit pas à $100\%$ que $p$ est dedans : il y a $5\%$ de risque d'erreur.
La formule $1/\sqrt{n}$ est une approximation valable pour $n \geq 30$ .

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